异面直线间的距离义-2023-2024学年高二下学期暑假数学复习专题

异面直线间的距离 教学目标 1、 理解异面直线间的距离定义，会作异面直线的公垂线线段； 2、 学会将异面直线间距离的转化为线面距离，再到点到面的距离问题，培养学生转化能力； 3、会作一些经过长方体棱上三点的截面问题，求一些相关长度问题 重 点 求异面直线间的距离 难 点 经过几何体棱上不共线三点作截面多边形 （一）异面直线间的距离 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交. 已知：直线是异面直线. 求证：存在唯一的直线与都垂直且相交. 证明：先证明存在性.如图，在直线上任取一点P，过P作直线，使得.设与所确定的平面为，则.过直线作平面，使得，交线为，由，有；又，故.设与的交点为A，在平面上过点A作直线AB垂直于，交直线于点B，因，所以，这样直线AB与异面直线都垂直且相交. 再证明唯一性.（反证法）如图，假设除了AB，还有一条共垂线MN，使得，垂足分别为M,N. 因为，所以；而与是平面上两条相交直线，所以；又，所以，从而A、B、M、N共面，而这与AM、BN是异面直线相矛盾. 2、异面直线间的距离定义： 将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离. 备注：两条异面直线的公垂线段是连接两条异面直线所有线段中的最短线段. 例1、如图。已知正方体的棱长为1. （1）求异面直线与之间的距离； （2）求异面直线与之间的距离. 例2、已知线段平面，为垂足，，且与平面成30°角，．求： （1）异面直线与间的距离； （2）、两点间的距离． 例3、如图，已知线段垂直于正方形ABCD所在的平面于点O，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（ ） A． B． C． D． 1、设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________. 2、四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为_____________ 3、已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于点，，则四边形面积的最小值为___________． （二）正方体的截面问题（拓展） 1、平面截几何体的截面：用一个平面去截一个几何体，几何体表面与平面的交线所围成的平面图形叫做平面截几何体的截面. 说明：（1）几何体的表面指几何体的面（构成几何体的各平面多边形），是有限区域，并非指多面体的面所在平面； （2）它们的交线应理解为线段； （3）围成的平面图形含两层含义：封闭、共面。 思考题：（1）一个平面去截正方体，截面的形状会有哪些形状？ 【答案】截面的形状会有三角形、四边形（正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形）、五边形、六边形. 三角形 正方形 矩形 矩形 梯形 菱形 五边形 六边形 思考题：（2）平面截几何体的截面的边和顶点一定在什么位置？为什么？ 【解析】根据截面概念，截面多边形的边是平面与多面体表面的交线，所以截面多边形的边一定在几何体的面上。由于正方体有六个面，且截面六边形存在，所以正方体的截面多边形边数最多是6。又因为截面的顶点是相邻两边的公共点，继而也同时在相邻两边所在面上，因此在相邻两面的公共交线，即棱上。 例4、画出下列几何体过的截面. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例5、如图，在棱长为4的正方体，中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则此截面与平面所得交线段长为_____________. 例6、如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________． 1、如图，在核长为2的正方体中，E是的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的周长为_________． 2、如图，已知长方体中，，，，，分别为，的中点. （1）求过，，三点的截面的面积； （2）一只小虫从点经上一点到达点，求小虫所经过路程最短时，直线与直线间的距离. 3、如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是____________. ①当时，S的面积为; ②当时，S为四边形 ③当时，S为等腰梯形 ④当时，S与的交点R满足 异面直线间的距离 ( 第 1 页 共 2 页 )—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$