2.11有理数的混合运算　同步练习题　　2023-2024学年北师大版七年级数学上册　

2023-2024学年北师大版七年级数学上册《2.11有理数的混合运算》同步练习题（附答案） 一．选择题 1．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 2．下列判断：①若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝0、b＝0；②若a2＝b2，则a＝b；③若ac2＝bc2，则a＝b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数．其中正确的有（　　） A．①④ B．①②③ C．① D．②③ 3．据国家统计局数据，2022年全年国内生产总值为90.3万亿，比2021年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（　　） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 4．定义一种新运算：（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2，如（2，5）（1，3）＝2×1+5×3＝17，若（1，x）（2，﹣5）＝7，则x＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．某乡镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相同．为了促销，甲站的液化气每罐降价25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第1罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第2罐开始以7折优惠，促销活动都是一年．若小明家每年购买8罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是（　　） A．买甲站的 B．买乙站的 C．买两站的都可以 D．先买甲站的1罐，以后再买乙站的 6．下列说法正确的是（　　） A．﹣a一定是负数 B．两个数的和大于每一个加数 C．零除以任何数都得零 D．互为相反数的两个数，它们的和为零 7．下列说法正确的个数有（　　） ①一个有理数不是正数就是负数； ②0除以任何数都得0； ③两个数相除，商是负数，则这两个数异号； ④几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负； ⑤两个数相减，所得的差一定小于被减数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．规定：对任意有理数对【a，b】＝a2+2b+1．例如：有理数对【﹣5，﹣2】＝（﹣5）2+2×（﹣2）+1＝22，若有理数对【﹣2，1】＝n，则有理数对【n，﹣1】＝（　　） A．36 B．38 C．46 D．48 二．填空题 9．对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）＝（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊕（p，q）＝（5，0），则p＝　 　，q＝　 　． 10．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．则当x＝2时，（1⊕x）•x﹣（3⊕x）的值为　 　．（“•”和“﹣”仍为实数运算中的乘号和减号） 11．符号“f”表示一种运算，它对一些数运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，… （2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，… 利用以上规律计算f（2024）﹣f（）﹣f（2023）＝　 　． 三．解答题 12．某检修小队在东西走向的公路上值班，约定向东为正方向，小队从A地出发到收工时，记录仪上的记录如下（单位：km）： ﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+8，﹣13． （1）收工时，小队距A地多远？ （2）在A地东侧5km处有一个广告牌，小队在这次的值班中有几次经过这个广告牌？ （3）若小队从A地出发，值班结束后直接回到A地共用时4小时，求该小队的平均速度？ 13．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2021+（﹣cd）2022的值． 14．计算： （1）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣2）3； （2）（﹣+）÷（﹣）． 15．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是绝对值为4的负数，求的值． 16．观察下面的变形规律： ；；；…． 解答下面的问题： （1）仿照上面的格式请写出＝　 　； （2）若n为正整数，请你猜想＝　 　； （3）基础应用：计算：． （4）拓展应用1：解方程：＝2022 （5）拓展应用2：计算：． 17．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示 （1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）； （2）若n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2021•（n+a）2022的值； （3）若a＝，b＝﹣2，c＝﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由． 18．某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） +5 ﹣2 ﹣5 +15 ﹣10 +16 ﹣9 （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究” 【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：＝＝1+1+3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0， 则：＝＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1 所以的值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值； （2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值． 20．规定新运算：＝m+n+（﹣p），＝a+c+b×d，求+的值． 21．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2+x+cdx2021值． 22．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数都要用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4可作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算与4×（2+3+1）视为相同方法的运算）．现有四个有理数3，4，﹣6，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算，可以使用括号，使其结果等于24，运算式如下： （1）　 　，（2）　 　 另有四个有理数﹣2，5，7，﹣13，可以通过运算式（3）　 　，使其结果等于24． 参考答案 一．选择题 1．解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）． 则需要付费19元． 故选：B． 2．解：①若ab＝0，则a＝0或b＝0，故正确； ②若a2＝b2，则|a|＝|b|，故原判断错误； ③若ac2＝bc2，当c≠0时a＝b，故原判断错误； ④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，故正确． 故选：A． 3．解：2023年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿）， 2024年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿）， ∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2024年， 故选：B． 4．解：∵（1，x）（2，﹣5）＝7， ∴1×2﹣5x＝7， 解得x＝﹣1． 故选：A． 5．解：设每罐液化气的原价为a， 则在甲站购买8罐液化气需8×（1﹣25%）a＝6a， 在乙站购买8罐液化气需a+7×0.7a＝5.9a， 先买甲站的一罐，以后再买乙站的需（1﹣25%）a+a+6×0.7a＝5.95a； 由于6a＞5.95a＞5.9a， 所以购买液化气最省钱的方法是买乙站的． 故选：B． 6．解：当a＝0时，﹣a＝0，所以A错误； 两个负数相加的和小于每一个加数，所以B错误； 零除以任何不为0的数都得零，所以C错误； 故选：D． 7．解：因为有理数包括正数、零和负数，故①错误； 0除以任何不等于0的数都得0，故②错误； 根据除法的法则可知两个数相除，商是负数，则这两个数异号，故③正确； 几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负，故④中如果几个有理数相乘如果含有0的话，乘积是0，故④错误； 5﹣（﹣5）＝10，10＞5，故两个数相减，所得的差一定小于被减数是错误的，故⑤错误； 故选：B． 8．解：根据规定： n＝【﹣2，1】 ＝（﹣2）2+2×1+1 ＝4+2+1 ＝7， 所以【n，﹣1】 ＝【7，﹣1】 ＝72+2×（﹣1）+1 ＝49﹣2+1 ＝48． 故选：D． 二．填空题 9．解：根据题意可知（1，2）⊕（p，q）＝（p﹣2q，q+2p）＝（5，0）， ∴p﹣2q＝5，q+2p＝0， 解得p＝1，q＝﹣2． 故答案为：1，﹣2． 10．解：按照运算法则可得（1⊕2）＝1，（3⊕2）＝4， 所以（1⊕x）•x﹣（3⊕x）＝1×2﹣4＝﹣2． 故答案为：﹣2． 11．解：由符号“f”运算可得， f（2024）﹣f（）﹣f（2023）＝2023﹣2024﹣2022＝﹣2023， 故答案为：﹣2023． 三．解答题 12．解：（1）﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2+8﹣13＝2（千米）． 故收工时，小队距A地有2千米； （2）根据题意得，第一次离A地正西2米； ﹣2+5＝3，即第二次离A地正东3米； 3﹣1＝2，即第三次离A地正东2米； 2+10＝12，即第四次离A地正东12米； 12﹣3＝9，即第五次离A地正东9米； 9﹣2＝7，即第六次离A地正东7米； 7+8＝15，即第七次离A地正东15米； 15﹣13＝2，即第八次离A地正东2米； 所以第四次、第八次共2次经过这个广告牌； （3）（|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+8+|﹣13|）÷4 ＝（2+5+1+10+3+2+8+13）÷4 ＝64÷4 ＝16（km/h）． 答：该小队的平均速度为16km/h． 13．解：由已知可得，a+b＝0，cd＝1，x＝±2； 当x＝2时， x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2021+（﹣cd）2022 ＝22﹣（0+1）×2+02021+（﹣1）2022 ＝4﹣2+0+1 ＝3 当x＝﹣2时， x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2021+（﹣cd）2022 ＝（﹣2）2﹣（0+1）×（﹣2）+02021+（﹣1）2022 ＝4+2+0+1 ＝7 14．解：（1）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣2）3 ＝÷（﹣）﹣×（﹣8） ＝﹣2+1 ＝﹣1． （2）（﹣+）÷（﹣） ＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24） ＝﹣16+18﹣4 ＝﹣2． 15．解：由题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝﹣4 的＝0+1+6＝7 16．（满分12分） 解：（1）＝﹣； （2）＝﹣； （3）计算：． ＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣． ＝1﹣． ＝； （4）＝2022， x（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2022， ＝2022， x＝2023； （5）． ＝（1﹣）+（）+（﹣）+…+（﹣）． ＝（1﹣）． ＝． 17．解：（1）如图所示： 由数轴可知|c|＞a＞b； （2）由数轴可知：b+c＜0，c﹣1＜0，b﹣a＜0， 则n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a| ＝﹣b﹣c+c﹣1+b﹣a ＝﹣1﹣a， 即a+n＝﹣1， ∴1﹣2021•（n+a）2022 ＝1﹣2021×（﹣1）2022 ＝1﹣2021 ＝﹣2020； （3）①当点M在AB的右侧时， 设点M对应的数为x， ∵点A对应的数是，点B对应的数是点﹣2， ∴BM＝x+2，AM＝x﹣， ∵BM＝3AM， ∴x+2＝3（x﹣）， x+2＝3x﹣， x＝； ②当点M在AB的上时， 此时，BM＝x+2，AM＝﹣x， ∵BM＝3AM ∴x+2＝3（﹣x） x+2＝﹣3x， x＝； ③当点M在AB的左侧时， 此时，BM＝﹣2﹣x，AM＝﹣x， ∵BM＝3AM ∴﹣2﹣x＝3（﹣x） ﹣2﹣x＝﹣3x， x＝与M对应的数是负数相矛盾， 所以AB的左侧不存在这样的点M 因此点M对应的有理数是或． 18．解：（1）周一的产量为：300+5＝305个； （2）由表格可知：星期六产量最高，为300+（+16）＝316（个）， 星期五产量最低，为300+（﹣10）＝290（个）， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产316﹣290＝26（个）； （3）根据题意得一周生产的工艺品个数为： 300×7+[（+5）+（﹣2）+（﹣5）+（+15）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）] ＝2100+10 ＝2110（个）． 答：工艺品厂这一周共生产工艺品2110个； （4）（+5）+（﹣2）+（﹣5）+（+15）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝10个， 根据题意得该厂工人一周的工资总额为： 2110×60+50×10＝127100（元）． 19．解：（1）∵abc＜0， ∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则＝﹣++＝﹣1+1+1＝1． （2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b， ∴a＝﹣3，b＝1或﹣1， 则a+b＝﹣2或﹣4． 20．解：∵＝m+n+（﹣p），＝a+c+b×d， ∴+ ＝[﹣3.2+7.3+（﹣4.1）]+[（﹣6）+（﹣8）+3×5] ＝[4.1+（﹣4.1）]+[（﹣14）+15] ＝0+1 ＝1 21．解：根据题意：a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1， 则x2+x+cdx2021＝（﹣1）2+×（﹣1）+1×（﹣1）2021＝1+0+（﹣1）＝0． 22．解：（1）10﹣3×（﹣6）﹣4 （2）[10+（﹣6）+4]×3 （3）5×7+（﹣13）﹣（﹣2）（注：答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$