专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 【知识梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·四川南充·期中）下列说法正确的是（      ） A．算术平方根等于本身的数只有 B．是的的一个平方根 C．若有平方根，则 D． 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为 ． 3．（22-23七年级下·上海·期中）的四次方根是 ． 4．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若某一个数的算术平方根为，它的平方根为，则 ． 4．（23-24七年级下·湖北·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“绝佳组合数”． (1)，，这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 1．（2023·湖南邵阳·一模）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2023 D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则 ． 3．（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）若与互为相反数，则 ． 4．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 1．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（22-23七年级下·全国·单元测试）的小数部分是 . 3．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 4．（22-23七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（2022下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 1．（2022下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 2．（2023下·湖北咸宁·七年级咸宁市温泉中学校考期中）在草稿纸上计算： ①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 3．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）观察下列一组数据，其中绝对值依次增大：，，，，，，，，…，则第2021个数是 ． 4．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（2024七年级下·天津·专题练习）的平方根是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 2．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是 ． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若，则的平方根是 ． 【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0． 4．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）已知一个正数的两个平方根是和． (1)求m和这个正数； (2)求的平方根． 【经典例题七 已知一个数的平方根，求这个数】 【例7】（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 1．（2022下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数m； (2)求关于x的方程的解． 【经典例题八 利用平方根解方程】 【例8】（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？ 对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话： 嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出① 琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片② 嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路． 琪琪：设长是，宽是， 则：， ， ， ，舍去 长是，宽是③ 嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为． ，，，又不能拼接，所以裁不出④ 对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 2．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】17．（2023下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为 ． 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·辽宁辽阳·七年级统考期末）若，，且，则（    ） A．1或7 B．或 C．或7 D．1或 4．（2022上·上海·七年级专题练习）如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（   ） A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小 5．（2021下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2024上·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是 ． 7．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 8．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考阶段练习）已知实数满足，且,则的值为 ． 9．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 10．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例： （1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作． 则的算术平方根为 ． 11．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）计算：． 12．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 13．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 14．（2023上·浙江衢州·七年级校联考期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 15．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究： (1)计算：___________，，_________，_____________________，…； (2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ (3)应用：有理数在数轴上所对应的点如图所示，是4平方根．计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·四川南充·期中）下列说法正确的是（      ） A．算术平方根等于本身的数只有 B．是的的一个平方根 C．若有平方根，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根和平方根的定义逐项判断即可求解，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、算术平方根等于本身的数有和，该选项说法错误，不合题意； 、是的的一个平方根，该选项说法正确，符合题意； 、若有平方根，则，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】利用平方根的定义求解即可． 【详解】、没有平方根，故此选项说法错误，不符合题意； 、，的平方根有两个为，故此选项说法正确，符合题意； 、，的平方根有两个为，故此选项说法不全，不符合题意； 、的平方根是，不是，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解一个正数的平方根有两个，互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为 ． 【答案】169 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，就可以算出这个正数． 【详解】解：，解得， ， ∴这个正数是． 故答案是：169． 【点睛】本题考查平方根，解题的关键是掌握平方根的性质． 3．（22-23七年级下·上海·期中）的四次方根是 ． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的定义直接求解即可 【详解】解：∵ ∴的四次方根是： 故答案为： 【点睛】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键 4．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数： （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， ∴， ∴这个数为； （2）∵的平方根是，的平方根是， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题关键．根据平方根和算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 －3 5 【解析】略 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若某一个数的算术平方根为，它的平方根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根，根据正的平方根是算术平方根求解即可 【详解】解：根据题意得，当时，，即有： 解得，，不合题意，舍去 当时，，有：， 解得，， 故答案为： 4．（23-24七年级下·湖北·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“绝佳组合数”． (1)，，这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“绝佳组合数”，见解析 (2)或 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“绝佳组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解． （1）根据“绝佳组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“绝佳组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1），，这三个数是“绝佳组合数”，理由如下： ，，，且18，6，9都是整数， ，，这三个数是“绝佳组合数”； （2） 三个数，m，是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， 这两个数的乘积为144， 当时，则， ， ，符合题意； 当时，则， ， ，此时符合题意； 综上所述，或． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性解答即可． 【详解】解：， 当时，的值最大为3． 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键． 1．（2023·湖南邵阳·一模）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】先根据，，，得到，，求出的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性、平方的非负性，根据题意得到，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键． 【详解】解：， 又，， ，． ，． ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值，非负数的性质，熟练掌握非负式和为零的条件是解决问题的关键． 根据，再根据算术平方根的非负性，得非负式和为零的条件是，求出a、b的值，从而代入求解即可． 【详解】与互为相反数， ， ， 解得： ，， 将，，代入得 ， ； 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 1．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，及， 又∵，且n为整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键． 2．（22-23七年级下·全国·单元测试）的小数部分是 . 【答案】-3 【详解】∵9<13<16, ∴3<<4, ∴的整数部分是3，小数部分是-3. 故答案为：-3. 3．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 4．（22-23七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例5】（2023下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 1．（2023下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 2．（2023下·湖北咸宁·七年级咸宁市温泉中学校考期中）在草稿纸上计算： ①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 【答案】5050 【分析】先分别求出①②③④的结果，根据发现的规律并用规律进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……… ∴． 故答案为：5050． 【点睛】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题． 3．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）观察下列一组数据，其中绝对值依次增大：，，，，，，，，…，则第2021个数是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分析出这组数据的变化规律为第个数为，即可获得答案． 【详解】解：分析这组数据，可知第个数为， 所以，第2021个数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律问题，能否找出数据中存在的规律是解题的关键． 4．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中　 　，　 　；　 　； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则　 　； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　； (3)试比较与a的大小． 当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，． 【答案】(1)0.1；10；100 (2)①31.6；② (3)；或0； 【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可． 【详解】（1），，． 故答案为：0.1；10，100； （2）①∵， ∴． ②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）由表格中数据可知： 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：；或0；． 【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（2024七年级下·天津·专题练习）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的平方根是． 故选：B． 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 【答案】B 【解析】略 2．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是 ． 【答案】 10 【分析】 本题主要考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根和算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】 解：如果一个数的算术平方根是，则这个数是，它的平方根 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0． 4．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）已知一个正数的两个平方根是和． (1)求m和这个正数； (2)求的平方根． 【答案】(1)，这个正数是 (2) 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握平方根是解题的关键． （1）由题意得，， 可求，则这个正数是，计算求解即可； （2）由题意知，，根据的平方根是，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，，   ∴， ∴这个正数是， ∴，这个正数是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的平方根是． 【经典例题七 已知一个数的平方根，求这个数】 【例7】（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【答案】D 【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值． 【详解】解：I．当和相等时， ， 解得：， ， ； II．当和互为相反数时，，解得：， ， ； 综上所述：a的值是64或． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 1．（2023下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数 【详解】由题意可知： ∴这个正数的两个平方根分别是 ∴这个正数是1 故答案为：1 【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数m； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)49 (2) 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）当时，， ， ． 【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． 【经典例题八 利用平方根解方程】 【例8】（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？ 对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话： 嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出① 琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片② 嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路． 琪琪：设长是，宽是， 则：， ， ， ，舍去 长是，宽是③ 嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为． ，，，又不能拼接，所以裁不出④ 对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】由题意求出要裁出的长方形纸片的长与宽，比较长方形的长与正方形的边长的大小，即可得到答案． 【详解】解：由于嘉嘉和琪琪的对话知正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为，而要裁出的长方形纸片的长与宽分别是，． ，， ， 所以裁不出符合要求的长方形． 正确的是． 故选：A． 【点睛】本题考查算术平方根，关键是列出方程由算术平方根的定义求出长方形的长与宽． 2．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案； （2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可； （3）由与的差为2525，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：， 证明如下： ， ； （3）解： 与的差为2525， 整理得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键． 【经典例题九 平方根的应用】 【例9】17．（2023下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 2．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 【答案】B 【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 刹车距离s与车速v的关系式是：（其中）， 所以， 当刹车距离增加一倍时，即： 即车速增加倍， 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题． 3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为 ． 【答案】4 【分析】设乙的边长为2a，根据，，可以推出从而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积列出方程求解即可 【详解】解：设乙的边长为2a， ∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成， ∵，， ∴，， ∴， ∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意表示出两个大正方形的边长是解题的关键． 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质． 一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案． 【详解】解：和是同一个数的平方根， 有或， 解得或． 故选：． 2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 3．（2024上·辽宁辽阳·七年级统考期末）若，，且，则（    ） A．1或7 B．或 C．或7 D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值求值以及平方根，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．求出的值，根据得出满足条件的的值，从而计算出答案． 【详解】解：，， ， 当时，不符合题意， 当，时，； 当，时，； 故选B． 4．（2022上·上海·七年级专题练习）如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（   ） A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小 【答案】C 【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除． 【详解】A：，=8，不符合题意； B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意； C：，，符合题意； D：，，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等． 5．（2021下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案. 【详解】解：由题意得：， ∴ ， 则 ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键. 6．（2024上·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方根，利用多项式乘以多项式的运算法则计算出，再根据与的积中不含项，也不含项，得出，得出，代入进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 与的积中不含项，也不含项， ， 解得：， ， 的平方根是， 故答案为：． 7．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负 ，算术平方根的非负性，化简绝对值．熟练掌握根据数轴判断式子的正负 ，算术平方根的非负性，化简绝对值是解题的关键． 由数轴可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考阶段练习）已知实数满足，且,则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值，根据非负数性质求出a，b，c的值，代入得，再把变形代入求值即可 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 代入，得， ∴， ∴ 故答案为：14 9．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 10．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例： （1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作． 则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得37，57，69； （2）估首根a：考虑被开方数的首节37，由于，故首根为6，由于，故继续开方； （3）估次根b：考虑余数的第一、二节157，考虑，尝试估出次根； （4）考虑榆树的第二、三节，考虑，， 综上：的算术平方根为； 11．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，绝对值是解题的关键．先分别计算有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 12．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 13．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 14．（2023上·浙江衢州·七年级校联考期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究： (1)计算：___________，，_________，_____________________，…； (2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ (3)应用：有理数在数轴上所对应的点如图所示，是4平方根．计算： 【答案】(1)2，，3，，0 (2)对于任意实数a，不一定等于a； (3)2 【分析】（1）分别计算各式的值即可； （2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可； （3）先利用（2）式的探究结果化简各式，再根据字母a、b、c在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：，，，，． 故答案为：2，，3，，0； （2）解：由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，有． 故对于任意实数a，不一定等于a； （3）解：由数轴，得， ∴， ∴原式 ∵是4的平方根，且为正数， ∴， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$