7.6：用锐角三角函数解决问题预习 讲义 2023-2024学年苏科版九年级数学下册

用锐角三角函数解决问题 【同步知识梳理】 （1） 引入 已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？ 变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？ 二、定义 1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 在三角形中共有几个元素？ 直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． C A B (3)边角之间关系 强调与说明：解直角三角形，只有下面两种情况： 已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 三、三角函数的实际运用 1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡． 3. 方位角 4.解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题 a 【精题精练精讲】 题型一：解直角三角形 1．在中，分别是的对边． (1)已知，，求； (2)已知，求b． 【详解】（1）在    中，   ∵， ∴； （2）在     中， ∵， ∴， ∴． 2．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为________ 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AB=CD=1， 在Rt△ABD中， tan∠ADB==， ∴∠ADB=30°． 3．如图，是锐角三角形，，，，求和的值． 【详解】过作于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，． 4．在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于 ． 【详解】解：如图，若∠ABD为锐角时，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠DEB=90°， 在Rt△AED中，∠A=30°，AD=4， ∴DE=AD=2， ∴， 在Rt△BDE中， ，DE=2， ∴， ∴AB=AE+BE=， ∴平行四边形的面积等于； 如图，当∠ABD是钝角时，过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，则∠AED=90°， 在Rt△AED中，∠A=30°，AD=4， ∴DE=AD=2， ∴， 在Rt△BDE中， ，DE=2， ∴， ∴AB=AE-BE=， ∴平行四边形的面积等于； 综上所述，平行四边形ABCD的面积为或． 故答案为：或 5．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的正切值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二：坡度问题 1．小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了 米． 【详解】如图，过点作于点，则由题意得米， ∵坡度 ， ∴，即， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ∴米，即他距离地面的垂直高度上升了米， 故答案为：． 2．如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的宽度．（精确到米，参考数据：，） 【详解】解：分别过点作垂直于于点， 则米，米， ∵斜坡的坡度为， ∴米， 在中，米， ∴米 ∴坝底的宽度约为米 3．如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为： 题型三：仰角和俯角问题 1．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 2．玲珑塔，又名徽塔，也叫雁塔，位于河南省原阳县城西南17 公里原武镇的东关．玲珑塔为平面六角十三级仿木结构楼阁式砖塔，有塔铭记载明万历辛丑年间(1601年)重修．某综合实践小组准备用无人机测量玲珑塔的高度，已知距离塔底B处42m处的D点有一棵高为15m的杉树(即 当无人机飞至 M 点悬停时，飞行高度为，此时测得杉树顶端C的俯角为，玲珑塔顶A点的俯角为 若A，B，C，D，M，N均在同一平面内，点D，N，B 在同一直线上，求玲珑塔的高度．(结果精确到；参考数据∶ 【详解】解：过C作于E，过A作于F， 根据题意，得，，四边形、都是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：玲珑塔的高度为． 3．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿山坡向上走到达处，测得建筑物顶端的仰角为．已知山坡坡度，即请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果保留根号） 【详解】解：如图，作于，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， 设米，米， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴米，米， 设米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴（米）， ∴建筑物的高度为米． 题型四：方位角 1．夏季是垂钓的好季节，一天甲、乙两人到松花江的B处钓鱼，突然发现在A处有一人不慎落入江中呼喊救命，在B处测得A处在B的北偏东60°方向，紧急关头，只见甲马上从B处跳水游向A处救人；此时乙从B沿岸边往正东方向奔跑32米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A处在C的北偏东30°方向上，且甲、乙二人在水中游进的速度均为1米/秒，乙在岸边上奔跑的速度为8米/秒．（注：水速忽略不计） (1)求的长； (2)试问甲、乙二人谁能先救到人，请通过计算说明理由．（） 【详解】（1）解：过A作，交的延长线于点D， ∵A在B北偏东方向上， ∴， 又∵A在C北偏东方向上，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米，米， 在中， ∵， ∴（米）， ∴的长为米，的长为32米； （2）甲所用时间： （秒）， 乙所用时间：（秒）， ∵， ∴乙先救到人． 2．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 【详解】（1）根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）根据题意，得， ∴； ∴路线①的总距离为， 故用时间为； 路线②的总距离为， 故用时间为； ∵， 故走路线②的步行时间短． 3．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 题型五：一倍角和二倍角的转化 1.已知sin2α=，求sinα=________ 答案： 2.已知tanα=，求tan2α=________ 答案： 3.如图，在△ABC中.∠ACB=90∘，∠ABC=15∘，BC=1，则AC=________ 答案：2- 4.求tan22.5°等于多少？ 答案：-1 题型六：网格图中的三角函数 1.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为__________ 答案： 2.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A. B. O都在格点上,则∠AOB的正弦值是_________ 答案： 3.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形上,AB与CD相交于点O,则sin∠AOD等于___________________ 答案： 【能力拓展训练】 1．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为_______ 【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图， 设AC=BC=a， ∵AC⊥BC，AC=BC=a， ∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC， ∴∠ABC=∠BAC=45°，， ∴∠DBE=∠ABC=45°， ∵DE⊥CE， ∴DE=，BE=， ∴CE=BC+BE=3a， ∴， 2．如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为 ． 【详解】解：过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H； 令等边的边长为x， ∵，， ∴的高为：， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴，则点F为CD中点， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【课后知识应用】 1．等腰三角形的底角是，腰长为，求它的周长． 【详解】解：如图，中，， 过点作于点， ， ， ， ， 的周长为 2．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝ ． 【详解】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图所示： ∵∠BAC=120°， ∴∠DAC＝180°-120°=60°， ∴cos60°＝，sin 60°＝， ∵AB＝3，AC＝2， ∴AD＝AC·cos 60°＝2×＝1， CD＝AC·sin 60°＝2×＝， ， 在Rt△BCD中，tanB＝＝． 故答案为：． 3．如图，在△中，，D是边上的一点，，则AB . 【详解】解：如图，过点作，设的长为 则： ，， ∴， 整理得：，解得： 或（舍）， 又∵ ∴ ， 故答案为： ． 4．在中，若，，，则的面积是 ． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示． 在中，，； 在中，，， ∴， ∴或， ∴或25． 故答案为75或25． 5.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是___. 答案： 6.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60∘,点M、N分别在AB、AD边上,若AM:MB=AN:ND=1:2,则tan∠MCN=________ 答案： 7．如图，在坡顶处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底处测得该建筑顶点的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶处又测得该建筑的顶点的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求该建筑的高度．（结果精确到米．参考数据：，，） 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴坡顶到地面的距离为米； （2）延长交于点， 由题意知：，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴该建筑的高度约为米． 8．如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角约为，测得某建筑物顶端点处的俯角约为．已知操控者和建筑物之间的水平距离为，此时无人机距地面的高度为，，，，在同一平面内，求建筑物的高度（计算结果保留整数）． （参考数据：，，） 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴，， 根据题意，得：，，，，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 答：建筑物的高度约为． 9．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； （2）由（1）可知， （海里） 在中，（海里）， ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的 学科网（北京）股份有限公司 $$ 用锐角三角函数解决问题 【同步知识梳理】 （1） 引入 已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？ 变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？ 二、定义 1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 在三角形中共有几个元素？ 直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． C A B (3)边角之间关系 强调与说明：解直角三角形，只有下面两种情况： 已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 三、三角函数的实际运用 1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡． 3. 方位角 4.解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题 a 【精题精练精讲】 题型一：解直角三角形 1．在中，分别是的对边． (1)已知，，求； (2)已知，求b． 2．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为________ 3．如图，是锐角三角形，，，，求和的值． 4．在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于 ． 5．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的正切值． 题型二：坡度问题 1．小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了 米． 2．如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的宽度．（精确到米，参考数据：，） 3．如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 题型三：仰角和俯角问题 1．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 2．玲珑塔，又名徽塔，也叫雁塔，位于河南省原阳县城西南17 公里原武镇的东关．玲珑塔为平面六角十三级仿木结构楼阁式砖塔，有塔铭记载明万历辛丑年间(1601年)重修．某综合实践小组准备用无人机测量玲珑塔的高度，已知距离塔底B处42m处的D点有一棵高为15m的杉树(即 当无人机飞至 M 点悬停时，飞行高度为，此时测得杉树顶端C的俯角为，玲珑塔顶A点的俯角为 若A，B，C，D，M，N均在同一平面内，点D，N，B 在同一直线上，求玲珑塔的高度．(结果精确到；参考数据∶ 3．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿山坡向上走到达处，测得建筑物顶端的仰角为．已知山坡坡度，即请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果保留根号） 题型四：方位角 1．夏季是垂钓的好季节，一天甲、乙两人到松花江的B处钓鱼，突然发现在A处有一人不慎落入江中呼喊救命，在B处测得A处在B的北偏东60°方向，紧急关头，只见甲马上从B处跳水游向A处救人；此时乙从B沿岸边往正东方向奔跑32米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A处在C的北偏东30°方向上，且甲、乙二人在水中游进的速度均为1米/秒，乙在岸边上奔跑的速度为8米/秒．（注：水速忽略不计） (1)求的长； (2)试问甲、乙二人谁能先救到人，请通过计算说明理由．（） 2．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形循环步道．经测量，点在点的南偏东，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，且点也在点的西北方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)已知从到有两条路线可走：路线①，路线②．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数） 3．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 题型五：一倍角和二倍角的转化 1.已知sin2α=，求sinα=________ 2.已知tanα=，求tan2α=________ 3.如图，在△ABC中.∠ACB=90∘，∠ABC=15∘，BC=1，则AC=________ 4.求tan22.5°等于多少？ 题型六：网格图中的三角函数 1.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为__________ 2.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A. B. O都在格点上,则∠AOB的正弦值是_________ 3.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形上,AB与CD相交于点O,则sin∠AOD等于___________________ 【能力拓展训练】 1．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为_______ 2．如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为 ． 【课后知识应用】 1．等腰三角形的底角是，腰长为，求它的周长． 2．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝ ． 3．如图，在△中，，D是边上的一点，，则AB . 4. 在中，若，，，则的面积是 ． 5.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是___. 6.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60∘,点M、N分别在AB、AD边上,若AM:MB=AN:ND=1:2,则tan∠MCN=________ 7．如图，在坡顶处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底处测得该建筑顶点的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶处又测得该建筑的顶点的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求该建筑的高度．（结果精确到米．参考数据：，，） 8．如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角约为，测得某建筑物顶端点处的俯角约为．已知操控者和建筑物之间的水平距离为，此时无人机距地面的高度为，，，，在同一平面内，求建筑物的高度（计算结果保留整数）． （参考数据：，，） 9．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 学科网（北京）股份有限公司 $$