精品解析：青海省海南藏族自治州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

海南州高级中学2023-2024学年第二学期高二期中考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120min 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上： 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，公差，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 3. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “徵､商､羽”的频率成等比数列 B. “宫､徵､商”的频率成等比数列 C. “商､羽､角”的频率成等比数列 D. “宫､商､角”的频率成等比数列 4. 已知，则函数在处的导数为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在时有极小值0，则（ ） A. 4 B. 6 C. 11 D. 4或11 7. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ） A. 比节能效果好 B. 用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C. 两学校节能效果一样好 D. 与自节能以来用电量总是一样大 12. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 第II卷（非选择题共90分） 三､填空题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13. 正项等比数列中，，则______． 14. 曲线在处切线方程是________. 15. 设是等比数列，且，，则的值是___________. 16. 重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有______种涂色方式． 四､解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知是等差数列，是等比数列，且 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）甲同学必须坐乙同学左边坐法有多少种？ （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种？ （3）2名家长坐一起有多少种？ 19. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 20. 已知数列是公比为2的等比数列，且. （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 22. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南州高级中学2023-2024学年第二学期高二期中考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120min 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上： 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列中，，公差，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列通项公式计算即得. 【详解】依题意，等差数列通项， 所以. 故选：A. 2. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C 3. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “徵､商､羽”的频率成等比数列 B. “宫､徵､商”的频率成等比数列 C. “商､羽､角”的频率成等比数列 D. “宫､商､角”的频率成等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案. 【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为， 所以“宫､商､角”的频率成等比数列,公比为. 故选：D 4. 已知，则函数在处的导数为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 6. 函数在时有极小值0，则（ ） A 4 B. 6 C. 11 D. 4或11 【答案】C 【解析】 【分析】求导后，由已知得到，解出，再代入导数得到单调性检验，最后得出结果. 【详解】， 因为在时有极小值0， 所以， 解得或， 当时，恒成立， 所以在上单调递增，没有极值，舍去； 当时，， 令，解得或， 所以当时，为单调递减函数； 当或时，为单调递增函数； 所以在处取得极小值，满足题意， 所以， 故选：C. 7. 函数，若在是减函数，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解． 【详解】函数， 若函数在区间上是减函数，则在恒成立， 即在恒成立， 由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以. 故选：C. 8. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合已知条件，结合导数的求导法则，即可求解. 【详解】若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D正确， 故选：CD． 11. 两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ） A. 比节能效果好 B. 的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C. 两学校节能效果一样好 D. 与自节能以来用电量总是一样大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项. 【详解】由图象可知，对任意的， 曲线在处切线比曲线在处的切线要“陡”， 所以比节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，， 则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确； 由于曲线和曲线不重合，D选项错误． 故选：AB 12. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可求解A，根据分类加法计数原理可求解B，根据排列组合，结合分类即可求解CD. 【详解】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误， 对于B, 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确， 对于C,恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确， 对于D，若老师教2门课程，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种， 因此一共有种方案，故D正确， 故选：BCD． 第II卷（非选择题共90分） 三､填空题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13. 在正项等比数列中，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由正项等比数列性质，有，则. 【详解】正项等比数列中，，则. 故答案为：2 14. 曲线在处的切线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由 则，所以，， 所以在处的切线方程为， 即. 故答案为： 15. 设是等比数列，且，，则的值是___________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案. 【详解】由是等比数列，设公比为q，且，， 则可得，故 ， 所以， 故答案为：32. 16. 重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有______种涂色方式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份地图区域，相邻省份地图颜色不相同， 则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色， 共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况， 所以不同的涂色共有种. 故答案为：. 四､解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知是等差数列，是等比数列，且 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出等比数列的公比，再求出的值，根据等差数列的通项公式求解； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和. 【小问1详解】 等比数列的公比， 所以，， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，. 因此， 从而数列的前项和 . 18. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种？ （3）2名家长坐一起有多少种？ 【答案】（1）60 （2）72 （3）48 【解析】 【分析】（1）由排列数的意义即可求解； （2）由分步乘法计数原理以及插空法即可求解； （3）由分步乘法计数原理以及捆绑法即可求解. 【小问1详解】 因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人， 故所求坐法有种. 【小问2详解】 根据题意，先将3名同学排好，有种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有种坐法， 由分步乘法计数原理可知，共有种坐法. 【小问3详解】 两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有种. 19. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键. 20. 已知数列是公比为2的等比数列，且. （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）只需求得，结合即可得出的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得； （2）化简得到，再通过裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设数列是公比为，因为，，所以解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 .即数列的前项和. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，于是，求导得， 所以，所以所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 22. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即得. （2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此，，当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以函数在区间上的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$