精品解析：安徽省亳州市第二完全中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

亳州二中2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教2019版：选择性必修二+选择性必修三 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 曲线在点的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（ ） A. 或 B. 3或 C. D. 9或 5. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ） A. 7205秒 B. 7200秒 C. 秒 D. 7190秒 7. 若函数满足：对，，，，，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“函数”．则下列四个函数：①，；②，；③，；④，中，“函数”有（ ）个 A. B. C. D. 8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 为等差数列 C. D. 当时，有最大值 10. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的导函数的图象关于直线对称 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为__________． 13. 的展开式中的系数为___________. 14. 已知函数的定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；② 为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为___________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题均15分 ，第18-19题均17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 函数. （1）若时,函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （2）若，若函数在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围. 17. 由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示. 节排器等级如表格所示 综合得分的范围 节排器等级 一级品 二级品 三级品 若把频率分布直方图中的频率视为概率，则 （1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率； （2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数的分布列及数学期望. 18. 已知在（，为常数且，，，）中，有． （1）求的展开式中的常数项； （2）若它的展开式中的常数项是其各项系数中最大的项，求的最大值． 19. 经验表明，在室温下，开水冷至到(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔测量一次开水温度(如下表)，经过后的温度为.现给出以下2个函数模型：①；②，其中a为温度衰减比例，计算公式为：. 开水温度变化 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85 79 75 71 68 65 （1）请选择一个恰当的函数模型描述之间的关系，并求出k； （2）求a值(a保留001)； （3）在室温下，开水至少大约放置多长时间(单位：，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：，) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州二中2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教2019版：选择性必修二+选择性必修三 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 2. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 3. 曲线在点的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意明确切点的横坐标，进而利用导数求出切线的斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由得，. 又，所以， 则曲线在点的切线方程为. 令得，，则该切线在轴上的截距为， 故选:B. 4. 已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（ ） A. 或 B. 3或 C. D. 9或 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设这三个数分别为，根据已知条件列出方程求解即得 【详解】不妨设这三个数分别为，且， 三个数的乘积为， 由三个数的平方和为91， 所以，解得，或， 又，所以，或， 故选：B 5. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. 【详解】第次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 若，则中， 有个和个， 所以的概率为. 故选：B 6. 某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ） A. 7205秒 B. 7200秒 C. 秒 D. 7190秒 【答案】C 【解析】 【分析】依题意每次闪烁共秒，再利用全排列求出不同的闪烁数，又相邻两个闪烁的时间间隔为秒，即可求出所需时间. 【详解】依题意每次闪烁共秒， 所有不同的闪烁为个，相邻两个闪烁的时间间隔为秒， 因此需要的时间至少是秒. 故选：C 7. 若函数满足：对，，，，，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“函数”．则下列四个函数：①，；②，；③，；④，中，“函数”有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知探求出“函数”的等价条件，再逐个求出函数①②③④的最大值与最小值，并判断作答. 【详解】依题意，不妨令，而对任意的均可作为一个三角形的边长，必有， 对于①，，函数在上递增，，显然，①不是“函数”； 对于②，在上递增，，有，即②是“函数”； 对于③，，在上递减，，有， 即③是“函数”； 对于④，，则在上递增，在上递减，，同③知，④是“函数”， 所以符合条件的“函数”有3个. 故选：B 8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件 “取出重卦中至少有2个阴爻”，事件 “取出的重卦中恰有3个阳爻”．推导出（A），，则，由此能求出结果． 【详解】每一“重卦”由从下到上排列6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“”， 在所有重卦中随机取一重卦，记事件 “取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件 “取出的重卦中恰有3个阳爻”． （A）， ， 则． 故选：D 【点睛】本题主要考查概率的求法，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 为等差数列 C D. 当时，有最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以数列是首项19，公差为的等差数列， 即，，故选项A，B正确. 因为，所以，故选项C正确. 因为，所以当时，有最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的导函数的图象关于直线对称 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为，令，得到，再令可得，所以，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，因为， 两边同时对求导，得到， 令，得到，所以选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】设事件“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，则，所以0.7． 设事件“任意调查一名学生，该学生近视”， ， 所以． 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则当时，有， 当时，有， 则有， 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；② 为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为___________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据③ 可取函数为二次函数，再结合② ① 可确定函数解析式. 【详解】由③ 知可为不含常数项的一次函数，所以函数可为二次函数， 由② 可知由① 知所以满足题意， 故答案为：(答案不唯一) 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题均15分 ，第18-19题均17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项定义，求得首项与公比，即可求得数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式，代入可得数列的通项公式，进而根据裂项法求得前n项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为成等差数列， 所以，得， 又，则，即， 化简整理得 显然，所以，解得 故数列的通项公式 （2）由（1）知， 所以 则 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列通项公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题． 16. 函数. （1）若时,函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （2）若，若函数在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）由当时，函数在其定义域内是增函数，可得对于恒成立，从而通过分离参数转化为求函数的最小值处理. （2）函数在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 =，在[1,3]上恰有两个相异实根; 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点，利用函数的导数求出函数的单调区间与极值,从而求得k的取值范围. 【小问1详解】 ，且函数定义域为， 则：对恒成立， ， （当且仅当时，即时，取等号），； 【小问2详解】 函数在[1,3]上恰有两个不同的零点, 等价于方程在[1,3]上恰有两个相异实根. 令，则； 当，；当时，； 所以在[1,2]上是单调递减函数，在（2,3]上是单调递增函数； 故，又, 故只需，所以有： 17. 由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示. 节排器等级如表格所示 综合得分的范围 节排器等级 一级品 二级品 三级品 若把频率分布直方图中的频率视为概率，则 （1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率； （2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数的分布列及数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由所给频率分布直方图可知，甲型号的节排器中一级品和二级品的概率，得出用分层抽样的方法从中抽取一级品和二级品的件数，由古典概型概率公式即可求解； （2）由频率分布直方图可得，从乙型号的节排器中随机地抽一件，一级品、二级品、三级品的概率，得出随机变量的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，由分布列求解数学期望即可. 【详解】解：（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号的节排器中一级品的概率为，二级品的概率为， 则用分层抽样的方法抽取10件，其中有6件一级品，4件二级品， 所以从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率为. （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为. 如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数可能的值为0，1，2，3, 又， ，， 因而的分布列为 0 1 2 3 所以. 18. 已知在（，为常数且，，，）中，有． （1）求的展开式中的常数项； （2）若它的展开式中的常数项是其各项系数中最大的项，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出展开式的通项为，.由已知得出，求解得出的值，代入即可得出答案； （2）由已知可得，求解可推得.令，则，化简整理可得.根据基本不等式得出，然后根据不等式的性质，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，展开式的通项为，. 由已知可得，即. 因为，所以，所以， 所以，的展开式中的常数项为. 【小问2详解】 由（1）知，该式二项展开式通项为，. 由已知可得，整理可得. 因为，，所以有. 令，则，且. 因为，当且仅当，即时等号成立， 显然满足. 所以，，所以， 所以，的最大值为. 19. 经验表明，在室温下，开水冷至到(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔测量一次开水温度(如下表)，经过后的温度为.现给出以下2个函数模型：①；②，其中a为温度衰减比例，计算公式为：. 开水温度变化 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85 79 75 71 68 65 （1）请选择一个恰当的函数模型描述之间的关系，并求出k； （2）求a值(a保留0.01)； （3）在室温下，开水至少大约放置多长时间(单位：，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：，) 【答案】（1）应该选择②，k的值为60；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在到之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求范围即可； 【详解】（1）若选择①，把代入得矛盾；若选择②，把代入，得. ∴选择②，其中k的值为60. （2） （3）由（1）（2）知，x、y之间的关系为， ∵开水冷至到 (温水)饮用对身体更有益， ∴，有，即， 又，得， ∴在室温下，开水至少大约放置才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $