第一讲：正切、正弦、余弦 预习讲义 【暑假衔接】2023-2024学年苏科版九年级数学下册

正切、正弦、余弦 【同步知识梳理】 知识点一：正切的定义 1． 问题的提出 ⑴如图，一把梯子斜靠在墙上，当它的顶端向下滑动后，它的底端将如何运动？滑动前（图中AB）与滑动后（图中A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？你是根据什么判断的？你能用语言向同学描述吗？ ( B ‘‘’‘ A A ’‘ ′ B ′ C ) ⑵如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？提示：在这一过程中变化的量有哪些？如何变化的？ ( D A C B E )⑶如图，如果两把梯子AB、CD靠在墙上，且AB∥CD，这两把梯子的倾斜程度相同吗？前面所提到的描述倾斜程度的量在这里分别对应相同吗？你能说明理由吗？ 2.问题的发展 ( A B B 1 B 2 C C 1 C 2 ) 一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三角形（如图），那么图中：成立吗？ ⑴当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？ ⑵上面等式的值随∠A的变化而变化吗？ 3.概念的形成 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 ( A B C a b ) 在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA即： 4.一个锐角的正切值 如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，求：tanA与 tanB的值。 ( A B C 3 4 ) 知识点二：正弦、余弦的定义 一、情景创设 1、问题1：小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？ 2、 问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动 1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、正弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比 叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________. 3、余弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与 斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。 知识点三：总结 如图，在△ABC中，∠C=90° 前提：在直角三角形中。 【精题精练精讲】 题型一：正切 1．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 2． 如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为________ 【详解】∵直角△ABC中,∠C=90°， ∴tan∠BAC=， 又∵AC=30cm,tan∠BAC=， ∴BC=AC⋅tan∠BAC=30×= (cm). 3．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为 ． 【答案】． 【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可． 【详解】解：设AB＝AC＝1，BC＝， 过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示： 则BD＝BC＝， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝, ∴tanB＝， 故答案为：． 4．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______    【详解】解：如图，取网格点D，连接，    由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 题型二：正弦 1．在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可． 【详解】解：∵在直角坐标平面内有一点， ∴， ∴． 故答案为：． 2．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=  ， AB=6，那么BC=_______ 【答案】2 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】sinA==，得 BC=AB×=6×=2 ， 故答案为 2. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为_______ 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴BC==5， ∴sin∠A==， 4．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．    【答案】 【详解】依题意直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1且正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，∴过B,D分别作，，，的垂线则形成的直角三角形全等，较长直角边为2，较短直角边为1，∴正方形的边长为，∴ 故填 题型三：余弦 1．中，若，，，则的值为________ 【详解】解：，，， ， ． 2．如图，，，，则的值是______    【详解】解：过点A作交于点D，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 3．在中，，，则的值等于__________ 【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况： ①当为斜边，． ，， ． ； ②当为斜边，∠B=90°． 由勾股定理得：． ； 综上所述，的值等于或， 题型四：三角函数的表示 1．如图，在中，，，则下列三角函数表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：A． 2．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　） A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA 【答案】A 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝； 因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA， 错误的是b＝c•cosB． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，则下列三角函数值正确的是(　　) A．sinA＝ B．tanB＝ C．sinB＝ D．cosA＝ 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=2，AC=1，∴AB= ==， A、sinA===，故本选项错误； B、tanB==，故本选项正确； C、sinB===，故本选项错误； D、cosA===，故本选项错误. 故选B． 4．在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互为余角的三角函数关系式求解． 【详解】解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立． 故选：A． 5．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可． 【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝OB＝CO＝DO， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α， 选项A正确； 选项B，在Rt△ABC中，tanα＝， 即BC＝m•tanα， 选项B正确； 选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝， 选项C错误； 选项D，∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝m， ∵∠BAC＝∠BDC＝α， ∴在Rt△DCB中，BD＝， 选项D正确. 故选C． 题型五：三角函数和其他知识点结合 1．如图，在菱形中，，过点D作于点E，且点E恰好为的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点B作于点F，首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用得到，最后代入即可求出． 【详解】如图所示，过点B作于点F， ∵，点E为的中点， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为__________ 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM=DF，连接BM． ∵BD=DC，∠BDM=∠CDF，DM=DF， ∴△BDM≌△CDF（SAS）， ∴CF=BM=9，∠M=∠CFD， ∵CE∥BM， ∴∠AFE=∠M， ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∴∠BAM=∠M， ∴AB=BM=9， ∵AE=4， ∴BE=5， ∵∠EBC=90°， ∴BC==12， ∴AC==15， ∴cos∠ACB= ， 3．如图，在平行四边形ABCD中，，．垂足分别为E、F，且． (1)求证：平行四边形ABCD是菱形； (2)若，，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析； (2)96 【分析】（1）证△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，即可得出结论； （2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得AC⊥BD，由，，得到BO、BD，再由勾股定理得AO、CO，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：连接BD交AC于点O， ∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC， ∴∠AOB＝90° ∵，， ∴BO＝AB＝8，BD＝2BO＝16 ∴AO＝ ∴CO＝AO＝6 ∴平行四边形ABCD的面积＝＝BD×AO＋BD×CO＝96 【能力拓展训练】 1．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为_______ 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，= ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 2．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是 【答案】2或 【分析】本题无图，应根据题意画出图形，分点P既可以在边CD上和在CD的延长线上两种情况求解. 【详解】如图所示，由于点P是直线CD上一点， ∴点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上， 当P在边CD上时， ∵BC=2，DP=1， ∴； 当P在CD延长线上时， ∵DP=1，DC=2， ∴PC=3， ∴． 故答案为2或. 3．菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，由BD为对角线，可证BD平分∠ADC，可得∠ADN=∠ADC=30°，可证AM⊥AD，由三角函数可求ND=或即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=6，∠ADC=∠ABC=60°， ∵BD为对角线， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADN=∠CDB=∠ADC=30°， 当AM⊥BC时 ∵AD∥BC， ∴AM⊥AD， 在Rt△AND中，AD=6，∠ADN=30°， ∴AD=ND×cos30°， ∴ND=． 当AM⊥AD时，连结AC， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ADC为等边三角形 ∵AM⊥DC， ∴DM=CM=3 在Rt△MND中，MD=3，∠MDN=30°， ∴MD=ND×cos30°， ∴ND=． 故答案为：或． 【课后知识应用】 1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠C的值为__________ 【答案】 2．已知：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是 .    【答案】 【分析】根据点A坐标和网格特点，求出，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，, ∴, 故答案为： 3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(　  ) A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；接下来根据：正弦＝对边:斜边，余弦＝邻边:斜边，正切＝对边:邻边，表示出sinA、cosB、tanA、tanB，问题即可解答. 【详解】解：∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 由锐角三角函数的定义可知sinA＝cosB＝，tanA＝，tanB＝． 故选A. 4．如图，在中，，于点D．已知，,那么=______ 【答案】 【分析】根据勾股定理可求出斜边长．易证∠ACD=∠B，sinB=． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AB2=AC2+BC2，∴AB=3． ∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B． ∴sin∠ACD=sinB==． 5.在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。 【答案】60; 6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为__________ 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8， ∴∠A=∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴∠EDF=∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°， ∴∠CDE=∠BFD． 又∵AE=DE=5， ∴CE=8-5=3， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE=， ∴sin∠BFD=． 7．正方形中，点E是直线上一点，且．连接，则的值为 ． 【答案】或 【分析】 分两种情况讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当点E在线段上时，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在延长线上时，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或． 故答案为：或． 8.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． ( D A B C E F ) 【答案】（1）略（2） ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正切、正弦、余弦 【同步知识梳理】 知识点一：正切的定义 1． 问题的提出 ⑴如图，一把梯子斜靠在墙上，当它的顶端向下滑动后，它的底端将如何运动？滑动前（图中AB）与滑动后（图中A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？你是根据什么判断的？你能用语言向同学描述吗？ ( A ) ( A ’‘’‘ ′ ) ( C ) ( B ’’’’’’’’’’’’’’’’‘ ′ ) ( B ’ ) ⑵如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？提示：在这一过程中变化的量有哪些？如何变化的？ ( D A C B E )⑶如图，如果两把梯子AB、CD靠在墙上，且AB∥CD，这两把梯子的倾斜程度相同吗？前面所提到的描述倾斜程度的量在这里分别对应相同吗？你能说明理由吗？ 2.问题的发展 ( A B B 1 B 2 C C 1 C 2 ) 一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三角形（如图），那么图中：成立吗？ ⑴当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？ ⑵上面等式的值随∠A的变化而变化吗？ 3.概念的形成 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 ( A B C a b ) 在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA即： 4.一个锐角的正切值 如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，求：tanA与 tanB的值。 ( A B C 3 4 ) 知识点二：正弦、余弦的定义 一、情景创设 1、问题1：小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？ 2、 问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动 1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、正弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比 叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________. 3、余弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与 斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。 知识点三：总结 如图，在△ABC中，∠C=90° 前提：在直角三角形中。 【精题精练精讲】 题型一：正切 1．在中，，，，则 ． 2． 如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为________ 3．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为 ． 4．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______    题型二：正弦 1．在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为 ． 2．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=  ， AB=6，那么BC=_______ 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为_______ 4．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．    题型三：余弦 1．中，若，，，则的值为________ 2．如图，，，，则的值是______    3．在中，，，则的值等于__________ 题型四：三角函数的表示 1．如图，在中，，，则下列三角函数表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　） A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，则下列三角函数值正确的是(　　) A． sinA＝ B．tanB＝ C．sinB＝ D．cosA＝ 4．在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五：三角函数和其他知识点结合 1．如图，在菱形中，，过点D作于点E，且点E恰好为的中点，则 ． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为_____________ 3．如图，在平行四边形ABCD中，，．垂足分别为E、F，且． (1)求证：平行四边形ABCD是菱形； (2)若，，求平行四边形ABCD的面积． 【能力拓展训练】 1．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为_______ 2．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是__________ 3．菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为 ． 【课后知识应用】 1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠C的值为___________ 2．已知：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是 .    3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(　  ) A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 4．如图，在中，，于点D．已知，,那么=______ 5.在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。 6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为__________ 7．正方形中，点E是直线上一点，且．连接，则的值为 ． 8.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． ( D A B C E F ) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$