小升初典型奥数：列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

列方程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.知识概要 列方程解应用题是在初步学会用含有未知数的等式解一些需要逆向思考的简单应用题的基础上学习的。学好列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。列方程解应用题是简易方程知识的实际应用，也是一种重要的数学方法。它能使一些问题化难为易，拓展解题思路，提高解题的灵活性和变通性。 2.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题（弄清未知数和未知数与已知条件之间的数量关系）。 （2）设未知数。 （3）概括等量关系，列出方程。 （4）解方程。 （5）检验，作答（将解得的结果代入原应用题.依题意检验，看答案是否正确）。 3.掌握分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如： 三角形的面积=底×高÷2； 长方形的周长=（长+宽）×2等。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 4.弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系 （1）列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。 （2）用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。 （3）列方程解应用题和用算术方法解应用题是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。 第二部分 典型例题 例题1：图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？ 【答案】33本 【分析】此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，公式中只有两项未知：没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的数目，一项的最值取决于另一项的取值，采用方程法分析． 【详解】解：设没被任何人借阅过的书有x本，同时被三人借阅过的为y本 100=（33+44+55-29-25-36+y）+x 化简为：x+y=58 要使x值取最少，那么y值应该尽量大，由题意画韦恩图可知，y包含于三集合29，25，36中，所以y的最大值应该是25，此时x=33，即最少有33本没有被甲乙丙中的任何一人借阅过． 答：这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过． 【点睛】1，由于只有两项未知数，所以可以用方程法进行分析，如果未知数多于两个，则不宜用方程法． 2，应该用包含的原理得出其中项的最大值或最小值．若A包含B，那么B的最大值为A，A的最小值为B，如：某班数学成绩满分人数为15，那么数学语文成绩均满分的人数最大为15，反之若数学语文成绩均满分的人数为5，那么语文成绩满分的人数最少为5人． 例题2：某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖重量的比白糖重量的还多2千克，两袋糖共重82千克，求红糖和白糖各多少千克？ 【答案】红糖50千克，白糖32千克 【详解】解法一：设红糖为“1” 1÷=4 82+4×2=90（千克） 90÷（1+×4）=50（千克） 82-50=32（千克） 答：红糖有50千克，白糖32千克． 解法二：设红糖有x千克，那么白糖有82-x千克 根据题意列方程： x=（82-x）+2 解得，x=50 82-50=32（千克） 答：红糖有50千克，白糖32千克． 例题3：金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年级植树总数的倍少8棵，五年级植树多少棵？ 【答案】208棵 【分析】六年级比五年级植树总数的倍少8棵，就是六年级的倍的数少8，等于六年级植树的总数．等量关系是：五年级的倍－8＝六年级的植树总数． 【详解】解：设五年级植树x棵，根据题意列方程得： x-8=252 x=252+8 x=208 答：五年级植树208棵． 例题4：购买3斤苹果，2斤桔子需要元；购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要多少元？ 【答案】2.7 【详解】假设购买1斤苹果、桔子分别需要元、元，则： ， 两式相加得，即． 所以各买1斤需要元． 点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买斤苹果和斤苹果，须元，所以各买1斤需要元. 第三部分 高频真题 1．解放军某部快艇追及敌舰，追到岛时敌舰已逃离该岛分钟，敌舰每分钟行米，我军快艇每分钟行米．如果距敌舰米处可以开炮射击，解放军快艇从岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？ 2．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 3．有红、白球若干，若每次拿出 1 个红球和 1 个白球，则拿到没有红球时，还剩下 50 个白球；若每次拿出 1 个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50 个红球；问这堆红球、白球共有多少个？ 4．在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间？ 5．甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米／小时，汽车载人速度是千米／小时，空车速度是千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？ 6．六年级学生去秋游，要分成15个组，一部分由8人组成一个小组，另一部分由5个人组成一个小组，8人组成小组的总人数比5人组成小组的总人数多3人，求六年级共有多少名同学参加秋游？ 7．一个爱斯基摩人乘坐套有只狗的雪橇赶往朋友家，在途中第一天，雪橇以爱斯基摩人规定的速度全速行驶，一天后，有只狗扯断了缰绳和狼群一起逃走了，于是剩下的路程爱斯基摩人只好用只狗拖着雪橇，前进的速度是原来的，这使他到达目的地的时间比预计的时间迟到了天．事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天．”请问，爱斯基摩人总共走了多少千米路程？ 8．有两条纸带，一条长2l厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的．问剪下的一段长多少厘米? 9．甲、乙二人共有存款1800元，甲取出他的，乙取出他的以后，二人余存数正好相等．甲、乙两人原来各有存款多少元？ 10．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 11．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 12． 某学生将乘一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 13．把自然数l，2，3，…，998，999分成3组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这3个平均数的和是多少? 14．甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出，乙仓运出6万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？ 15．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套．”厂长听后算了一下：若减价5%，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问这种课桌每套的成本价是多少元？ 16．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？ 17．老师和同学共88人，一起植树，男生比女生少4人，老师平均每人植110棵，男生平均每人植100棵，女生平均每人植80棵，师生共植了8040棵．问老师有多少人？ 18．一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，糖水的浓度变为15％．这个容器内原来含有糖多少千克？ 19．小春读一本小说，如果每天读35页，则读完全书比规定日期迟到一天；如果他每天读39页，最后一天要读多少页才能按日期读完？ 20．用绳子测井深，绳子两折时余厘米，绳子三折时差厘米，求绳长和井深？ 21．已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元．篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元．问：每个篮球多少元？ 22．有两支香，第一支长厘米；第二支长厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍? 23．苹果和梨共80斤，价值200元，已知苹果2元一斤，梨元一斤，那么苹果和梨各多少斤？ 24．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？ 25．甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？ 26．甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前 5 小时完成了任务。 问：甲一共生产了多少个零件？ 27．某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达到优，请问：三项都是优的有多少人？ 28．今年兄弟俩人的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问哥哥和弟弟今年年龄分别是多大？ 29．小明和爸爸一起植树，爸爸每小时植树10棵，植了一段时间后小明接着植，小明每小时植6棵，两人共植树8小时，共植了60棵．问：小明植了多少棵？ 30．某乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角钱收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱（用电按整度计算），问甲、乙两家各交了　 　、　 　电费． 31．甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，甲步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米．他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园．那么放车的位置距出发点多少千米？ 32．将球装入两种盒子中, 每个大盒子装12个, 每个小盒子装5个，正好装完．如果弹子数为99，盒子数大于9，大盒和小盒各多少个？ 33．四个自然数，每次取其中的三个相加，得到四个和，分别为22，24，27和20，求这四个数各是多少？ 34．用5千克含盐20%的盐水，如果把它稀释为含盐15%的盐水，需要加水多少千克？ 35．小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？ 36．已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元．篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元．问：每个篮球多少元？ 37．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄． 38．一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各有多少人？ 39．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？ 40．新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少名？ 41．甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的倍。将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？ 42．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 43．姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐姐与弟弟现在的年龄和为岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？ 44．甲、乙、丙、丁四人共做零件270个．如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？ 45．地下水从一个水池的四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A、B两管4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？ 参考答案： 1．35分钟 【详解】根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程=米设解放军快艇从岛出发经过分钟可以开炮射击敌舰，由题意得：，，所以，解放军快艇从岛出发经过分钟可以开炮射击敌舰． 2．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 3．250个 【详解】解：设红球X个，则有白球（X+50）个，根据题意得 （X+50）÷3=X-50 X+50=（X-50）×3 X+50=3X-150 2X=200 X=100 白球：X+50=100+50=150； 100+150=250（个） 答：这堆红球、白球一共有250个． 4．9:05时 【详解】8:30时黄甲虫距左端(厘米)，设再经过分钟红甲虫位于蓝、黄甲虫的中间． 此时，红甲虫距蓝甲虫厘米，距黄甲虫厘米； 可得方程，解得． 所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间． 5．2小时 【详解】 行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为1，车开出后返回接乙班． 由车与乙相遇的过程可知：，解得， 因此，车开出千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行千米，共用小时。 6．93 【详解】设8人小组有x组，则5人小组有组 （名） 7．160 【详解】(法1)根据爱斯基摩人所说的话，“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天”，可知只狗拉雪橇走千米，比只狗拉雪橇走千米少用一天．设只狗的速度是千米/天，则根据题意有：，解得：再设原计划走天，由题意得：，解得：，所以爱斯基摩人总共走了：(千米)． (法2)由于所行总路程不变，依题意知只狗拉雪橇的速度与只狗拉雪橇的速度比为，所以时间比为，结果恰好晚了天，所以行完全程计划用天，实际用了天，再拖雪橇千米后所用时间比还是，所以再拖雪橇千米后计划用时天．实际用时天，所以只狗托雪橇的速度为(千米/天)，所以全称为千米 8．0.2 【详解】开始时，两条纸带得长度差为21－13＝8(厘米)． 因为两条纸带都减去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，有它们的差为13－8＝5份，则每份为8÷5＝1.6(厘米) ． 所以，剪后短纸带长为1.6×8＝12.8(厘米)，于是减去13－12.8＝0.2(厘米)． 方法二：设剪下x厘米， 则，交叉相乘得：13×(13－x)＝8×(21－x)，解得x＝0.2， 即剪下的一段长0.2厘米． 9．甲：1000元   乙：800元 【详解】解：设甲原来有存款x元，则乙有1800-x元 （1-）x=（1-）（1800-x） 解得，x=1000 1800-x =1800-1000 =800（元） 答：甲原来有存款1000元，乙原来有存款800元． 10．20% 【分析】根据题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍。设B种酒精浓度为x%，则A种酒精浓度为2x%。A种酒精溶液100克，因此100×2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。B种酒精溶液400克，因此400×x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。 【详解】解：设B种酒精浓度为x%，则A种酒精的浓度为2x%。 150＋6x＝14×15 x＝10 2x%＝2×10%＝20%。 答：A种酒精的浓度为20%。 【点睛】本题考查浓度问题，明确溶液、溶质和溶剂三个概念并掌握它们之间的关系是解题的关键。 溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。 溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。 基本公式： 浓度＝溶质÷溶液×100%＝溶质÷（溶质＋溶剂）×100% 溶质＝溶液×浓度 溶液＝溶质÷浓度 溶剂＝溶质÷浓度－溶质＝溶液×（1－浓度百分数） 11．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁. 【详解】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁； ②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁． 根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁． ③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁． （法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系： ，这个二元一次方程组的解为． 如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁． 12． 【详解】由题意得：，即：，所以有：．解得， 所以 13．1500 【详解】若设每一组的平均分均为a，则总和为999a＝(1+999)×999÷2，所以a＝500，于是这三组平均数的和为1500． 14．甲：35万千克  乙：20万千克 【详解】解：设甲仓原有粮食有x万千克，则乙仓原有粮食（55-x）万千克．根据题意列方程得: （1-）x=55-x-6 解得，x=35 55－35＝20 答：甲仓原有35万千克，乙仓原有20万千克． 15．70元 【详解】设这种课桌每套成本是x元．减价5%就是每套减100×5%=5(元)，这样李校长就多订购4×5=20(套)．由前、后获利润的情况，可列方程：(100－x)×80+100=(100－100×5%－x)×[80+4×(100×5%)]．解这个方程得x=70，所以这种课桌每套的成本价为70元． 16．10人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出． 【详解】 解法一：如图，设三个班都报的同学为x人 140+120+60－60－40－30+x=200 解得x=10 答：共有10人三个班都报了． 解法二： 200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）． 17．8人 【详解】解：设女生有x人，男生就有x-4人，老师的人数是88-x-（x-4）=92-2x人，根据题意列方程： 80x+100×（x-4）+110×（92-2x）=8040 解得，x=42      92-42×2 =92-84 =8（人） 答：老师有8人． 【点睛】解答此题的关键是设出未知数，分别表示出男生、女生与老师的人数，再根据平均数的意义分别求出他们的植树棵数即可解答问题． 18．7.5千克 【分析】由于加水前后容器中所含有的糖的重量并没有改变，所以我们只需将加水前后容器中所含糖的重量表示出来，即可计算出结果． 【详解】解：设容器中原有糖水x千克，根据题意列方程 25％x=（x＋20）×15％ 解得x=30 30×25％=7.5（千克） 答：容器中原来含糖7.5千克． 19．最后一天所读的页数并不是固定的，随规定时间的变化而变化，具体见解析。 【分析】书的页数和规定时间都不知道，而第二种情况，只是给出每天读的页数，并未给出时间，所以考虑设未知数，列方程求解。 【详解】解：设规定时间为x天，若每天读39页，最后一天要读y页可按日期读完； x、y都是整数，且x大于0，分类讨论，找出合适的解； x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 70 66 62 58 54 50 46 42 38 页数 70 105 140 175 210 245 280 315 350 x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 34 30 26 22 18 14 10 6 2 页数 385 420 455 490 525 560 595 630 665 答：如果每天读39页，同时保证按日期读完，最后一天要读的页数跟规定时间有关，具体如上表所示。 【点睛】当未知数个数多于方程个数时，方程的解并不唯一确定，需要分情况讨论，找出合适的解。 20．绳长为600厘米，井深为240厘米 【详解】法一： 设井深是厘米， 由题意得，解得； 所以，井深为厘米，绳长为厘米； 法二：（学生不一定会用分数） 设绳长是厘米， 由题意得，解得； 所以，绳长为厘米，井深为厘米． 21．39 元 【详解】解：设每个排球 x 元，则每个篮球为 x 10 元，每个足球 x 8 元，由题意列方程： x x 10 x 8 35 3 3x 18 105 3x 87 x 29 所以 x 10 29 10 39 ，即每个篮球 39 元 22．5分钟 【详解】设分钟后第一支香是第二支香长度的倍．由题意得：，分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍． 23．苹果有30斤，梨有50斤 【详解】设苹果斤，梨斤 则有，解得． 所以苹果有30斤，梨有50斤． 24．22人 【分析】题目中未知数为只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以建议使用方程法解出．注意题目中要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，而不是订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以应该先求出订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，然后再减去三项都订的人数即可． 【详解】 设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有x人 120-85-90-70+62+46+x-21=5 解得x=43 43-21=22 答：只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数为22人． 【点睛】1，此题中未知的是参加两项的人数，选用列方程的方法会让数据关系更清晰． 2，注意题目要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，这不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而应该根据韦恩图中的关系间接求出． 25．甲种：5升  乙种：2升 【详解】解：设甲种酒精溶液需要x升，那么乙种酒精溶液需要7-x升，根据题意列方程： x+×（7-x）=7×50% 解得，x=5 乙种酒精溶液需要7-5=2（升） 答：甲种酒精溶液需要5升，乙种酒精溶液需要2升． 26．120个 【详解】解：设甲一共生产了x小时 （x+5）×8=12x 解得，x=10 10×12=120（个） 答：甲一共生产了120个。 27．5人 【详解】解：设三项都达到优的有x人，由逐步排除法有： 20+18+22-7-8-6+x+1=45 解得x=5 28．哥哥今年33岁，弟弟今年22岁 【详解】解：设今年哥哥x岁，则今年弟弟是岁．过去某年哥哥岁数是岁，那是在 即年前，当时弟弟岁数是即．列方程为 （岁） 29．30棵 【详解】解：设小明植x棵，根据题意列方程： (60-x)÷10+x÷6=8 解得，x=30 答：小明植树30棵． 30．2元7角6分，1元8角． 【详解】试题分析：如果甲、乙两家用电均超过24度，那么他们两家的电费差应是2角钱的整数倍； 如果甲、乙两家用电均不超过24度，那么他们两家的电费差应是9分钱的整数倍． 现在9角6分既不是2角钱的整数倍，又不是9分钱的整数倍，所以甲家的用电超过了24度，乙家的用电不超过24度． 设甲家用了24+x度电，乙家用了24﹣y度电，有20x+9y=96，得x=3，y=4． 即甲家用了27度电，乙家用了20度电，那么乙家应交电费20×9=180分=1元8角，则甲家交了180+96=276分=2元7角6分．即甲、乙两家各交电费2元7角6分，1元8角． 解：设甲家用了24+x度电，乙家用了24﹣y度电，有20x+9y=96，得x=3，y=4． 即甲家用了27度电，乙家用了20度电，那么乙家应交电费20×9=180分=1元8角，则甲家交了180+96=276分=2元7角6分． 答：甲家交电费2元7角6分，乙家交电费1元8角． 故答案为2元7角6分，1元8角． 点评：完成此题，关键是根据整数倍来确定两家的用电范围，进一步解决问题． 31．9千米或24千米 【详解】根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点x千米，如果甲先骑车,方程为：，如果乙先骑车,方程为：，两条方程分别解得x=9和x=24，所以有9千米和24千米两种答案. 32．大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个 【详解】两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解． 解：设大盒x个，小盒y个． 12x+5y=99（x＞0，y＞0，x+y＞9）         y＝（99－12x）÷5 结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是4，x取2、7． 经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3． 所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个． 由题中可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解．不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决 33．9、7、4、11 【详解】设这四个数的总和为，那么这四个数分别为，，和，那么 ． 所以这四个数分别为、、、． 34．千克 【详解】解：设需要加水x千克，根据题意列方程得: （5+x）×15%=5×20% 解得，x= 答：需要加水千克． 35．小力原有故事书5本，小军原有故事书15本 【详解】解：设小力原有故事书x本，则小军原有故事书3x本 （本） 36．39 【详解】设每个排球元，则每个篮球为元，每个足球元，由题意列方程： . 所以，即每个篮球元． 37．9岁 【详解】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有． 小明的年龄是（岁）． 38．大人有20人，幼儿有80人 【详解】这是一个鸡兔同笼问题的变形．解：设有x个幼儿，则有个大人，列方程 （人） 39．675 【分析】这题是数字问题，根据“新数比原数小108”可以列出等量关系式：“原数＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，则原三位数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）． 【详解】解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x． 10x＋5＝5×100＋x＋108 10x－x＝500＋108－5 9x＝603 x＝67 10×67＋5＝675 答：原三位数是675． 40．男生3人，女生5人 【详解】设这个小组中的男生的人数为人，那么女生的人数为人， 由两种搬书方式的数量关系可以列出方程： ． 所以这个小组中有男生3人，女生人． 41．30% 【分析】设乙瓶盐水的浓度是x%，甲瓶盐水的浓度是3x %，根据两种盐水中盐的质量之和等于混合后盐水中盐的质量列方程求解即可。 【详解】解：设乙瓶盐水的浓度是x%，甲瓶盐水的浓度是3x%。 100×3x%＋300×x%＝（100＋300）×15% 6x＝60 x＝60÷6 x＝10 3x%＝3×10%＝30% 答：甲瓶盐水的浓度是30%。 【点睛】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题，解题的关键是找出等量关系式。 42．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 43．10 【详解】设弟弟现在的年龄是岁，那么姐姐的年龄为岁，年龄差为，弟弟当年年龄为岁，由题意可列方程，解得所以，弟弟现在的年龄是岁． 44．30 【详解】设四人做的零件数恰好都为，根据题意可得： ，解得 ， 丙实际做了（个 ）． 45．小时 【详解】把满池水看作“1”．A管8小时把水排空，表明A管8小时的排水量为“1”加8小时的渗水量，设每小时渗水量为x，则A管每小时的排水量为；类似地，B管每小时的排水量为；C管每小时的排水量为．于是A、B两管同时打开，一小时的排水量即可表示为，又可表示为，由此就可求出每小时的渗水量相当满池水的几分之几． 再设想B、C同时打开，每小时渗入的水全由B排出，那么B、C两管每小时将排出水为，这样就可求出所需时间． 据以上分析可得方程 解得 答：打开B、C两管，将水池排空需小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$