小升初典型奥数：分数与百分数问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

分数与百分数问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 ①出勤率＝出勤人数÷总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100% 小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100% 产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100% 职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% ②纳税问题： 缴纳的税款叫应纳税款 应纳税额与各种收入的比率叫做税率 税款＝应纳税金×税率 ③利息问题： 存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息 利息与本金的比值叫做利率 利息＝本金×利率×时间 2．分数和百分数应用题（多重条件） 【知识点归纳】 下列五种基本类型的解题方法： 1．求：一个数的百分之几是多少？ 方法：单位1×对应分率＝比较量 2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 方法：比较量÷对应分率＝单位1； 或设这个数（单位1）为X，用方程解． 3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”， 求：标准量（单位1）或比较量？ 方法：（1）单位1±单位1×n%＝比较量 （2）单位1×（1±n%）＝比较量 （3）比较量÷（1±n%）＝单位1 找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X． 4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？ 方法：相差数÷单位1 5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）” 方法：比较量÷单位1 （提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量． 第二部分 典型例题 例题1：学校展示学生绘画，低、中年级科技作品共有120件，中、高年级作品共有168件，又知道低年级作品占高年级作品的，高年级作品有多少件？ 【答案】84件 【详解】首先找准单位“1”，然后再确定可以对应起来的“量”和“率”．可以设高年级为单位“1”，我们还是画线段图来帮助理解，明显可以看出，（168－120）是高年级比低年级多的量，而（1－）是高年级比低年级多的率，这样就找出了对应的“量”和“率”． 解：（168－120）÷（1－）＝84（件） 答：高年级作品有84件． 例题2：一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的。已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题？ 【答案】题 【分析】如图，根据题意小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占总题数的知试题总数为4的倍数也是6的倍数，所以试题数为12、24、36、48 ……；根据小亮错题为5题，两个人都错试题为知道试题数一定比题要少，但是根据都答对的题目数超过了试题总数的一半，知道试题总数为24。 【详解】如图所示： （题） （题） （题） （题） 答：他们都答对17题。 【点睛】本题将分数应用题与容斥问题相结合，可以画图表示各部分的关系，方便理解问题。 例题3：金放在水时称，重量减轻；银放在水时称，重量减轻。一块金银合金重770克，放在水时称，共减轻了50克。这块合金含金、银各多少克？ 【答案】金570克，银200克 【分析】由题目“金放在水里称，重量减轻；银放在水里称，重量减轻。一块金银合金放在水里称共减轻了50克”，可知金重量的和银重量的共重50克．金重量的和银重量的是770×=77（克）。把上面的条件列成下表，就可以清楚地看出数量之间的关系： 金 银 金银共重 50克 770×=77（克） 把银的重量消去，77克与50克的差就是金重量的（-）。 【详解】（770×-50）÷（-） =（77-50）÷ =27× =570（克） 770-570=200（克） 答：这块合金中含金570克，含银200克。 【点睛】本题还可利用列方程方法求解。 第三部分 高频真题 1．我国某城市煤气收费规定：每月用量在立方米或立方米以下都一律收元，用量超过立方米的除交元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是元，月份煤气费是元，又知道月份煤气用量相当于月份的，那么超过立方米后，每立方米煤气应收多少元？ 2．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的40%，第二天行了全程的，距乙城还有18千米，甲、乙两城相距多少千米？ 3．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？ 4．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？ 5．现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？ 6．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米．把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的．每段燃掉多少厘米？ 7．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的，那么甲数是乙数的多少倍? 8．育红小学上学期共有学生750人，本学期男生增加，女生减少，共有710人，本学期男女学生各有多少人？ 9．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？ 10．有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是多少？它们的浓度分别是多少？ 11．超市商店运来264台冰箱，在两天时间里全部卖完，已知第一天卖出的与第二天卖出的相等，求这两天分别卖出多少台冰箱？ 12．一瓶酒精，当用去酒精的50%后，连瓶共重700克；如只用去酒精的后，连瓶共重800克．求瓶子的重量． 13．兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的,老三带的钱是另外三人总钱数的，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？ 14．用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余米，把绳子折成四股来量，井外余米，井深多少米？ 15．有一些画片，小明取了其中的还多3张，小强取了剩下的再加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？ 16．有两条纸带，一条长2l厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的．问剪下的一段长多少厘米? 17．(2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是？ 18．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？ 19．在希望学校学生阅览室里，女生占全室人数的，后来又进来两名女生，这时女生占全教室人数的．问阅览室里原来有多少人？ 20．一项工程，甲乙两队合作6天能完成，已知单独做甲完成与乙完成所需时间相等，问单独做甲乙各需多少天？ 21．甲、乙两筐苹果共195千克，如果从甲筐取出，从乙筐取出，两筐共取出75千克，问：甲、乙两筐原来各重多少千克？ 22．甲、乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他所养猪的，乙卖掉110头，则甲、乙两户剩余的猪的头数相等，甲、乙两户原来各养猪多少头？ 23．在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？ 24．甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的．若从乙书架取出75本放入甲书架，两个书架上的书相等．原来两书架各有书多少本？ 25．有两根绳，甲绳比乙绳长35米．已知甲绳的和乙绳的相等，两根绳各长多少米？ 26．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的．求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？ 27．一头猪卖银币，一头山羊卖银币，一头绵羊卖银币．有人用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？ 28．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次．每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？ 29．暑假到了，一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价是大人小孩均为全票，每人100元．如果你是这个家庭的一员，从所花费用的多少考虑，你建议选择哪家旅行社？为什么？ 30．村里种了新瓜，男女老少品尝它。小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜。男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？ 31．一个容器内贮有一些水．现在倒掉其中的水，剩下的水和容器共重7.2千克．再倒掉剩下水的，此时水与容器的重量是原来（第一次倒掉水之前）的．问原来容器中有多少千克的水？ 32．早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水？ 33．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套．”厂长听后算了一下：若减价5%，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问这种课桌每套的成本价是多少元？ 34．甲、乙、丙、丁四人去买游戏机．甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半，乙带的钱是另外三人所带总钱数的，丙所带的钱是另外三人所带总钱数的，丁带910元，四人所带的总钱数是多少元？ 35．一个水箱中的水是装满时的，用去200升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少升？ 36．菜地里黄瓜得到丰收，收下全部的时，装满了筐还多千克，收完其余的部分时，又恰好装满筐，求共收黄瓜多少千克？ 37．学校买来一批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书的58%，如果从第一个书柜中取出32本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图书各占这批图书的，求这批图书共有多少本？ 38．一炉铁水凝成铁块 ，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几? 39．有男女同学人，新学年男生增加人，女生减少，总人数增加人，那么现有男同学多少人？ 40．一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？ 41．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 42．用一批纸装订一种练习本。如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，则还剩下1350张纸。这批纸一共有多少张？ 43．某人装修房屋，原预算25000元．装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元．求原来材料费及工资各是多少元？ 44．我校图书室去年买了科技书与文艺书共475本，今年又买了科技书与文艺书共640本．其中科技书比去年多买了48%，文艺书比去年多买了20%，今年买的新书中科技书与文艺书各有多少本？ 45．一根铁丝，截去四分之三，剩下部分正好做一个边长为5cm的正方形框架，这根铁丝原长多少？ 46．三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的70%，兔子的速度是松鼠的2倍，一分钟内松鼠比狐狸少跑16米，那么半分钟内兔子比狐狸多跑多少米？ 47．甲绳比乙绳长米，乙绳比甲绳短．甲、乙两绳各长多少米？ 48．一瓶酒精，当用去酒精的45%后，连瓶共重800克，当用去酒精的55%后，连瓶共重700千克，酒精重多少克？ 49．甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？ 50．水果店购进一批水果，第一天卖了30%，第二天卖出余下的50%，这两天共卖出195千克．这批水果共多少千克？ 51．一本书，已经看了130页，剩下的准备8天里看完．如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的．这本书共有多少页？ 52．某运输队运一批大米。第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋。还剩下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？ 53．将25克白糖放入空杯中，倒入100克白开水，充分搅拌后，喝去一半糖水．又加入36克白开水，若使杯中的糖水和原来的一样甜，需要加入多少克白糖？ 参考答案： 1．元 【分析】82.26元和40.02元都超出了6.9元，所以煤气用量都大于8立方米，先求出超出6.9元的部分分别是多少钱，把8月份煤气用量看成7份，那么1月份煤气用量是15份，多了8份，求出每一份对应多少钱，再求出每立方米对应多少钱。 【详解】（元） （元） （元） 份 份 （立方米） （元） 答：每立方米煤气应收0.48元。 【点睛】本题也可以设每立方米煤气的价钱为未知数，表示出1月份和8月份的煤气用量，根据煤气用量的关系列方程求解。 2．120千米 【分析】从题意可以知道，甲、乙两城距离是单位“1”，用线段图帮助我们分析数量关系从图上可以看出18千米对应的分率是（1－40%-）． 【详解】18÷（1－40%-）=120（千米）． 答：甲、乙两城相距120千米． 3．28元 【详解】题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的．为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算． 【点睛】解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧． 4．甲：60元  乙：48元 【分析】根据“甲取出自己存款的，乙取出12元，现在两人所存的钱数相等”，可找出数量之间的相等关系式为：甲的存款×（1-）=乙的存款-12，设甲原来存款x元，那么乙存款（108-x）元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：存款x元，那么乙存款(108−x)元，由题意得： (1−)x=108−x−12 解得，x=60 108−60=48(元) 答：甲原来存款60元，乙原来存款48元． 5．（1）采用加盐法，加1千克盐； （2）采用蒸发的方法，蒸发掉4千克的水． 【分析】要解决这个问题，我们首先想到的是向溶液中加适量食盐，这样溶质增加，浓度变大．其实，反过来想，我们可以减少溶剂质量即将盐水溶液中的水蒸发掉一部分，同样可以达到将盐水的浓度改变为20%的目的． 若采用加盐的方法：由于加盐前后，溶液中所含水的量没有改变，我们利用溶液等于溶剂的量除以溶剂在溶液中的百分比即可计算出加盐溶液的质量．加盐后与加盐前溶液质量的差值就是所加入的盐的质量． 若采用蒸发的方法：由于蒸发前后溶液中所含盐的质量不变，依据溶液的量=溶质的量÷浓度，即可计算出蒸发后溶液的量，蒸发前后溶液质量差值就是蒸发掉的水的质量． 【详解】（1）采用加盐法：加盐前，溶液浓度是10%，所以溶液中溶剂（水）所占百分比为1-10%=90%．溶液中水的质量为8×90%=7.2（千克）． 加盐后，溶液的浓度是20%，所以这时溶液的质量是7.2÷（1-20%）=9（千克）．所以加入的盐的质量为9-8=1（千克）． （2）采用蒸发的方法：8千克浓度为10%的盐水中所含盐的质量为8×10%=0.8（千克）． 浓度为20%的盐水溶液质量为0.8÷20%=4（千克） 所以，蒸发掉的水的质量位：8-4=4（千克）． 6．3厘米 【分析】这两根蜡烛长度的差没有变．两根蜡烛都燃掉同样长的一部分，燃烧前与燃烧后的长度都相差8－6=2（厘米），2厘米相当于所剩的长的一段的1－=． 【详解】解：（8－6）÷（1－）=5（厘米） 8－5=3（厘米） 答：每段燃掉3厘米． 7．12.5 【详解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8＝8，那么原来的甲数＝1×100＝100，则甲数是乙数的100÷8＝12.5倍． 8．男生350人，女生360人 【详解】解：假设都减少 750×=150（人） 750-710=40（人） 原来男生：（150-40）÷（+） =110÷ =300（人） 原来女生：750-300=450（人） 本学期男生：300×（1+）=350（人） 本学期女生：450×（1-）=360（人） 答：本学期男生350人，女生360人． 9．26支 【详解】（4+2）÷=12（支） （12+1）÷=26（支） 答：这些铅笔原有26支． 10．甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是3∶2∶6，它们的浓度分别是10%，4%，1%。 【分析】设乙溶液的浓度为x%，甲乙丙三溶液的质量分别为：A，B，C，则有：甲的浓度为x＋6，丙的浓度为。依题意有如下关系： ＝x＋3.6① ＝x－2.25② ＝x③ 然后进行整理各方程，运用代换的方法，解决问题。 【详解】解：设乙溶液的浓度为x%，甲乙丙三溶液的质量分别为：A，B，C，则有： 甲的浓度为x＋6，丙的浓度为。 依题有如下关系： ＝x＋3.6 2.4A＝3.6B   即2A＝3B① ＝x－2.25 －2.25C＝2.25B② ＝x ＝6A③ 将③式代入①式得：B＝ 代入②式，整理得x＝4，即乙溶液的浓度为4%，则甲溶液的浓度为10%，丙溶液的浓度为1%。 将x＝4代入②式，有：C＝3B，因此，A∶B∶C＝3∶2∶6。 答：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是3∶2∶6，它们的浓度分别是10%，4%，1%。 【点睛】此题属于难度较大的浓度问题，设出未知数，根据三个等量关系列出方程，解决问题。 11．第一天卖出192台，第二天卖出72台 【详解】可以利用比例关系把这题进行分率转化，得出第一天与第二天的倍数关系．因为第一天卖出的与第二天卖出的相等，所以第一天×=第二天×，第一天︰第二天=8︰3． 根据总冰箱数以及第一天和第二天卖出冰箱的关系，得出每天卖出冰箱的数． 第一天卖出：264×=192（台） 第一天卖出：264×=72（台） 答：第一天卖出192台，第二天卖出72台． 12．400克 【详解】700-（800-700）÷（50%-）× =700-100÷× =700-300 =400（克） 答：瓶子的重量是400克． 13．420 【详解】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的，同理老二带的钱是一共带钱的，老三带的钱是一共带钱的1/5，所以老四带的钱是一共带钱的：1---= 四人一共带的钱：91除以=420（元） 14．米 【分析】根据题意可知折成三股时井内的绳长是井深度的3倍，折成四股时井内的绳长是井深度的4倍，由于绳长不变．根据下图可以清晰的看出井外部分的差既是井的深度．（井内部分一小段表示井的深度） 【详解】(×3-×4)÷(4-3)=（米） 答：井深米． 15．261张 【详解】略 16．0.2 【详解】开始时，两条纸带得长度差为21－13＝8(厘米)． 因为两条纸带都减去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，有它们的差为13－8＝5份，则每份为8÷5＝1.6(厘米) ． 所以，剪后短纸带长为1.6×8＝12.8(厘米)，于是减去13－12.8＝0.2(厘米)． 方法二：设剪下x厘米， 则，交叉相乘得：13×(13－x)＝8×(21－x)，解得x＝0.2， 即剪下的一段长0.2厘米． 17．49:36 【详解】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：． 18．12% 【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为． 19．36人 【分析】虽然和都是以全室人数为单位“1”，但后来的全室人数变了，所以这两个分数的单位“1”对应的数量不相同，不能直接进行加减运算我们要找一个不变的量做单位“1”，把这两个分数进行适当的转化，才能正确地找出分率与数量的对应关系。注意到阅览室里男生人数没变，所以我们就以男生人数为标准。原来女生占全教室人数的，男生占，女生是男生的÷=，现在女生占全教室人数的，男生占，女生是男生的÷=，现在女生比原来多占男生的－=，这个就是2人的对应分率，男生人数可以求了，全室人数也可以求了。 【详解】2÷[]÷（） =2÷[]÷ =2÷[]÷ =2÷÷ =2×10× =36（人） 答：阅览室里原来有36人。 【点睛】当多个分率同时出现的时候，我们要选择不变量为新的单位“1” ，把它们转化为同单位“1”再进行比较。 20．甲：18天     乙：12天 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，    所以甲、乙独做分别需18天，12天． 21．甲筐105千克，乙筐90千克 【分析】假设甲、乙两筐均取出，根据乘法分配律，甲筐重量×＋乙筐重量×=（甲筐重量＋乙筐重量）×=195×=65．假设的结果比75千克少10千克，原因是甲筐实际取出了，少算了甲筐重量的（－），即可求出甲筐的重量． 【详解】解：假设甲、乙两筐均取出了． 195×=65（千克） 甲筐重量：（75－65）÷（－）=10÷=105（千克） 乙筐重量：195－105=90（千克）                      答：甲筐原有苹果105千克，乙筐原有苹果90千克． 22．甲养猪1080头，乙920头 【详解】1-= 说明乙比甲的多110头 甲：（2000-110）÷（1+） =1890÷ =1080（头） 乙：2000-1080=920（头） 答：甲原来养猪1080头，乙原来养猪920头． 23．8千克 【分析】第一次往浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%．在这个过程中，溶液中纯酒精的质量不变，我们只要计算出5千克浓度30%的酒精溶液中所含纯酒精的量，用这个量去除以加水前后溶液浓度的差值，即可计算出原有酒精溶液的量．第二次加入的是酒精，根据加入纯酒精前后溶液中含水的量不变，可以求出纯酒精溶液的质量，进而求出加入纯酒精的质量． 【详解】浓度为40%的酒精的质量为5×30%÷（40%-30%）=15（千克） 加酒精前溶液中含水的质量为（15+5）×（1-30%）=14（千克） 加纯酒精后溶液的质量为14÷（1-50%）=28（千克） 需加入纯酒精的质量为28-（15+5）=8（千克）． 答：需加入8千克的酒精． 24．甲240本，乙390本 【详解】乙书架原有书：（75×2）÷（1-） =150÷ =390（本） 甲书架：390-75×2 =390-150 =240（本） 答：原来甲书架有240本书，乙书架有390本． 25．甲绳135米，乙绳100米 【详解】甲绳与乙绳的长度比是：：=27:20 35÷（27-20） =35÷7 =5（米） 27×5=135（米） 20×5=100（米） 答：甲绳长135米，乙绳长100米． 26．甲缸7尾，乙缸5尾 【分析】本题中，甲、乙两缸金鱼的尾数都在变，但两缸中金鱼的总尾数不变，所以把两缸的金鱼总尾数作为单位“1”．由题意可知，从甲缸中取出1尾放入乙缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的；从乙缸中取出1尾放入甲缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的＝ ．两种情况，乙缸中的金鱼相差1+1=2（尾），这2尾就是总尾数的－＝ ．所以总尾数为：2÷=12（尾）． 【详解】2÷（－）=12（尾） 甲缸原有：12÷2＋1＝7（尾） 乙缸原有：12－7＝5（尾） 答：甲缸原有7尾，乙缸原有5尾． 27．买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79． 【详解】略 28．400吨 【分析】把一堆黄沙的重量看作单位“1”，用大卡车装要50辆，如果用小卡车装要80辆．一辆大卡车装黄沙的，小卡车装货物的，3对应的分率是（-），用3除以（-）就是黄沙的总吨数． 【详解】解：3÷（-） =3× =400（吨） 答：这堆黄沙有400吨． 29．解：（1）甲旅行社： 4×100+3×100×50% =400+150， =550（元）； 乙旅行社： （4+3）×100×75% =7×100×75%， =525（元）； 525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少． 答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少． 【详解】最优化问题 根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少： 甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠．4×100+3×100×50%=550元； 乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元； 525元＜550元，所以应去乙旅行社． 30．24人 【分析】把各组的人数设为未知数，可以表示出每组吃的瓜的数量，根据所吃的瓜的总数列方程求解。 【详解】解：设每组x人品尝瓜； 答：每组24人品尝瓜。 【点睛】方程是求解应用题常用的方法，列方程求解应用题的关键是合理设未知数，准确找出等量关系。 31．8.4千克 【详解】略 32．115升 【分析】可用列方程的方法，利用的等量关系为：最后剩下的水比半水缸多1升。设早上注入x升水，白天用去其中的20%后还剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后还剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后还剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）。 【详解】解：设早上注入x升水。 [（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1 [0.8x－27]×0.9－0.5x＝1 0.72x－27×0.9－0.5x＝1 0.72x－24.3－0.5x＝1 0.72x－0.5x＝25.3 0.22x＝25.3 x＝115 答：早上注入115升水。 【点睛】找出等量关系式是列出方程的关键。 33．70元 【详解】设这种课桌每套成本是x元．减价5%就是每套减100×5%=5(元)，这样李校长就多订购4×5=20(套)．由前、后获利润的情况，可列方程：(100－x)×80+100=(100－100×5%－x)×[80+4×(100×5%)]．解这个方程得x=70，所以这种课桌每套的成本价为70元． 34．4200元 【详解】根据甲乙丙三人所带钱数占另外三人的分数得出他们所带钱数占总钱数的分数，从而得出丁所带钱数占总钱数的分数．因为甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半，设甲带的钱为一份，则其它三人带的钱为两份，因此，甲带的钱占总钱数的；依次类推，乙带的钱占总钱数的；丙带的钱占总钱数的．由此可以得出丁带的钱占总钱数的1－－－． 四人带的总钱数＝910÷（1－－－）＝4200（元） 答：四人带的总钱数为4200元． 35．2400升 【分析】用去200升水相当于是装满时的，然后用量除以率，得到水箱的容积。 【详解】200÷（－） ＝200÷ ＝2400（升） 答：这个水箱的容积是2400升。 【点睛】本题考查的是基础的分数除法应用题，量率对应求单位“1”的时候，量和率一定要相互对应。 36．864千克 【分析】由题意可知，这些黄瓜共装了4＋8＝12（筐），则其中的4筐占全部黄瓜的，又当收获全部黄瓜的时，装满了4筐还多36千克，则这36千克占全部黄瓜的－，根据分数除法的意义计算，即可得到共收黄瓜的千克数。 【详解】 （千克） 答：共收黄瓜864千克。 【点睛】本题考查的是分数应用题，量率对应求单位“1”是分数应用题中最常用的方法。 37．400本 【分析】从第一个书柜取出32本放在第二个书柜中，第一个书柜少了32本，但是两个书柜的总本数不变，可以将总本数看作单位“1”，则第一个书柜减少32本后，本数占总本数的分率由原来的58%减少到，所以32本正好和第一书柜原来的分率和现在的分率的差相对应，这样可以用除法算出单位“1”量，也就是这批图书的总数． 【详解】解：32÷（58%－）=400（本） 答：这批图书共有400本． 38． 【详解】方法一：设铁水的体积为，则铁块为．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为，故体积增加了：. 方法二： 体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案. 39．人 【分析】男生增加25人，总人数只增加16人，说明女生减少9人，而女生减小，对应9人，可以求出女生原有的人数，进而求得原来的男生人数和现在的男生人数。 【详解】（人） （人） （人） 答：现有男同学170人。 【点睛】本题考查的是分数应用题，找到所对应的量是求解问题的关键。 40．8折 【详解】解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5. 现在出售70％商品已获得利润0.5×70％＝0.35. 剩下的 30％商品将要获得利润0.5×82％-0.35＝0.6 因此这剩下30％商品的售价是1×30％＋0.06＝0.36. 原来定价是1×30％×（1+50％）＝0.45. 因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％. 答：剩下商品打8折出售. 41．600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 42．18000张 【分析】装订120本，剩下40%的纸，即用了60%的纸，可以求出装订一本所需要的纸，然后求出装订185本所需要的纸，以及剩下的纸，再根据量率对应求出纸的总量。 【详解】1－40%＝60% 60%÷120＝0.5% 0.5%×185＝92.5% 1－92.5%＝7.5% 1350÷7.5%＝18000（张） 答：这批纸一共有18000张。 【点睛】本题考查的是百分数的基本应用题，量率对应的解题思路在百分数应用题中同样适用。 43．材料费：20000元   工资：5000元 【详解】解：设原来材料费x元，那么工资（25000-x）元 （1-20%）x+（1+10%）（25000-x）=21500 解得，x=20000 25000-x=25000-20000=5000（元） 答：原来材料费及工资分别是20000元和5000元． 44．科技书370本，文艺书270本 【详解】475×(1+20%)=570(本） 640-570=70（本） 48%-20%=28% 科技书去年的本数：70÷28%=250（本） 今年：250×（1+48%）=370（本） 文艺书：640-370=270（本） 答：今年新买的书中科技书370本，文艺书270本． 45．80cm 【详解】5×4=20(cm) 20÷(1-) =20÷ =20×4 =80(cm) 答：这根铁丝原长80cm． 46．12米 【分析】狐狸与松鼠的速度都可与兔子的速度联系起来，因此我们可以把兔子的速度作为单位1，则狐狸的速度为，松鼠的速度为，松鼠在一分钟之内比狐狸少跑16米，根据量率对应的关系，可以算出兔子的速度，也可以算出半分钟内兔子比狐狸多跑的距离． 【详解】解：设兔子的速度是单位1，则狐狸的速度为，松鼠的速度为 兔子的速度为：16÷（-）＝80（米/分） 半分钟内兔子比狐狸多跑：80××（1-）=12（米）． 【点睛】单位“1”的选择一般有两个原则：（1）不变量为单位“1”；（2）直接联系多的部分为单位“1”． 47．甲绳米，乙绳米 【详解】甲绳：÷=（米） 乙绳：-=（米） 答：甲绳的长度是米，乙绳长度是米． 48．1000克 【详解】本题是以酒精为单位“1”，由线段图可以看出，两次使用酒精后所剩的酒精重量之差这个“量”：（800－700），所对应的“率”为（55%－45%），这样就找出了相对应的量和率． 解：（800－700）÷（55%－45%）＝1000（克） 答：酒精重1000克． 49．10000元 【分析】本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息 【详解】详解过程：设甲和乙原有钱数都是x． 甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x； 乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为x（1+4%）（1+2%），投入股市的钱一年后收入为x（1+20%），乙两年赚的钱为： x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x． 已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504 x， 解得x=10000元． 答：甲原来有10000元． 【点睛】本题考查的是利息问题和利润问题的综合求解．在计算本息和时最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，比较简单明了方便计算．推而广之，在计算所有增加或者减少分率时都可以这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）． 50．300千克 【分析】从题意可以知道，这批水果的质量是单位“1”，解题的关键是找到与具体数量195千克相对应的分率． 从线段图上可以清楚地第一天卖了30%，第二天卖了（70%÷2），两天一共卖了65%，也就是195千克与这批水果质量的65%相对应． 【详解】195÷[30%+(1-30%)÷2]=300（千克） 答：这批水果共300千克． 51．330页 【分析】把书的总页数看作单位“1”，先依据工作效率=工作总量÷工作时间，求出后来每天看书页数占总页数的分率，再依据工作总量=工作时间×工作效率，求出8天看书页数占总页数的分率，进而求出已看页数占总页数的分率，也就是130页占总页数的分率，最后依据分数除法意义即可解答． 【详解】130÷（1-÷3×8） =130÷（1-×8） =130÷（1-） =130÷ =330（页） 答：这本书共有330页． 52．袋 【分析】第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋，求出剩下的220袋所对应的分率，量除以率，求出总数。 【详解】 （袋） 答：这批大米原来一共有400袋。 【点睛】本题考查的是分数除法应用题，也可以设总共的袋数是未知数，列方程求解。 53．9克 【分析】要想杯中糖水一样甜，那就说明浓度相同，也就是说明糖和水的比例相同，可以利用浓度相同这个等量关系来列方程，也可以用比例相同这个等量关系来求解． 【详解】解法一：设需要加入白糖x克，则，解得x=9． 解法二：设需要加入糖x克，则，解得x=9． 答：需要加入9克白糖． 学科网（北京）股份有限公司 $$