2.3.1一元二次不等式及其解法（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

2.3.1一元二次不等式及其解法 题型一 不含参一元二次不等式的解法 1．定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设定义得到，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 整理得到，解得或， 故选：D. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【详解】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 3．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，故，故，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为： 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，故， 可得，解得，故原不等式解集为. 故答案为： 5．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先由得到或；再将分式不等式转化为一元二次不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由可得或， 即或；等价于或， 解得或；即原不等式的解集为： 故答案为： 6．解关于的不等式组： 【答案】 【分析】分别求解原不等式组中的两个一元二次不等式，然求两个解集的交集即可得解. 【详解】原不等式组可化为 即 所以，原不等式组的解集为． 7．解不等式：； 【答案】或 【分析】转化为不等式组，根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】原不等式可转化为不等式组即， ，得或 所以不等式的解集为或. 题型二 含参一元二次不等式的解法 1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【详解】因为，所以，故的解集为. 故选：C 2．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 3．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 4．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此，所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出集合A，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围 【详解】因为，要使, 则,则,所以. 故答案为：. 6．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 7．解不等式 【答案】答案见解析 【分析】结合二次不等式的解法进行分类讨论即可求解； 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 8．设集合、，且，求实数k的取值范围. 【答案】或 【分析】 由一元二次不等式分和解出集合，再利用交集的运算求出取值范围. 【详解】或， 令，即，所以，， 当时，，，由得或，解得； 当时，，，由得或，解得； 综上，或. 题型三 一元二次方程根的分布问题 1．已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】：关于的方程有实数根， 则，解得或. 因为所表示的集合是所表示的集合的真子集，∴是成立的必要不充分条件， 故选：B． 2（多选题）．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 3．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得，若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是,， 故答案为：,． 4．设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意方程在区间内有两个不同的根，根据二次方程根的分布即可求出参数的取值范围. 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向上， 因为二次函数在区间上有两个零点， 所以方程在区间内有两个不同的根， 记方程的两根为，则， 解得，所以. 故答案为： 5．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】（1）利用判别式即可求出实数的取值范围； （2）先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可； （3）利用和韦达定理得出结论． 【详解】（1）一元二次方程有实数根，应满足， 解得或，所以实数的取值范围是． （2）一元二次方程的两个根， ∵方程有一个正实数根和一个负实数根，，， ， 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是(答案不唯一)； （3）一元二次方程有两个不相等的正实数根， 则，或， 又两个根的和，，， 故一元二次方程有两个不相等的正实数根的充要条件是． 故答案为：（1）；（2）(答案不唯一)；（3）． 6．关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】不妨设关于的方程的两实数根为，，利用韦达定理推出矛盾，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，则， 若两根均大于，则，矛盾，故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于， 即实数的取值集合为. 故答案为： 7．已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先保证二次项系数不为，其次保证即可算出的取值范围. 【详解】方程有两个相异实根，首先，即， ，解得， 所以的取值范围为. 8．设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值；(2)若均大于0，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据韦达定理结合完全平方式列式计算即可； （2）根据根的分布利用韦达定理列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为为关于的方程的两实数根， 所以，即， 因为， 所以或（舍去）. （2）因为均大于0，所以， 所以，解得或， 即的取值范围是. 9．已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或．所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根．又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 1.已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 2．（1）解不等式；（2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 3．已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集判断，得到，结合题意可得，即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论. 【详解】（1）因为关于不等式的解集为， 即的解集为，故，且1，3为的两根， 则，即， 又方程一根小于，另一根大于， 设，而，则，即， 结合，可得的取值范围为. （2）证明：假设，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得，这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 4．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析；(2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得，所以 令，则，故当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1一元二次不等式及其解法 题型一 不含参一元二次不等式的解法 1．定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为 ． 4．不等式的解集是 ． 5．不等式的解集为 ． 6．解关于的不等式组： 7．解不等式：； 题型二 含参一元二次不等式的解法 1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 5．设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 6．解关于的不等式：． 7．解不等式 8．设集合、，且，求实数k的取值范围. 题型三 一元二次方程根的分布问题 1．已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（多选题）．已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 3．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 4．设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 5．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是 ． 6．关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 7．已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 8．设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值；(2)若均大于0，求的取值范围. 9．已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 1.已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 2．（1）解不等式；（2）解关于的不等式. 3．已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 4．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$