专题2.2 基本不等式【练习：11题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题2.2 基本不等式（练习） 内容概览 01：基本不等式的大小比较 1 02：基本不等式的证明 2 03：利用基本不等式求和最值问题 3 04：利用基本不等式求积的最值问题 4 05：二次与二次（或一次）商的最值问题 4 06：条件等式的最值问题 5 07：基本不等式的恒成立问题 5 08：求勾对函数的最值问题 6 09：基本（均值）不等式的应用 6 10：容积的最值问题 7 11：“1”的妙用 9 题组训练 01：基本不等式的大小比较 1．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·福建莆田·期末）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 02：基本不等式的证明 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 03：利用基本不等式求和最值问题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知代数式，则其最小值为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数,且,求的最大值. 04：利用基本不等式求积的最值问题 13．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 15．（24-25高一上·上海·假期作业）设，求二次函数的最大值． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b是正实数，且，求的最大值． 05：二次与二次（或一次）商的最值问题 17．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 06：条件等式的最值问题 21．（23-24高二下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 22．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 24．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 07：基本不等式的恒成立问题 25．（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 27．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 28．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 08：求勾对函数的最值问题 29．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 30．（多选）（23-24高三上·河南·期末）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 31．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 32．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 09：基本（均值）不等式的应用 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 34．（24-25高一上·上海·课后作业）运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 35．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 36．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 10：容积的最值问题 37．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 38．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 39．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 40．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      11：“1”的妙用 41．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知，满足点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 43．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 44．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式（练习） 内容概览 01：基本不等式的大小比较 1 02：基本不等式的证明 4 03：利用基本不等式求和最值问题 6 04：利用基本不等式求积的最值问题 8 05：二次与二次（或一次）商的最值问题 10 06：条件等式的最值问题 12 07：基本不等式的恒成立问题 14 08：求勾对函数的最值问题 16 09：基本（均值）不等式的应用 17 10：容积的最值问题 20 11：“1”的妙用 23 题组训练 01：基本不等式的大小比较 1．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 2．（多选）（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 故选：ABCD 3．（多选）（23-24高一上·福建莆田·期末）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较的大小，判断A，D. 【详解】由于，则， 故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意； 由于， 当时，，， 故， 即，故不可能是最大值，A符合题意， 故选：ABC 4．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误. 【详解】A：由题设，当且仅当时取等号，对； B：由题设，当且仅当时取等号， 所以，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：，当且仅当时取等号，错. 故选：ABC 02：基本不等式的证明 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论. 【详解】证明：因为、为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 03：利用基本不等式求和最值问题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知代数式，则其最小值为 ． 【答案】1 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】当时，由基本不等式可得： 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为1, 故答案为：1 12．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数,且,求的最大值. 【答案】 【分析】通过构造,再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意得:, 又因为, 所以,当且仅当时,等号成立, 所以. 04：利用基本不等式求积的最值问题 13．（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由于，所以，故当且仅当时取等号，故最小值为， 故答案为： 15．（24-25高一上·上海·假期作业）设，求二次函数的最大值． 【答案】4 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由不等式，推得 于是，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为. 16．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b是正实数，且，求的最大值． 【答案】 【分析】，换元得到，，由基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】记，则，故， 其中， 当且仅当，即，等号成立，此时. 05：二次与二次（或一次）商的最值问题 17．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、与的关系，代入中利用基本不等式求出最大值． 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，解得，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为. 故选：D 18．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 19．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 06：条件等式的最值问题 21．（23-24高二下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用换元法，令，结合基本不等式得出答案. 【详解】令，则，， 当且仅当，即时，取等号. 故选：C 22．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 23．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 24．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 07：基本不等式的恒成立问题 25．（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 27．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值. 【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为， 所以，即，又， 所以. 当且仅当时上式最右侧等号成立. 故答案为： 28．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 08：求勾对函数的最值问题 29．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号). 故选：ACD. 30．（多选）（23-24高三上·河南·期末）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】BD 【分析】根据变量代换将代入可得，进而利用换元法将可得，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 令，由于，则，， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以， ，故，所以． 故选：BD． 31．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 【答案】 5 6 【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，函数最小值为6. 故答案为：5，6 32．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 09：基本（均值）不等式的应用 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 34．（24-25高一上·上海·课后作业）运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元 【分析】结合题意列出解析式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元. 35．（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 36．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 10：容积的最值问题 37．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 38．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 39．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 40．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 11：“1”的妙用 41．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知，满足点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在直线上可以得到，然后再利用基本不等式即可求解. 【详解】点在直线上可得， ， 当且仅当时不等式取等号，故最小值为. 故选：A. 42．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 43．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）利用乘“1”法即可由不等式求解. 【详解】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2）， 当且仅当，即时，的最小值为． 44．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 【答案】9 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$