精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

毛坦厂中学2023~2024学年度下学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而求出交集. 【详解】集合，集合， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出定义域. 【详解】因为，所以且， 所以定义域为， 故选：C. 3. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为（ ） A. －32 B. 32. C. －16 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数的性质求得，再根据二项展开式通项公式求解． 【详解】的展开式的二项式系数之和为，所以， 所以的二项展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：C. 4. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心点求解即可. 【详解】， 因为经验回归方程经过样本中心， 所以， 解得. 故选：A. 5. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 180 B. 360 C. 475 D. 495 【答案】D 【解析】 【分析】根据三个二次之间的关系分析可得，再结合组合数公式分析求解. 【详解】由题意可知：，是方程的两根， 可得，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性分析可得，进而利用偶函数的对称性以及函数单调性分析判断. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 则，， 由在定义域内单调递减，则； 由定义域内单调递增，则； 由在内单调递增，则； 故， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以. 故选：D. 7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 故选：D. 8. 若数若关于方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为方程有两个不相等实数根，画出的图象，根据数形结合的思想即可得出结果. 【详解】作出的图象如下图： 可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式性质、指数函数、幂函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】对于A，满足，而，A不是； 对于B，函数在R上是增函数，，B是； 对于C，由不等式性质知，，C是； 对于D，函数在R上是增函数，，D是. 故选：BCD 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C正确； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同的安排方法，故D错误. 故选：. 11. 已知定义在上的函数满足：对任意，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC；令判断奇偶性，根据，结合已知判断单调性，然后可判断BD. 【详解】对于A，令，得，令，得，故A正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于BD，令，得，故为偶函数； ，则， 因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，故B正确，D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，则命题p的否定为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可求得. 【详解】由含有量词的命题的否定规则知，命题的否定为． 故答案为：. 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 14. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由得，， 所以，（当且仅当，即，时取得等号）. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表. 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 非小米粉丝 40 80 总计 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关? （2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率. 附:，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完成列联表，计算后与临界值比较可得； （2）根据分层抽样确定粉丝和非粉丝的人数，再根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 40 120 非小米粉丝 40 40 80 总计 120 80 200 零假设为:小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联， 由列联表中的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联； 【小问2详解】 从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人. 设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则． 16. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若时，，求的最小值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，从而解不等式求出解集； （2）先得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 由题知两个根分别是，3， 则，解得 故， ，解得. 所求解集为. 【小问2详解】 时，，即，所以有， 那么 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为9. 17. 夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用二项分布求解即可得； （2）根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可得． 【小问1详解】 令投中i次的概率为， 则； 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 故X的概率分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． 18. 已知函数是奇函数，是偶函数 （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值，利用偶函数的定义可求得实数的值，即可求得的值； （2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由于为奇函数，且定义域为，则， 因为，所以，， 所以，恒成立，所以，，即. 由于，， 是偶函数， ，则， 所以，，所以，， 因此，. 【小问2详解】 解：，， 因为函数在上为增函数，函数在上为减函数， 所以，函数在区间上是增函数， 当时，，所以，， 由题意得，解之得， 因此，实数的取值范围是. 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“从属函数”定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数； （2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”； （3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证. 【小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数； 【小问2详解】 不妨设，当时，在上是严格增函数，有． 而， 所以， 因此，当时，函数是函数的“从属函数”； 【小问3详解】 举反例不具备充分性. 令，显然在上是严格增函数， 因为， 所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数． 因此不是的充分条件． 必要性证明，即证：函数是函数“从属函数”， 若函数在上为严格增函数或严格减函数， 则函数在上是严格增函数或严格减函数． 任取，且，有，即对任意，且，有． 下面证明：对任意的实数，有或成立． 若存在，，使得且…①， 其中不妨设…②， 当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！ 当①②两式中等号均不成立时，考虑， 因为， 由连续函数的零点存在定理知，必存在使得， 也与（其中）矛盾！ 同理可证且也不可能. 【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 毛坦厂中学2023~2024学年度下学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为（ ） A. －32 B. 32. C. －16 D. 16 4. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 5. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 180 B. 360 C. 475 D. 495 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A B. C. D. 7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） A 1.12 B. 1.13 C 1.14 D. 1.15 8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 11. 已知定义在上的函数满足：对任意，当时，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，则命题p的否定为___________． 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 14. 已知，，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表. 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 非小米粉丝 40 80 总计 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关? （2）小米集团打算从已订购小米SU7用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率. 附:，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若时，，求的最小值. 17. 夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 18. 已知函数是奇函数，是偶函数 （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$