第二讲：特殊角的三角函数值预习讲义 【暑假衔接】2023-2024学年苏科版九年级数学下册

特殊角的三角函数值 【同步知识梳理】 一、复习： 如图，在△ABC中，∠C=90° 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 二、探索活动 1． 活动一.观察与思考 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？ 2.活动二.根据以上探索完成下列表格 三角函数值 三角函数 θ 30° 45° 60° sinθ cosθ tanθ 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系（掌握） （2）倒数关系（了解） tanAtan(90°—A)=1 （3）弦切关系 tanA=（掌握） （4）互余关系（了解） sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) 四、有关公式（了解） （1）== （2）Rt△面积公式： （3）结论：直角三角形斜边上的高 【精题精练精讲】 题型一：特殊角的三角函数值 1．的结果是____________ 【详解】解：∵，，， ∴ 2．在ABC中， ，则ABC一定是_________三角形 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 3．在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 4．α为锐角，且tanα＝1，则α＝ ，sinα＝ ． 【答案】 45°； . 【分析】由α为锐角且tanα＝1可知α＝45°. 【详解】解：由tanα＝1可得α＝45°，则sinα＝． 5．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．计算下面各式： （1）； （2）. 【答案】（1） ;（2） 【详解】（1）原式 （2）原式 题型二：三角函数比较大小 1．比较大小：cos 36° cos 37°. 【答案】> 【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）求解． 【详解】∵36°<37°， ∴cos36°＞cos37°， 故答案为＞． 2．比较大小：tan 50° tan  48°. 【答案】＞ 【分析】根据正切值随角度的增大而增大，进而得出答案. 【详解】解：∵50°＞48°，正切值随角度的增大而增大， ∴tan 50°>tan  48°. 故答案为＞． 3．比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或＝）． 【答案】＜ 【分析】由互余两角的三角函数关系可得：cos44°= sin46°，再根据正弦函数值随着角度的增大而增大进行分析即可. 【详解】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大， 又∵44°＜46°， ∴sin44°＜cos44°． 故答案为＜． 4．比较大小：sin57° tan57°． 【答案】＜ 【分析】根据特殊角的正弦函数值和正切函数值，可得答案． 【详解】解：∵sin57＜sin60°＝， tan57°＞tan45°＝1， ∴tan57°＞sin57°， 故答案为＜． 5．若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 6．已知∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜90° 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值求出sin30°=，根据当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大， 【详解】∵∠A为锐角，且sin30°=， 又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大， ∴0°＜A＜30°， 故选A． 7．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型三：非特殊角的三角函数 1．若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值． 【答案】. 【分析】当α+β=90°时, sinβ＝cosα，利用诱导公式即可解题. 【详解】解：∵α，β为直角三角形的两个锐角， ∴sinβ＝cos  (90°－β)＝cosα＝. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为 ． 【答案】 【分析】根据∠A的正切值，设两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出． 【详解】解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴设AC＝12k，BC＝5k， 则AB＝＝13k， ∴sinB＝＝＝． 故答案为：． 3．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA的值是____________ 【分析】由sinA的值，利用同角三角函数关系求出cosA的值，进而求出tanA=的值即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA===， 则tanA==， 4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE等于______ 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD ∵DE⊥AB， ∴ ∠AED＝∠BED＝90° ∵cosA＝ ， ∴， 设AE＝3x，则AD＝AB＝5x， 则DE＝＝4x，BE＝AB－AE＝5x﹣3x＝2x， ∴tan∠DBE＝． 5．若为锐角，且，求． 【答案】 【分析】根据，利用同角三角函数的关系，可以知道，代入算式求解. 【详解】 如图，在中，，，， ∴， ∵，且为锐角， ∴=2，∴， 把代入原式得， 故答案是： 题型四：三角函数之间的关系 1．若α是锐角，tanα•tan50°=1，则α的值为（ ） 【分析】互为余角的两个角的正切值互为倒数． 【详解】解：∵tanα•tan50°=1 ∴α+50°=90° ∴α=40°． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值． 【答案】cosA＝. 【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解． 【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴cosA＝sinB＝. 故答案为：. 3．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1． （2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠A＝45° 【分析】（1）利用三角函数的定义即可得出结论； （2）利用三角函数的定义得出c2=2ab，再用勾股定理得出a2+b2=c2，得到a2+b2=2ab，进而得出a=b，即可得出结论． 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2， （1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1， （2）∵sinA•cosA＝， ∴×= ∴c2＝2ab， ∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0， ∴a＝b， 在Rt△ABC中，tanA＝＝1，∠A＝45°． 4．在中，，在下列叙述中：①；②；③.其中正确的结论是 .（填序号） 【答案】② 【分析】根据三角函数的定义及互余角的三角函数的关系对各个结论进行分析和判断，从中选出结论正确的序号. 【详解】在中，，设斜边，两直角边， ① ∵ ∴，即 故①的结论错误； ②∵，② ∴ 故②的结论正确； ③∵， ∴与不一定相等 故③的结论错误. 故填：②. 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的性质、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系进行判断． 【详解】①sin60°=cos30°，故①错误； ②tanα>0(α为锐角) ，故②错误； ③2cos30°=2×=≠＝cos60°，故③错误； ④sin30°＝cos60°，正确. 故选A. 6．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先证明，把已知条件两边都乘以2，然后再根据，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出与的取值范围，从而得到，然后开方即可得解． 【详解】解：如图，△ABC中，∠C=90°， ，， 而， ， 即， ， ， ， 即， ， ，， ， ． 故答案为：． 【能力拓展训练】 1．已知cos45°=， 求cos21°+cos22°+…+cos289°的值． 【答案】44． 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】原式=（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 =（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245 =44+（）2 =44​． 2．规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 【答案】②③ 【分析】利用题中的规定判断即可． 【详解】解：①cos（−60°）＝cos60°＝，原等式不成立； ②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝ ，原等式成立； ③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx⋅cosx，原等式成立； ④sin（x−y）＝sin[x+（−y）]＝sinx⋅cos(−y) ＋cosx⋅sin(−y)＝sinx⋅cosy−cosx⋅siny，原等式不成立． 故答案为：②③． 3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值． 【答案】． 【分析】根据翻折变换的性质得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∠FAB=67.5°，进而得出tan∠FAB=tan67.5°=得出答案即可． 【详解】解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处， ∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°． ∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处， ∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°， ∴∠FAB＝67.5°． 设AB＝x，则AE＝EF＝x， ∴tan∠FAB＝tan67.5°＝＝＝＋1． 【课后知识应用】 1．若tan（a+10°）=，则锐角a= ． 【答案】 【分析】由列得a+10=60，解方程求出a. 【详解】∵，tan（a+10°）= ∴a+10=60， 解得a=， 故答案为：. 2．计算： (1)＋tan60°； (2)2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋·tan60°. 【答案】（1）；（2）3. 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】(1)原式＝； (2)原式＝==.. 3．比较大小： (填“”“”或“＞”) 【答案】 【分析】根据三角函数的性质得，即可比较它们的大小关系． 【详解】∵ ∴ 故答案为：<． 4．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】C 【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围. 【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大， 由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°． 故选择C． 5．当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 【答案】C 【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答． 【详解】∵cos60°=，cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°． 故选C． 6．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是_______________ 【详解】由sin2α＋cos2α＝1，α是锐角，，得 ， ， 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2．则cosA的值是__________ 【详解】如图，设AC=k，则BC=2k，根据勾股定理，得AB= =， ∴cosA==， 8．如果α是锐角，且cosα＝，那么cos（90°﹣α）的值是_____________ 【详解】cos（90°﹣α）=sinα,根据sin2α十cos2α =1可得sinα=1-=，所以cos（90°﹣α）=sinα= 9．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 10.阅读下列材料： 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，sinB= [来源:学科网] ∴AD=c•sinB ∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA （1）通过上述材料证明： == （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 答案：（1）同除abc（2）12（3）38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特殊角的三角函数值 【同步知识梳理】 一、复习： 如图，在△ABC中，∠C=90° 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 二、探索活动 1． 活动一.观察与思考 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？ 2.活动二.根据以上探索完成下列表格 三角函数值 三角函数 θ 30° 45° 60° sinθ cosθ tanθ 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系（掌握） （2）倒数关系（了解） tanAtan(90°—A)=1 （3）弦切关系 tanA=（了解） （4）互余关系（掌握） sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) 四、有关公式（了解） （1）== （2）Rt△面积公式： （3）结论：直角三角形斜边上的高 【精题精练精讲】 题型一：特殊角的三角函数值 1．的结果是____________ 2．在ABC中， ，则ABC一定是_________三角形 3．在中，若满足，则是 三角形． 4．α为锐角，且tanα＝1，则α＝ ，sinα＝ ． 5．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算下面各式： （1）； （2）. 题型二：三角函数比较大小 1．比较大小：cos 36° cos 37°. 2．比较大小：tan 50° tan  48°. 3．比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或＝）． 4．比较大小：sin57° tan57°． 5．若是锐角，，则应满足 ． 6．已知∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜90° 7．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三：非特殊角的三角函数 1．若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为 ． 3．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA的值是____________ 4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE等于______ 5．若为锐角，且，求． 题型四：三角函数之间的关系 1．若α是锐角，tanα•tan50°=1，则α的值为________ 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值． 3．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1． （2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数． 4．在中，，在下列叙述中：①；②；③.其中正确的结论是 .（填序号） 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，且，则的值为 ． 【能力拓展训练】 1．已知cos45°=， 求cos21°+cos22°+…+cos289°的值． 2．规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值． 【课后知识应用】 1．若tan（a+10°）=，则锐角a= ． 2．计算： (1)＋tan60°； (2)2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋·tan60°. 3．比较大小： (填“”“”或“＞”) 4．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 5．当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 6．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是_______________ 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2．则cosA的值是__________ 8．如果α是锐角，且cosα＝，那么cos（90°﹣α）的值是_____________ 9．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    10.阅读下列材料： 如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，sinB= [来源:学科网] ∴AD=c•sinB ∴S△ABC=a•AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA ∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA （1）通过上述材料证明： == （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$