小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

牛吃草问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草． 第二部分 典型例题 例题1：牧场上长满了牧草，可供27头牛吃一周，或可供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，问原来的草量可供几头牛吃1周？ 【答案】4头 【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量，然后确定原来的草量可供几头牛吃1周。 【详解】 （份/周） （份） 4.5份草可供4头牛吃1周。 答：原来的草量可供4头牛吃1周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，注意牛的头数是整数，所以要采用去尾法取近似值。 例题2：早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客。现要求5分钟放完，需设立几个检票口？ 【答案】11个 【详解】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客。 ①1分钟新来多少个单位的旅客 ＝4÷8 ＝ ②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 4×15－×15 ＝60－ ＝52 ③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 52＋×5 ＝52＋ ＝55 ④设立几个检票口 （个） 例题3：某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口？ 【答案】7个 【分析】设每个入场口每分钟进1份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25分钟消失需要开几个口。 【详解】 （人/分钟） （人） （个） 答：需要同时开7个入场口。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。 例题4：整片牧场上的草长得一样密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？ 【答案】20头 【分析】本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程．若能消去a，b，c，便可解决问题． 【详解】解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有 　　 ②-①，得 36b=120C． ④ ③-②，得 96xc=1800c＋36b． ⑤ 将④代入⑤，得 96xc＝1800c+120c． 解得x=20． 答：有20头牛． 第三部分 高频真题 1．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？ 2．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 3．星星家有一片草场，原有一些草，草场每天长出的草一样多，如果用来养12匹马可以吃12天，如果用来养6匹马可以吃30天，如果养8匹马，可以吃多少天？ 4．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？ 5．有一片牧场，草每天都在均匀的生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完．那么： （1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛； （2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 6．有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3亩、10亩和24亩，12头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 7．东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？ 8．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水．如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完．如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？ 9．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。 10．由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？ 11．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 12．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？ 13．有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完．如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？ 14．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 15．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干．那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 16．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？ 17．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 18．一牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周．那么，可供21头牛吃几周？ 19．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？ 20．有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天，那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？ 21．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？ 22．牧场上长满牧草，每天都匀速生长．这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天．问可供21头牛吃几天？ 23．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 24．有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽．如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？ 25．一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供多少头牛吃12周？ 26．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 27．有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？ 28．120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 29．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？ 30．某商场八时三十分开门，但早有人来等候。从第一个顾客来到时起，每分钟来的顾客数一样多。如果开三个入口，八时三十九分就不再有人排队：如果开五个入口，八时三十五分就不再有人排队。那么，第一个顾客到达时是几点几分？ 31．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？ 32．有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽．如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的．” 33．一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？ 34．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入。当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空。如果打开7个出水口，18小时可以把水排空。如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过多少时间水池刚好被排空？ 35．有一个蓄水池装了根相同的水管，其中一根是进水管，其余根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水。后来，想打开出水管，使池内的水全部排光。如果同时打开根出水管，则小时可排尽池内的水；如果仅打开根出水管，则需小时才能排尽池内的水。若要在小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？ 36．一个牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完．这群牛原来有多少头？ 37．科技馆9点营业，每分钟来的人数相同．如果开5个窗口，则9点5分可无人排队；如果开3个窗口，则9点9分可没有人，求8点几分第一个游客到？ 38．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？ 39．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？ 40．日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？ 41．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？ 42．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？ 43．一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天。如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？ 44．17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长） 45．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 46．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？ 47．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 48．8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，2头牛和2只羊每天共吃青草44千克，李大爷养了6头牛和1只羊每天要准备多少千克的青草？ 49．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？ 50．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？ 51．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 52．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 53．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？ 54．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上．该扶梯共有多少级台阶？ 参考答案： 1．8个 【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，根据“每小时增加的水量＝总量差÷时间差”，求出每小时增加的水量；再根据“原有水量超过安全线的部分＝（泄洪闸数－每小时增加的水量）×时间”，求出原有的水量超过安全线的部分；最后用原有水量÷时间＋每小时增加的水量，即可求出需要打开的泄洪闸数量。 【详解】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，则水库每小时增加的水量为： （1×30－2×10）÷（30－10） ＝10÷20 ＝0.5 原有的水量超过安全线的部分有： （1－0.5）×30 ＝0.5×30 ＝15 如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要打开泄洪闸的个数： 15÷2＋0.5 ＝8（个） 答：至少需要同时打开泄洪闸的数目为8个。 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，准确找到等量关系是解题的关键。 2．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 3．20天 【分析】牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 其基本数量关系是： （牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。 牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数＝草地原有的草。 设每匹马每天的吃草量假设为1份，则12匹马可以吃12天可以吃144份草，6匹马可以吃30天可以吃180份草，则两种吃草方式多了36份草，是18天多出来的，草场每天长的草量为2份。144份草里面分为原来的草和新长的草，12天每天新长草2分，一共长草24份，原来的草就是120份。设养8匹马可以吃x天，根据数量关系：原来的草＋新长的草＝8匹马吃的草。 【详解】设每匹马每天的吃草量假设为1份。 草场每天长的草量为： （30×6×1－12×12×1）÷（30－12） ＝（180－144）÷18 ＝36÷18 ＝2（份） 原来草场的草为： 12×12－2×12 ＝144－24 ＝120（份） 解：设养8匹马可以吃x天。 120＋2x＝8x 8x－2x＝120 6x＝120 x＝120÷6 x＝20 答：如果养8匹马，可以吃20天。 【点睛】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。 4．40天． 【详解】试题分析：设每只羊每天吃1份草．38只羊，则25天吃完草，说明25天减少的草+原来的草共：38×25=950份； 30只羊，30天吃完，说明30天减少的草+原来的草共有30×30=900份； 所以（30﹣25=5）天枯萎的草为950﹣900=50份，即每天减少50÷5=10份，这样原来草为900+30×10=1200份，那么草地每天减少的草够5只羊吃一天．如果放20只羊，每天减少20+10份，这样可以吃1200÷30=40天． 解：设每只羊每天吃1份草； 草的减少速度即每天长的份数为： （38×25﹣30×30）÷（30﹣25） =（950﹣900）÷5 =50÷5 =10（份） 原来草的份数为：30×30+10×30=1200（份） 那么草地每天减少的草够10羊吃一天．如果放20只羊，那么每天减少20+10=30份 这样可以吃的天数为：1200÷30=40（天）． 答：如果有20只羊，这片牧场可以吃40天． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 5．（1）12头（2）3天 【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份； 21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份； 所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛． （2）那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草；还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 解：（1）设每头牛每天吃1份草； 草的生长速度即每天长的份数为： （21×8﹣24×6）÷（8﹣6）， =（168﹣144）÷2， =24÷2， =12（份）； 那么草地每天长的草够12头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛； 答：最多放12头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完． （2）原来草的份数为：144﹣6×12=72（份） 如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草； 还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 答：如果放牧36只牛，则3天可以吃完牧草． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 6．36头 【分析】吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 为了计算简便，不妨假定牧场面积用3亩作“单位”来计算，注意10=3×3，21=7×3，因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3亩草地上原有草和新长出来的草． 【详解】对3亩草地来说， 原有草+4星期新长的草=12×4. 原有草+9星期新长的草=7×9. 由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36+3×18）×（24÷3）=90×7.2 这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 7．99头 【分析】设每头牛每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16＝288份，而27头牛吃8天共27×8＝216份，多出来288－216＝72份就是16－8＝8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288－9×16＝144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的3倍，所以现在草有144×3＝432份，每天长9×3＝27份，这样每天新长的草要27头牛吃，而原来的草要吃6天，要432÷6＝72头牛，所以总共要：72＋27＝99头牛。 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 18头牛    16天    18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量 27头牛     8天    27× 8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量 从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量是： 288－216＝72 所以1天生长草量是72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量： 288－16×9 ＝288－144 ＝144 或216－8×9 ＝216－72 ＝144 则6000平方米的牧场1天生长草量是： 9×（6000÷2000） ＝9×3 ＝27； 原有草量： 144×（6000÷2000） ＝144×3 ＝432 6天里，西侧草场共提供草： 432＋27×6 ＝432＋162 ＝594 可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。 答：可供99头牛吃6天。 【点睛】牛吃草问题关键是求出原来牧场中草的份数和草每天生长的份数。 8．14个 【详解】排水问题对照“牛吃草问题”，蓄水池原注入的水量相当于“原有的草量”，打开出水管时新注入的水量相当于“新生长的草量”，每小时注入的水量相当于“每天新生长的草量”． 解：(1)每小时新注入的水量是： （5×8-10×3）÷（10-5） =（40-30）÷5 =10÷5 =2（个） (2)排水前原有的水量是： 10×3-2×3 =30-6 =24（个） （3）蓄水池2小时的总水量是： 24+2×2=28（个） 4.2小时把池内的水排完需要安排同样的出水管数是：28÷2=14（个） 答：要想2小时内把池内的水排完需要安排同样的14个出水管． 9．7：30 【分析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8：30到9：00共30分钟3个入口共进入。8：30到8：45共15分钟5个入口共进入，15分钟到来的人数，每分钟到来。8：30以前原有人。所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30。 【详解】 ＝ ＝15 9：00－8：30＝30（分钟） 8：45－8：30＝15（分钟） 30－15＝15（分钟） 15÷15＝1 ＝90－30 ＝60 （分钟） 8：30－60分＝7：30 答：第一个观众到达的时间是7：30。 【点睛】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每分新来的人的数量，再求出原有观众的数量，进而解答题中所求的问题。 10．3名 【分析】和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量． 设每个打字员的打字速度为单位1／天（具体页数不知道，用单位1表示），比较“如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．”可以得到：由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料”得材料总量为 5×24＝120． 由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料”，得材料总量为9×12＝108 比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：（120-108）÷（24-12）=l进一步，可以得到原有材料的情况：120-24×1＝96（单位1）或者108-12×1＝96．最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用40天恰好完成．”计算材料总量96+l×8+（40-8）×l÷2＝120 聘任的打字员人数为120÷40=3（名） 【详解】解：设每个打字员的打字速度为单位1／天． 材料每天增加：（5×24-9×12）÷（24-12）=1 原有材料：120-24×1=96  （或者108-12×1=96） 实际材料总量：96+l×8+（40-8）×l÷2=120 打字员人数为：120÷40=3（名） 答：公司聘任了3名打字员． 11．54分钟 【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90， 其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 12．15头 【分析】15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，15头牛，5天吃完2号牧场也就是5公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷，可得方程：2（15X）＝2（3Y）＋3，5（15X）＝7（5Y）＋5 【详解】解：15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，5天吃完2号牧场也就是5公顷；设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷 可得方程： 2×15X＝2×3Y＋3， 30X＝6Y＋3 30X÷3＝（6Y＋3）÷3 10X＝2Y＋1① 5×15X＝7×5Y＋5 75X＝35Y＋5 75X÷5＝（35Y＋5）÷5 15X＝7Y＋1② 由①得：10X×1.5＝（2Y＋1）×1.5 即为：15X＝3Y＋1.5代入②得： 3Y＋1.5＝7Y＋1 3Y＋1.5﹣3Y﹣1＝7Y＋1﹣1﹣3Y 0.5＝4Y 4Y÷4＝0.5÷4 Y＝0.125 把Y＝0.125代入①得： 10X＝2×0.125＋1 10X÷10＝1.25÷10 X＝0.125 设第2群牛有n头，可得方程 7×0.125n＝7×7×0.125＋7 7×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125＋7）÷7÷0.125 n＝15 答：第二群牛有15头。 【点睛】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方程解答即可解决。 13．45小时 【分析】这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛．牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决． 【详解】解：设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷5=4单位，水池中原有100+4×20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷4=45小时． 14．10天 【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。求出每天新长出草的量。再将某一组的用草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。解题时把羊转化成牛或把牛转化成羊。 【详解】先把120只羊和32只羊转换成牛：120÷4=30（头） 32÷4=8（头） 设每头牛每天吃草量为1份。 每天新生长的草量：（30×20-36×15）÷（20-15） =（600-540）÷5 =60÷5 =12（份） 这片牧草原有草量： 36×15-12×15=360（份） 40头牛和32只羊一共吃的天数： 360÷[（40+8）-12] =360÷[48-12] =360÷36 =10（天） 答：这片牧场可供40头牛和32只羊一起吃10天。 【点睛】本题是较为复杂的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 15．5小时 【详解】设一台抽水机一小时抽水一份．则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时 16．解：设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，每天增长为z； 根据题意可得： ， ③﹣①得到y=z； 代入①②可得： ， ， 解得：； 牛马羊一起每天吃：（x+y+x+y）=（+++）=； 设牛马羊一起吃可以吃t天； 可得： ×t=1+t， ×t﹣t=1， t=1， t=36． 答：马、牛、羊一起吃，需36天． 【详解】牛吃草问题 根据题意，把原来的草看作单位“1”，设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，草每天增长为z；那么牛、马吃需要45天吃完， 即：45（2x+y）=1+45z；马、羊吃需要60天吃完，即60（x+2y）=1+60z；牛、羊吃需要90天吃完，即90（x+y）=1+90z； 然后列出方程组进行解答即可． 17．36头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛 18．12周 【详解】将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛9周吃207份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周长草15份，牧场原有草162－15×6＝72（份）．21头牛中的15头牛吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）． 19．750米/分 【分析】通读题意，由两个未知量，即骑人的速度、汽车出发时骑车人与A点的距离．只要求出这个两个未知量，便可解答本题。先求出快车与慢车的距离；再求出汽车人的速度，然后求出快车出发时与骑车人的距离，即可求出中速车速度。 【详解】（1）快车与慢车的距离为： （800－600）×7 ＝200×7 ＝1400（米）； （2）骑车人的速度： 600－1400÷（14－7） ＝600－1400÷7 ＝600－200 ＝400（米）； （3）快车出发时与骑车人的距离： （800－400）×7 ＝400×7 ＝2800（米）； （4）中速车速度： 400＋2800÷8 ＝400＋350 ＝750（米） 答：中速车的速度是750米。 【点睛】此题巧妙地安排了三个追及事件，需要考生灵活获取信息。 20．10头 【分析】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草的增长速度，每天新生的草量是几份，就可以供几头牛吃1天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （头） 答：这片牧场每天新生的草量可供10头牛吃1天。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，这里考查的比较简单，只需要求出草的增长速度即可。 21．没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头 【详解】解：设每头牛每天吃的草量为单位1， 由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：17×30＝510（1） 再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为19×24=456（2） 因为总草量（1）与总草量（2）的差510-456＝54（单位1） 所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30一24=6（天） 牧场草每天生长的草量为54÷6=9 由此可知：牧场原有的草量为510-9×30＝240或者456－9×24＝240 由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天） 所以牧场生长的草量为9×8=72（单位1） 进而可知牧场在8天内的总草量为240+72=312（单位1） 假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为312+4×2＝320（单位1） 因此，这群牛的头数为320+8＝40（头） 答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头． 22．12天 【详解】略 23．4天 【分析】此题相当于“牛吃草问题”，开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为（160×10－250×6）÷（10－6）＝25，原有砖的数量为：250×6－6×25＝1350。果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350－950＝400原有的砖未用，变成120＋5＝125人来砌砖，还需要：400÷（125－25）＝4（天）。 【详解】设1名工人1天砌砖数量为1。 则每天运来的砖： （160×10－250×6）÷（10－6） ＝100÷4 ＝25 原有砖数： 250×6－6×25 ＝1500－150 ＝1350 120名工人砌10天后还剩的砖︰ 1350－120×10＋10×25 ＝1350－1200＋250 ＝400 400÷（120＋5－25） ＝400÷100 ＝4（天） 答∶还需要4天可以把砖用完。 【点睛】牛吃草问题的基本公式是：生长量＝（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。灵活运用公式解题，是解答本题的关键。 24．12天 【分析】对于比较基本的牛吃草问题，我们可以用“五步法”来解题： 1.求出两个总量． 2.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数 3.每天长草量×天数=总共长出来的草 4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草 5.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛） 【详解】解：设1头牛1天吃1份的草， 27×6＝162　　　23×9＝207 （207－162）÷（9－6）＝15 15×6＝90 162－90＝72 72÷（21－15）＝12 答：如果养牛21头，那么12天能把草吃尽 25．21头 【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草速和原草量，再考虑这片草地可供多少头牛吃12周。 【详解】 （份/周） （份） （头） 答：可供21头牛吃12周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，牛吃草问题也可以通过方程组来求解。 26．12分钟 【分析】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客．等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解．设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，可求每分钟新来旅客数量．假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客数量．同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要时间可求． 【详解】每分钟新来旅客：（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份） 原有旅客为：（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份） 开7个检票口需要时间：60÷（7-2）=12（分） 答：需要12分钟． 27．10天 【详解】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。 28．360头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草． 120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草； 210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草； 每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份． 如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份， 126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天． 29．4个 【详解】设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份． （1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份） （2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份） （3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份） （4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值） 30．7点45分 【详解】设每个入口每分钟能放进商场的人数为一份；从八时三十分到八时三十九分经过了：9分钟；从八时三十分到八时三十五分经过了：5分钟； 每分钟增加的人数：（9×3－5×5）÷（9－5） ＝（27－25）÷4 ＝2÷4 ＝0.5 （份）； 原有等候的人数：9×（3－0.5） ＝9×2.5 ＝22.5（份）； 从第一个顾客来到时起，到八时三十分开门经过的时间是：22.5÷0.5＝45（分钟）； 所以第一个顾客到达时是：7点45分； 答：第一个顾客到达时是7点45分。 31．9天 【详解】略 32．12天 【详解】设牛每天吃掉x，草每天长出y，原来有牧场的草量是a a=(27x-y)*6=(23x-y)*9 可解出y=15x,a=72x,所以a=(21x-y)*12,所以需要12天． 33．5天 【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃：（天） 【详解】 ＝ ＝10 ＝ ＝ ＝ ＝5（天） 答：那么12头牛与88只羊一起吃可以吃5天。 【点睛】牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是相同的。需要特别注意的是，若干头牛一定时间内的吃草量与草场同样时间内的草总量是相等的。解题时要先求出长草速度，然后解得原草量数，最后回答问题。 34．7小时12分钟 【分析】当水从进水口匀速流入的同时出水口以更快的速度排出，假设1个出水口1小时排1份水，就可以知道9个出水口9小时排水9×9＝81份，7个出水口18小时排水7×18＝126份，从而可以求出进水口每小时进水多少份，用9小时排水的份数－9小时进水的份数＝半池水的份数，也就知道了一满池水的份数，再用一满池水的份数÷（15个出水口1小时排水份数－进水口1小时的进水份数）就可以了。 【详解】假设1个出水口1小时的出水量为1份，则进水口1小时的进水量为： ＝45÷2 ＝5（份） 半池水的量为： ＝4×9 ＝36（份） 所以一池水的量为：36×2＝72（份）， 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为： ＝72÷10 ＝7.2（小时） 即7小时12分钟。 答：如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过7小时12分水池刚好被排空。 【点睛】此题为复杂的工程问题，是牛吃草问题的变形，解决此题的关键是假设1个出水口1小时排1份水，进而可以求出进水口每小时进水多少份。 35．6根 【分析】设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为，池内原有水量为。要在小时内排尽池内的水，应当同时打开根出水管。 【详解】 ＝6÷3 ＝2 ＝6×3 ＝18 ＝4＋2 ＝6（根） 答：那么应当同时打开6根出水管。 【点睛】此题实际上是著名的“牛吃草问题”的变形，关键根据两次“如果”求出进水管每小时进水量是解题的关键。 36．25头 【详解】设每头牛每天的吃草量为1份．每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份．如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份．所以这群牛原来有200÷8=25头 37．8时15分 【详解】9时开门，开3个入口，9：09就结束入场，开5个入口，9：05就结束入场，来人的速度为： 开门之前来人为 第一个观众来的时间距开门时间，（分） 再用9时减去45分即可求出答案． （分） 9时－45分＝8时15分． 答：第一个游客达到博物馆的时间是8时15分． 【点睛】牛吃草问题 38．天 【分析】题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来；2公顷、4公顷和6公顷统一为12公顷，然后按照一般的行程问题考虑。 【详解】设1头牛1天吃草量为“1”； 将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天； 将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天； 所以12公顷的牧场每天新生长的草量为： 12公顷牧场原有草量为： 那么12公顷牧场可供16头牛吃： （天） 答：6公顷的牧场可供8头牛吃45天。 39．42头 【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5公顷面积原有草量+5公顷面积30天长的草=10×30=300份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15公顷面积原有草量+15公顷面积45天长的草=28×45=1260份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每公顷面积长84﹣60=24份；则每公顷面积每天长24÷15=1.6份．所以，每公顷原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24公顷，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃． 解：设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷30天的总草量为：10×30÷5=60； 每公顷45天的总草量为：28×45÷15=84； 那么每公顷每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6； 每公顷原有草量为：60﹣1.6×30=12； 那么24公顷原有草量为：12×24=288； 24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072； 24公顷80天共有草量3072+288=3360； 所以有3360÷80=42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决． 40．8根 【分析】根据已知条件“打开6根水管15分钟可将池内的水放干，若同时打开7根水管12分钟可将池内的水放干”可求出每分钟的进水量和池内原有的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设一根出水管每天放出的水量为1： ①6根出水管15分钟的出水量为： 6×15﹦90 ②7根出水管12分钟的出水量：7×12＝84 ③一根进水管每分钟的进水量： （90－84）÷（15－12） ＝6÷3 ＝2 ④池内原有水量： 90－2×15 ＝90-30 ＝60 或84－2×12 ＝84-24 ＝60 ⑤出水管的根数： （60＋2×10）÷10 ＝（60＋20）÷10 ＝80÷10 ＝8（根） 答：这个水池装有8根出水管。 【点睛】解答本题问题的关键是从变化中找到不变的量：每分钟的进水量和池内原有的水量。 41．126天 【分析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求5、15、36的最小公倍数180， 因为5公顷草地可供12头牛吃28天，180÷5=36，所以180公顷草地可供12×36=432头牛吃28天，因为15公顷草地可供21头牛吃63天，180÷15=12，所以180公顷草地可供21×12=252头牛吃63天，因为180÷36=5，所以180公顷草地可供5×36=180头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？” 【详解】解：由分析知，本题可转化为：一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？ 设1头牛一天吃的草为1份 ①每天新长出的草量： （252×63-432×28）÷（63－28） =（15876-12096）÷（63－28） =3780÷35 =108（份） ②牧场原有草量： 252×63-108×63 =15876-6804 =9072（份） ③可供180头牛吃的天数： 9072÷（180－108） =9072÷72 ﹦126（天） 答：第三块草地可供36头牛吃126天。 【点睛】解答此题的关键是将三块草地的面积统一起来，将复杂的题变为简单的基本类型的题目进行解答即可。 42．18天 【分析】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运4×9＝36份，5辆6天能运5×6＝30份，相差36－30＝6份，这6份就是仓库在9－6＝3天内进仓的，每天进仓6÷3＝2份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完。 【详解】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为： （9×4－5×6）÷（9－6） ＝6÷3 ＝2 原有存货为： （4－2）×9 ＝2×9 ＝18 仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要： 18÷1＝18（天） 答：仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18天运完。 【点睛】本题考查了牛吃草问题，要理解第一种运法比第二种运法多用的3天中，还在运进货物，每天运进来的货物恰好就是两辆车运进来的货物之和。本题关键是得出仓库原来有的份数。 43．8天 【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份草，可得16头牛吃了20天，共吃了1600份；100只羊吃12天，共吃了1200份，由此可求出草每天生长的份数；再根据“16头牛吃20天”，可以求出草地原有的草的份数；10头牛一天吃50份草，正好是草每天生成的量；剩下的75只羊来吃草地原有的600份草，可以吃8天，问题得解。 【详解】假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份； 16头牛吃了20天，共吃了16×5×20＝1600（份）； 100只羊吃12天，共吃了100×12＝1200（份）； 草每天生产：（1600－1200）÷（20－12）＝50（份）； 原来的草有：16×5×20－50×20＝600（份）； 10头牛一天吃：10×5＝50（份），正好是草每天生成的量； 75只羊吃的天数是：600÷75＝8（天）。 答：这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天。 【点睛】本题是典型的牛吃草问题，解题的关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数。 44．头 【分析】由于三种情况下草地的大小是不一样的，那么原草量和草的增长量都是不同的，这里需要进行转化，求出每公亩牧场每天的牧草生长量，以及每公亩牧场的原草量，然后再考虑多少头牛吃40公亩的草，24天可吃完。 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草。每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份。 如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天。 答：35头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当多块草地的面积不一样时，需要求出单位面积的增长量及单位面积的原草量。 45．48只 【详解】试题分析：根据“一头牛一天的吃草量等于3只羊一天的吃草量，”那么36只羊的吃草量就等于（36÷3）12头牛的吃草量； 设每头牛每天吃草1份，根据“18头牛吃40天，或供12头牛与36只羊吃25天，即12+12=24头牛吃25天”可以求出草每天生长的份数：（18×40﹣24×25）÷（40﹣25）=8（份）；再根据“18头牛吃40天，”可以求出草地原有的草的份数：（18﹣8）×40=400（份）；由于草每天生长8份，可供16天吃完，需要牛的头数是（400+8×16）÷16=33（头），然后减去17头牛，得到的差转化成羊的只数即可；问题得解． 解：设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为： 36÷3=12（头） 草每天生长的份数： 18×40﹣24×25）÷（40﹣25） =120÷15 =8（份） 草地原有的草的份数： （18﹣8）×40=400（份） 16天吃完，需要牛的头数是： （400+8×16）÷16=33（头） （33﹣17）×3 =16×3 =48（只） 答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完． 点评：本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答． 46．35头 【详解】解：设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 54×（22-33y）=33x，① 84×（17-28y）=28x，② 把方程①②联立，解得：y=0.5，x=9 那么：（40×9+0.5×40×24）÷24=360÷24+20=35（头）； 答：40亩草地可供35头牛食用24天． 【点睛】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量． 47．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 48．6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草 【详解】试题分析：根据题意可以得出：8头牛+3只羊=136千克①，2头牛+2只羊=44千克②，用①﹣②即可求出6头牛和1只羊吃草的量． 解答：解：由题意可得： 8头牛+3只羊=136千克①， 2头牛+2只羊=44千克②， ①﹣②可得： 6头牛+1只羊=136﹣44=92千克 答：6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草． 点评：解决这类问题的关键是利用牛吃的草量得出数量关系，可根据数量关系和要求的问题，适时的将条件进行转化． 49．4人   10天 【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”      6人    4天   6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒      4人    5天   4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒 从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天． 原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）． 50．65名 【分析】砖的总数量可以分为工地上原有的砖和新运进的砖两部分，工地上原有的砖是不变的，新运进的砖虽然在变化，但因为是匀速变化，所以工地上每天新运进的砖的数量是相同的，即每天新运进的砖的数量是不变的。可求出每天新运进的砖的数量，再求出工地上原有的砖的数量，最后求出问题。 【详解】解：假设每人每天砌砖的块数为单位“1”。 每天运进砖的数量是：（36×24-40×20）÷（24-20） =（864-800）÷4 =16（份） 原有砖的数量： 40×20-16×20=480（份） (3)原来派的工人数： [480+ 16×（8+2）+5×2]÷（8+2） =[480+ 16×10+5×2]÷（8+2） =[480+ 160+10]÷10 =650÷10 =65（名） 答：原来派65名工人砌墙。 【点睛】求出每天新运进的砖的数量和工地上原有的砖的数量是解答本题的关键。 51．12天 【分析】摘录条件： 27头    6天    原有草+6天生长草 23头    9天    原有草+9天生长草 21头    ？天   原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45．为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？ 【详解】第一次吃草量27×6=162 第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15 原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72 21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天） 52．头 【分析】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。 【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为： 1公顷牧场原有草量为： 24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为； 若想维持18周，需要饲养：（头）牛。 答：需要饲养40头牛。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。 53．150级 【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）． 【详解】自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5） =10÷1 =10（级） 自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级） 答：扶梯共有150级． 54．150级 【详解】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答． 学科网（北京）股份有限公司 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