精品解析：2024年河南省周口市第一初级中学模拟预测数学试题

2024年河南中考抢分卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省!其中1295亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将1295亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1295亿， 故选C． 3. 如图，直线相交于点O，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了垂直的定义，利用余角求角的度数，根据垂直定义得到，进而得到，即可求出的度数 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．熟练掌握整式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法与除法法则，是解题的关键． 根据整式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，逐一判断，即得． 【详解】A．， ∵与不是同类项，不可以合并， ∴该选项错误，不合题意； B．， ∵， ∴该选项错误，不合题意； C．， ∵， ∴该选项错误，不合题意； D．， ∵， ∴该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容．八一班的“小菜园”里种植的大蒜即将成熟，班主任随机挖了7头大蒜，称得这7头大蒜的质量（单位：g）分别为：65，60，58，65，55，65，60．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 65，65 B. 60，60 C. 65，60 D. 60，65 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据中，65出现3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是65， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，处于最中间的数是60， ∴这组数据的中位数是60， 故选：C． 6. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 7. 点，是直线上的两点．若，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 8. 《九章算术》是我国传统数学最重要的专著．书中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲、乙两人持钱不知有多少．甲得到乙所有钱的后的钱数为50，乙得到甲所有钱的后的钱数也为50．问甲、乙持钱各是多少？”设甲、乙持钱数分别为a，b，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“甲得到乙所有钱的后的钱数为50，乙得到甲所有钱的后的钱数也为50，”列方程即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 9. 如图，点A，B，C在圆O上，顺次连接各点得到四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等，在优弧上取一点D，连接，．利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解决问题． 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接，， 由圆内接四边形的性质可得， ， ， 故选D． 10. 如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. （，） B. C. （，） D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，点坐标的规律，根据菱形的性质得到，，求出，，推出旋转8次中每次的点A的坐标，由此得到答案，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后，点A的坐标为， 第二次旋转后，点A的坐标为， 第三次旋转后，点A的坐标为 第四次旋转后，点A的坐标为， 第五次旋转后，点A的坐标为 第六次旋转后，点A的坐标为， 第七次旋转后，点A的坐标为 八次旋转后，点A的坐标为， ， 可以发现，每8次为一个循环， ∵， ∴第65次旋转结束时，点A的坐标为， 故选B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：=______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂和零次幂，再进行加减运算． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①移项得：， 解不等式②移项得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律；同大取大，同小取小；大小小大中间找；大大小小是空集． 13. 小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示．再列表即可得到答案； 【详解】解：动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示． ∴所有的等可能的结果数为12个，符合条件的结果数有2个， ∴恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为； 故答案为： 14. 如图，扇形中，，沿直线EF翻折，使点O落在的中点C处，连接，．若，则阴影部分的面积是________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质可得点O与点C关于对称，，，即，由圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的性质与判定可得，再根据正方形的判定与性质和勾股定理可得，再利用求解即可． 【详解】解：连接， 由折叠的性质可得，点O与点C关于对称，，， ∴， ∵点C是弧的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积公式、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关定理求得是解题的关键． 15. 如图，是等边三角形，，点E是的平分线上的一动点，连接，将点E绕点C顺时针旋转得到点F，连接，．若是直角三角形，则线段的长为________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得，，再根据旋转的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，，，由是直角三角形，分类讨论：或进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，， ∵将点E绕点C顺时针旋转得到点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， 当， 在中，， ∴， 当时， 在中，，即， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得，进行分类讨论是解题的关键 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）因式分解：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，分式的混合运算； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可； 【详解】解：（1）； （2） ； 17. 2024河南春晚以“齐歌龙咚锵”为主题，把心、情、思沉浸到多彩的生活中，从小切口着手，营造出“传统中国年”的欢乐氛围，以“民俗”“非遗”“舞蹈”“脱口秀”等不同元素为观众们呈现出了一派“欢乐过大年”的热闹景象．某校数学兴趣小组为了解本校学生对“民俗”“非遗”“舞蹈”“脱口秀”等元素的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 调查问卷 《齐歌龙咚锵−−2024河南春晚》中你最喜欢的元素是（ ） A．民俗 B．非遗 C．舞蹈 D．脱口秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，D所在扇形的圆心角的度数为 （2）根据信息将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1600名学生，根据抽样调查的结果，该校最喜欢“民俗”的学生大约有多少名？ 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3）360人 【解析】 【分析】（1）利用选择B的学生人数除以其所占的百分比求得样本总人数，再利用选择D的学生人数除以样本总人数求得其所占百分比，再乘以即可求解； （2）先利用样本总人数减去选择其他元素的学生人数求得选择C的人数，再补全条形统计图即可； （3）先利用选择“民俗”的人数除以样本总人数求得其所占百分比，再乘以全校人数即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得，（人），， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：选择C的学生人数为（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校最喜欢“民俗”的学生大约有360人． 【点睛】本题考查画条形统计图、用样本估计总体及求扇形统计图圆心角度数． 18. 如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 19. 如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，求证：也是的切线． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ； （2） 证明：是的切线， ； 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， 又点D在上， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，切线的判定等： （1）根据平行线的性质证明，，根据得出，等量代换得出，即可证明； （2）由切线的定义可知，再证，推出，即可证明也是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了满足学生体育训练用球，某校决定购买一批篮球和足球．已知某品牌足球的单价是篮球的1.6倍，且3000元购买的篮球数量比4000元购买的足球数量还多10个． （1）问：篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买篮球和足球共140个，且总费用不超过10000元，那么至少要购买篮球多少个？ 【答案】（1）篮球单价为50元，足球单价为80元 （2）40 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设篮球单价为x元，则足球单价为元，列分式方程求解； （2）设购买篮球a个，则购买足球个，列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设篮球单价为x元，则足球单价为元，则 解得 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：篮球单价为50元，足球单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买篮球a个，则购买足球个， 解得 ∴至少要购买篮球40个． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O在原点，顶点B在x轴上，．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）作的垂直平分线交x轴于点C；（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （3）在（2）的条件下，点C的坐标为 【答案】（1） （2） 作图如下， （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，线段垂直平分线的作法，三角函数解直角三角形，勾股定理等： （1）将代入即可求解； （2）根据线段的垂直平分线的作法作图即可； （3）标记线段的垂直平分线与交于点D，根据求出可得答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图像经过点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，标记线段的垂直平分线与交于点D，则，， ，， ，， ， ， ， ， 点C的坐标为． 故答案为：． 22. 如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）． （1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）． （2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界． （3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）能过网，会出界， 理由：当时，， ∴此球能够过网； 根据题意得右边界的坐标为 ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵， ∴不会落在界内，会出界． （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据排球飞行的水平距离为时达到最大高度，求出抛物线的顶点坐标为，再用待定系数法求解即可； （2）计算当时，的值，与比较；再根据右边界的坐标为，令，求出x值与9比较即可； （3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为，求解出击出排球轨迹的临界点，即可得解． 【小问1详解】 解：∵当排球飞行的水平距离为时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球， ∴设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ，解得，（舍去） ∴， 此时当时，解得：（舍去）或． ∴， 当该轨迹经过右边界的坐标时，， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴， 此时当时，或（舍去）， ∴， 经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），． 23. 综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． （1）如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ （2）如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 【答案】（1） （2） 解：， 证明：如图，延长到点G，使，连接，， ，， 垂直平分， ； D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，结合等腰直角三角形的性质证明，推出，然后利用勾股定理即可求解； （2）延长到点G，使，连接，，证明，推出，，进而证明是直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换可得 （3）分点E在线段上，在线段的延长线上，两种情况，延长到点G，使，连接，，，证明是直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，D是的中点 ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况，当点E在线段上时： 如图，延长到点G，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ，， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 当点E在线段的延长线上时： 如图，延长到点G，使，连接，，， 同理可证是直角三角形， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 综上可知，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的判定，勾股定理等，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南中考抢分卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省!其中1295亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线相交于点O，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容．八一班的“小菜园”里种植的大蒜即将成熟，班主任随机挖了7头大蒜，称得这7头大蒜的质量（单位：g）分别为：65，60，58，65，55，65，60．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 65，65 B. 60，60 C. 65，60 D. 60，65 6. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 7. 点，是直线上的两点．若，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 《九章算术》是我国传统数学最重要的专著．书中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲、乙两人持钱不知有多少．甲得到乙所有钱的后的钱数为50，乙得到甲所有钱的后的钱数也为50．问甲、乙持钱各是多少？”设甲、乙持钱数分别为a，b，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C在圆O上，顺次连接各点得到四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. （，） B. C. （，） D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：=______ 12. 不等式组的解集是_________． 13. 小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为______ 14. 如图，扇形中，，沿直线EF翻折，使点O落在的中点C处，连接，．若，则阴影部分的面积是________ 15. 如图，是等边三角形，，点E是的平分线上的一动点，连接，将点E绕点C顺时针旋转得到点F，连接，．若是直角三角形，则线段的长为________ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）因式分解：； （2）化简： 17. 2024河南春晚以“齐歌龙咚锵”为主题，把心、情、思沉浸到多彩的生活中，从小切口着手，营造出“传统中国年”的欢乐氛围，以“民俗”“非遗”“舞蹈”“脱口秀”等不同元素为观众们呈现出了一派“欢乐过大年”的热闹景象．某校数学兴趣小组为了解本校学生对“民俗”“非遗”“舞蹈”“脱口秀”等元素的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 调查问卷 《齐歌龙咚锵−−2024河南春晚》中你最喜欢的元素是（ ） A．民俗 B．非遗 C．舞蹈 D．脱口秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，D所在扇形的圆心角的度数为 （2）根据信息将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1600名学生，根据抽样调查的结果，该校最喜欢“民俗”的学生大约有多少名？ 18. 如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 19. 如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，求证：也是的切线． 20. 为了满足学生体育训练用球，某校决定购买一批篮球和足球．已知某品牌足球的单价是篮球的1.6倍，且3000元购买的篮球数量比4000元购买的足球数量还多10个． （1）问：篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买篮球和足球共140个，且总费用不超过10000元，那么至少要购买篮球多少个？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O在原点，顶点B在x轴上，．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）作的垂直平分线交x轴于点C；（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （3）在（2）的条件下，点C的坐标为 22. 如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）． （1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）． （2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界． （3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号） 23. 综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． （1）如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ （2）如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $