专题05 全等三角形40道压轴题型专训-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 全等三角形40道压轴题型专训 【全等三角形40道压轴题型专训（江苏地区专用）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 7．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 9．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）      A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 10．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则 ． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 15．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 16．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 19．（21-22八年级上·江苏常州·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    20．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    三、解答题 21．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 22．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 23．（2024七年级下·江苏泰州·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 24．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）综合与实践： (1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性． (2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G． ①求的度数； ②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ． 27．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 28．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    (1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． (3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 29．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 30．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 31．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 32．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 33．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点F，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，求证：； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 34．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 36．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题： 如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题初探】： 第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围， 第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围． （1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程 【方法感悟】 当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题 【类比分析】 （2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度． 【思维拓展】 （3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点． 37．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 38．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）在中，，的平分线交于点，于点． ①如图1，试说明； ②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 39．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 40．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形40道压轴题型专训 【全等三角形40道压轴题型专训（江苏地区专用）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 7．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，    ∵平分， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点重合时，最大，最大值为， ∴， 故选：． 8．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C 【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 9．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）      A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即. 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； 在和中， ∵,, 且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在和中 ∵平分， ∴， 又∵,， ∴， ， 又由,知， ∴，故③正确； 连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵是斜边，是直角边， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点. 10．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作于点M，于点N，根据手拉手模型证明，得到，然后证明，得到，，进一步推得，再证明，可得，最后根据三角形内角和定理即得答案． 【详解】过点A作于点M，于点N， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 16．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长至点E，使，连接，根据中线性质得到，根据，推出，得到，根据三角形三边关系得到，即得．本题主要考查了三角形．熟练掌握三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，线段中线性质 ，是解决问题的关键． 【详解】延长至点E，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， . ， ， . 在和中， ， ，，. 在和中， ， ， ，. ， ， ， . ， . ， ， ， ， 故答案为. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（21-22八年级上·江苏常州·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题 21．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中，， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 22．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等； 问题背景：延长到点，使，连接，证明，在证明，得出，得到答案； 探索延伸：连接，延长相交于点，利用全等三角形的性质证明． 实际应用：如图3，连接，延长相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【详解】解：（1）由题意： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． （2）仍然成立． 理由：如图1，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 图1 （3）如图2，连接，延长，相交于点C． ∵，， ∴． ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 23．（2024七年级下·江苏泰州·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 24．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】（1）根据高线的定义可得，，证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理和平角的概念可得，，等量代换可得结论； （3）①延长交于，然后作等于，与的交点为即可；②如图④，连接并延长至F，根据三角形外角的性质求出，再根据对顶角相等和角平分线的定义证明，，进而求出，然后根据四边形的内角和定理列式整理即可． 【详解】解：（1）∵是边上的高，是中边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点是的“一线三等角点” （2）∵在中，， 又∵，， ∴； （3）①如图所示：    ②如图④，连接并延长至F，      ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与的角平分线分别是，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形高线的定义，三角形内角和定理，尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和定理等知识，正确理解新定义，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）综合与实践： (1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性． (2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G． ①求的度数； ②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，或 【分析】（1）由全等三角形的判定定理可得，，即可求解， （2）①由，根据三角形内角和定理可得，由、分别是和的平分线，得到，，代入可得，根据三角形内角和定理即可求解，②由、分别是和的平分线，得到，，结合，，，，得到，，，，代入得到，，当时，，代入得到，结合，可得∴，，当时，，根据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，，当时，，据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，， 本题考查了，三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， （2）解：①∵，， ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ②∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 即：，， 当时，，即：， ∴，由（1）得， ∴， ∴， 当时，， ∴即：， ∴，即：， 又∵，即：， ∴， ∴， 当时，， ∴即：， ∴，即：， 又∵，即：， ∴， ∴， 故答案为：①，②，或． 27．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式： （1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果； （3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果； 数形结合，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴cm， ∵， ∴t最大取到s， ∴cm，其中， 故答案为：； （2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时， 此时cm，cm， 则cm， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，； （3）解：由（2）可得，当时，此时， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 28．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    (1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． (3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】(1)是 (2) (3)理由见解析 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边，，即可得出． （2）根据共边黄金三角形的定义得出，再结合，则，即可作答． （3）先由角的平分线的定义得出，然后证明，得，再运用共边黄金三角形的定义，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵与具有公共边， 又，且， 与是共边黄金三角形， ∴故答案为：是． （2）解：∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∵， ∴； 则与的“黄金角”的度数为． （3）解：∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵则与是共边黄金三角形， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 30．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 31．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 32．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)80 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据，可得，然后根据，可证明，继而可得出； （2）延长至，使，连接，证，可得出，证，从而证得，通过，得到； （3）求出，由（2）可求出，则的面积可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，∵， ， ， ， ， ， ． 33．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点F，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，求证：； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）①根据，可求；②连接，证明，即可得． （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，即可得． 【详解】（1）解：①，， ， ， ； 故答案为：； ②证明：如图，连接， 依题意得，与成轴对称， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． ； （2）； 证明：如图，作点关于直线的对称点，连接， 易得，与成轴对称， ，，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 34．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 36．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题： 如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题初探】： 第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围， 第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围． （1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程 【方法感悟】 当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题 【类比分析】 （2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度． 【思维拓展】 （3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点． 【答案】（1）见解析 （2）16 （3）见解析 【分析】（1）选择第一个小组的解题思路：延长到点，使，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可； 选择第二个小组的解题思路：过点B作的平行线交的延长线于点F，先证明，得到，，则，再根据在中，，即，求解即可； （2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题； （3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）选择第一个小组的解题思路：如图2，延长到点，使， 是的中点， ， ， ， ， 中，， ， ； 选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作的平行线交的延长线于点F， 是的中点， ， ， ，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ， ； （2）延长到点F，使，连接，如图4， ∵是的中点， ， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴E、C、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：过点E作交延长线于M，如图4， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴O为中点． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键． 37．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 38．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）在中，，的平分线交于点，于点． ①如图1，试说明； ②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】（1）①见解析；②，见解析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义得到，然后根据证明，得到结论；②根据全等得到，然后证明得到结论； （2）根据三角形的面积公式得到，然后根据，，得到，，推理得到，求出长，进而计算面积即可． 【详解】解：（1）①因为平分， 所以． 因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以． ②． 理由：由（1）得， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以． （2）因为， 所以， 所以． 因为的面积为，， 所以， 解得． 由①②可知，， 所以，． 因为，， 所以，即，解得， 所以， 所以， 故种植鲜花的面积是． 39．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 【答案】(1)见讲解； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键． （1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证； （2）结合（1），证明； （3）结合（1），证明． 【详解】（1）， ， （2）猜想： 由（1）可知， ，， ， 得证； （3）当成立 由（1）可知， ，， ， 得证． 40．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【详解】（1）解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$