精品解析：福建省泉州市泉港二中、泉州十一中、晋江陈埭中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

南星中学、泉港二中、晋江陈埭民族中学、福师大泉州附中四校联盟 2023-2024学年度下学期期末考高二年段数学学科试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命卷人：吴丽华 审核人：罗典成 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 8. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第25百分位数 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______. 14. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________． 四、解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 16. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，． （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值． 17. 已知函数，且图象在处的切线斜率为0. （1）求的值； （2）令，求最小值. 18. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 19. 若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系． （1）若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南星中学、泉港二中、晋江陈埭民族中学、福师大泉州附中四校联盟 2023-2024学年度下学期期末考高二年段数学学科试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命卷人：吴丽华 审核人：罗典成 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出一元二次不等式和指数不等式，再根据交集含义即可. 【详解】，， 则， 故选：B. 2. 为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故选：B. 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得. 又，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 4. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以， 又在R上单调递减，所以, 所以是的充分条件， 而若，可能，此时不存在， 所以不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式化简代入即可得出答案. 【详解】因为且， 解得， 所以. 故选：B 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可. 【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏， 其中1春2夏的不同情况有：种； 2春1夏的不同情况有：种， 所以小明选取节气的不同情况有：种． 故选：B． 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可. 【详解】的展开式的通项为， 则，， 则展开式中的系数为， 故选：D. 8. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第25百分位数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 而原数据：16，18，20，20，22，24， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数. 故选：BC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由对立事件的定义分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，表示事件“”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则， 表示事件“”，即第二次抛掷中，正面向上，则， 表示事件“”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，， 依次分析选项： 对于A，事件、可能同时发生，则事件、不是对立事件，A错误； 对于B，事件、可能同时发生，则事件和不互斥，B正确； 对于C，事件，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，， 由于，则事件和相互独立，C正确； 对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，， ，事件、不是相互独立事件，D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______. 【答案】0.024 【解析】 【分析】利用全概率公式直接求解． 【详解】设，分别表示甲、乙厂生产的产品，表示取到次品， 则，， ，， 从中任取一件产品取到次品的概率为： ， 故答案为：0.024． 14. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】 如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大， 此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和. 由正六边形的性质和对称性知，，， 在中，由余弦定理可得： ， 得， 由基本不等式可知，则， 故， 因，，解得， 当且仅当时等号成立， 故， 又正六边形的面积， 所以折叠后的面积最大值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解. 四、解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． 【小问1详解】 ，由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； 【小问2详解】 ，，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． 16. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，． （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 如图： 取中点，中点，连接， 一方面：因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 又， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 从而， 又因为面，面， 所以面， 另一方面：又因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为面，面， 所以面， 结合以上两方面，且注意到平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，中点，连接，通过线面平行、面面平行的判定定理首先得平面平面，再利用面面平行的性质即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角余弦的坐标公式结合三角函数平方关系即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若平面，又平面， 所以， 又， 所以以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，即，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 设是平面的法向量， 则，即，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则， 所以，即二面角的正弦值为. 17. 已知函数，且图象在处的切线斜率为0. （1）求的值； （2）令，求的最小值. 【答案】（1）1 （2）0 【解析】 【分析】（1）对求导，可得，解方程即可得出答案； （2）由（1）知函数，对求导，令，对求导，判断与0的大小得出的单调性，即可求出的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为图象在处的切线斜率为0, 所以，即，所以. 【小问2详解】 由（1）知函数， 的定义域为， ， 则，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上递减，在上递增， . 18. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）； （2）① ；②分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可得：， 所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. 【小问2详解】 由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， ， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 19. 若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系． （1）若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）具有Bernoulli型关系，理由如下： 依题意，是否具有型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立： ①，②， ，， 具有型关系． （2）, （3） 证明：， 显然且， 由（2）中的结论：当时，，可知， 当时，， ，， 当时，显然成立； 当时， ， 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据定义判断是否满足即可； （2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解； （3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再根据的范围求出的范围，进而可求出的范围，最后可得的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，，， 则， ①当时，显然有，成立； ②当时， 若，则，即，在区间上单调递减， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递增， 的最小值为，，， 成立； ③当时， 若，则，即，在区间上单调递增， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递减， 的最大值为，， ，即 当，且时，不能恒成立， 综上所述，可知若具有型关系，则， 非负实数的取值范围为,． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得，并适当的放缩裂项求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $