小升初典型奥数：列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

列方程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.知识概要 列方程解应用题是在初步学会用含有未知数的等式解一些需要逆向思考的简单应用题的基础上学习的。学好列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。列方程解应用题是简易方程知识的实际应用，也是一种重要的数学方法。它能使一些问题化难为易，拓展解题思路，提高解题的灵活性和变通性。 2.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题（弄清未知数和未知数与已知条件之间的数量关系）。 （2）设未知数。 （3）概括等量关系，列出方程。 （4）解方程。 （5）检验，作答（将解得的结果代入原应用题.依题意检验，看答案是否正确）。 3.掌握分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如： 三角形的面积=底×高÷2； 长方形的周长=（长+宽）×2等。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 4.弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系 （1）列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。 （2）用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。 （3）列方程解应用题和用算术方法解应用题是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。 第二部分 典型例题 例题1：志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？ 【答案】10人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出． 【详解】 解法一：如图，设三个班都报的同学为x人 140+120+60－60－40－30+x=200 解得x=10 答：共有10人三个班都报了． 解法二： 200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）． 例题2：水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜．问：水果店运来的西瓜和哈密瓜共有多少个？ 【答案】900个 【详解】解：设一共卖了 x 天．可以根据题目条件列出方程：130x70436x 整理得到14x70 解得 x5 所以哈密瓜共有365180（个） 西瓜和哈密瓜总共有18014900（个）． 例题3：某校男生人数比全校学生总人数的多72人，女生人数比全校学生总数的少20人，这个学校男、女生各有多少人？ 【答案】男生332人，女生448人 【详解】解：设这个学校共有x人 x-（x+72）=x-20 解得，x=780 男生：780×+72=332（人） 女生：780×-20=448（人） 答：这个学校男生332人，女生448人． 例题4：有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 【答案】26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 第三部分 高频真题 1．小明读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页．小明第五天读了多少页？ 2．两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？ 3．六年级学生去秋游，要分成15个组，一部分由8人组成一个小组，另一部分由5个人组成一个小组，8人组成小组的总人数比5人组成小组的总人数多3人，求六年级共有多少名同学参加秋游？ 4．修一条公路，未修的长度是已修长度的 4 倍。如果再修200m，未修的长度就是已修长度的 2 倍。这条公路长多少米？ 5．今年兄弟俩人的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问哥哥和弟弟今年年龄分别是多大？ 6．某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元，每种奖都有人领，共有15名优秀职工，他们领的奖金的总数为16000元．获得一、二、三等奖的职工各有多少人？ 7．假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；乙用绳根不够，差丙家绳子根；丙用绳子根不够．差丁家绳子根；丁用绳子根不够，差戊家绳子根；戊用绳根不够，差甲家绳子根．如果各得所差的绳子根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数） 8．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 9．五（1） 班图书角的文艺书比科技书的 2 倍多 10 本，后来又买来 30 本文艺书，借出了 5 本科技书，这时图书角的文艺书是科技书的 4 倍，原来图书角有文艺书、科技书各多少本？ 10．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成．已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 11．一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各有多少人？ 12．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄． 13．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台．自动扶梯有多少级台阶? 14．水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？ 15．有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆? 16．在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占、和，已知三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？ 17．同学们到郊区野炊．一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个．又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗．”算一算，有多少人吃饭． 18．购买3斤苹果，2斤桔子需要元；购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要多少元？ 19．把自然数l，2，3，…，998，999分成3组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这3个平均数的和是多少? 20．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3 倍多 2 个。如果从箱子里取出 7 个白球，再放进7 个红球，这时箱子里红球的个数是白球的 4 倍。箱子里原有红球、白球各多少个？ 21．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？ 22．某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站．他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行．如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？ 23．将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配成浓度为10%的盐水60克．需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？ 24．学校田径队的小刚在400米跑步测试时，先以每秒6米的速度跑完了大部分路程，最后进入冲刺阶段时，他以每秒8米的速度冲到了终点，成绩为1分零5秒，问小刚在离终点多远时开始冲刺． 25．甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的倍。将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？ 26．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书多少本？ 27．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 28．五(2)班同学去公园划船．如果租来的船每条船坐4人，则有7人不能上船；如果每条船坐5人，则多一条船．五(2)班租了多少条船?共有学生多少人? 29．一次考试，共道题目，做对一题得分，做错一题倒扣分．小明共得分，问他做对了几道题？ 30．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 31．某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人．如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？ 32．李红看一本小说，上午看了60页，相当于下午看的页数的又4页，李红这天共看了多少页小说？ 33．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 34．甲地有89吨货物要运送到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升，运完这批货物至少耗油多少升？ 35．黎明同学看一本书，如果他每天看的页数比前一天增加一倍，6天正好看完．已知这本书共有126页，他第几天看到第24页？ 36． 甲、乙、丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖．甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？ 37．水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？ 38．两根绳共长90米，已知第一根绳长的等于第二根绳长的，求两根绳各长多少米？ 39．已知哥哥年后的年龄与弟弟年前的年龄和恰好是岁，而弟弟现在的年龄是两人年龄差的倍，那么试问哥哥今年多少岁？ 40．在甲容器中装有浓度为的盐水毫升，乙容器中装有浓度为的盐水毫升．如果先从甲、乙两容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水．问甲、乙两容器各倒出了多少毫升盐水？ 41．将25克白糖放入空杯中，倒入100克白开水，充分搅拌后，喝去一半糖水．又加入36克白开水，若使杯中的糖水和原来的一样甜，需要加入多少克白糖？ 42．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？ 43．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 44．一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成．已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍．甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 45．五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共12人去取树苗，男同学每人拿3棵，女同学每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，则还差2棵不能取回．问：原来男、女生人数各是多少？ 46．五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数． 47．已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元．篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元．问：每个篮球多少元？ 48．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5．这群羊原来有多少只？ 参考答案： 1．77页 【分析】根据题意，设小明第五天读的页数是x页，则根据第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页，即第五天读的页数﹣这五天中平均读的页数要=3.2，列方程解答即可． 【详解】解：设小明第五天读的页数是x页 x﹣（83+74+71+64+x）÷5=3.2， 5x﹣292﹣x=16， 4x=308， x=77； 答：小明第五天读了77页． 2．32千克 【分析】题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x千克，第一袋剩下的则是x-18千克，第二袋剩下的则是x-25千克．根据题意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等． 【详解】解：设两袋大米原来的重量各为x千克，根据题意列方程得： （x-25）×2=x-18 解得，x=32 答：两袋大米原来各重32千克． 3．93 【详解】设8人小组有x组，则5人小组有组 （名） 4．1500米 【详解】解：设一开始已经修建的长度为X 由题意得，（x+200)×2=4x-200 解得，X=300 道路全长：5X=1500米 答：这条公路长1500米。 5．哥哥今年33岁，弟弟今年22岁 【详解】解：设今年哥哥x岁，则今年弟弟是岁．过去某年哥哥岁数是岁，那是在 即年前，当时弟弟岁数是即．列方程为 （岁） 6．一等奖2人，二等奖5人，三等奖8人 【详解】解：设一、二、三等奖依次有a，b，c人． 由题意可得， 5a+2b=20 根据a，b都是整数，解得：a=2，b=5，c=8． 答：获得一等奖的职工有2人，二等奖的5人，三等奖的8人． 7．甲265、乙191、丙148、丁129、戊76 【详解】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、、、、，井深，则可列出方程组如下： 这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代，，，， 代入最后一个式子，，即，所以，． 于是，，，，． 8．29人 【分析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数．解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系． 【详解】解：设两项比赛都参加的有X人，那么 （37+40）-X=48 X=29 【点睛】一般地，假设具有性质A的事物（人）有XA个，具有性质B的事物（人）有XB个，既具有性质A，又具有性质B的事物（人）有XAB个，至少具有A、B中一种性质的事物（人）有X个，那么：X=（XA＋XB）-XAB．这个关系式可用下图来表示： 这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路． 9．文艺书：70本  科技书：30本 【详解】解：设科技书有x本,文艺书有y本,可列方程组： 解得， 答：文艺书有70本,科技书有30本。 10．甲：3分钟   乙：1分钟 【详解】解：设乙车间加工一个零件的时间为X分钟，则甲车间为3X分钟 3小时=180分 160÷2=80（个） 80×3X-80X=180-20 160X=160 X=1 3×1=3 答：甲车间加工1个零件需3分钟,乙车间需1分钟. 11．大人有20人，幼儿有80人 【详解】这是一个鸡兔同笼问题的变形．解：设有x个幼儿，则有个大人，列方程 （人） 12．9岁 【详解】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有． 小明的年龄是（岁）． 13．50级 【详解】每秒向下迈2级台阶，走100级台阶的时间为100÷2=50，每秒迈3级台阶，走75级台阶时间为75÷3=25，自动扶梯分别上行了2x级和x级，列式为100-2x=75-x，解得x=25级，自动扶梯有50级． 14．1440个 【详解】解：设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，由天数相等列方程得： 解得，=480 2=960 480+960=1440个 答：西瓜和白兰瓜共1440个． 15．4 【详解】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：,解得，所以有4堆． 16．12千克 【详解】解法一：设丙缸酒精溶液的重量为千克，则乙缸为千克．根据纯酒精的量可列方程： ， 解得，所以丙缸中纯酒精的量是(千克)． 解法二：由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为． 那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中纯酒精的量是(千克)． 17．30人 【详解】解：设参加野炊活动的人数为x人． x+x+x=55 解得，x=30 答：参加野炊活动的有30人． 18．2.7 【详解】假设购买1斤苹果、桔子分别需要元、元，则： ， 两式相加得，即． 所以各买1斤需要元． 点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买斤苹果和斤苹果，须元，所以各买1斤需要元. 19．1500 【详解】若设每一组的平均分均为a，则总和为999a＝(1+999)×999÷2，所以a＝500，于是这三组平均数的和为1500． 20．红球：113个；白球：37个 【解析】略 21．甲：60元  乙：48元 【分析】根据“甲取出自己存款的，乙取出12元，现在两人所存的钱数相等”，可找出数量之间的相等关系式为：甲的存款×（1-）=乙的存款-12，设甲原来存款x元，那么乙存款（108-x）元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：存款x元，那么乙存款(108−x)元，由题意得： (1−)x=108−x−12 解得，x=60 108−60=48(元) 答：甲原来存款60元，乙原来存款48元． 22．见详解。 【分析】如果送到车站，汽车返回再接人，那么到车站的人显然就闲着了，这不利于提高效率，所以，方法应该是：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近，总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率.思路： （1）150人，50个坐车；剩下100个人开始步行A50个人坐车到第一个下车点下车向车站步行； （2）100人，50个坐车：剩下50个人开始步行，B50人追上A50人然后下车一起步行 （3）50人坐车，到达车站。 如图： 由于汽车走的时候人在走，总时长为T，在期间人走用时也为车走用为时T，这样人走的距离为4T，由于汽车往返了两次，由于往返的路程都是一样长的，所有汽车在总过程前进用时为T，每车人到达终点的5距离都为车走距离加上人走的距离为21千米，所以方程为4T＋36×T＝21，解此方程即可。 【详解】汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率。设总用时为T，如图： 由图可知，这样人走的距离为4T，汽车在总过程前进用时为T，可得： 4T＋36×T＝21 T＝21 T＝ 小时＝1小时52分30秒〈1小时55分钟 答：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，效率最高，用时1小时52分30秒。 【点睛】本题考查行程问题中的接送问题，关键思路是“人腿不停，车轮不停，效率最高”。 23．需要20%的盐水20克，5%的盐水40克 【分析】根据题意，将20%的盐水与5%的盐水混合，配成10%的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量的和与混合后盐水中盐的质量是相等的．可根据这一数量间的关系列方程解答． 【详解】解：设20%的盐水有x克，则5%的盐水有（60-x）克 20%x+(60-x)×5%=60×10% 20%x+60×5%-5%x=6 解得x=20 60-20=40（克） 答：需要20%的盐水20克，5%的盐水40克． 24．离终点40米处 【详解】解：设小翔在离终点处x米时开始冲刺，根据题意列方程： 化简得：4（400-x）+3x=1560 解得，x=40 答：小翔在离终点处40米时开始冲刺． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 25．30% 【分析】设乙瓶盐水的浓度是x%，甲瓶盐水的浓度是3x %，根据两种盐水中盐的质量之和等于混合后盐水中盐的质量列方程求解即可。 【详解】解：设乙瓶盐水的浓度是x%，甲瓶盐水的浓度是3x%。 100×3x%＋300×x%＝（100＋300）×15% 6x＝60 x＝60÷6 x＝10 3x%＝3×10%＝30% 答：甲瓶盐水的浓度是30%。 【点睛】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题，解题的关键是找出等量关系式。 26．3 【详解】方法一：设乙有课外书x本，则甲有课外书本，丙有课外书（本）， 于是有，即，解得． 方法二：丙的本数超过乙的25倍，所以乙至多有3本书．显然乙的书至少2本，如果乙有2本书，那么甲有（本），丙有（本），三人共有的书不到100本，所以乙有书3本． 27．甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 28．12条船 55人 【分析】解答这道题目，可以用盈亏问题的思路来思考，如果用列方程来解答，同样很合适．前后两种安排座位的方法总人数是不变的．如果设租了X条船，那么总人数既可以表示为(4x+7)人，也可以表示为5(x-1)人，就可以列出方程． 【详解】解答：设租了x条船． 4x+7=5(x-1) 4x+7=5x-5 X=12 4×12+7=55（人） 答：五（2）班租了12条船，共有学生55人． 29．11 【详解】设他做对了道题，那么就做错了（）道题，根据题意可得： 所以小明做对了道题． 30．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 31．4分 【分析】此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了． 【详解】解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得 由①②，得 4(=6(-) =……③ 将③代入①，得 4（+）= 解得x=4. 答：汽车站每隔4分发一班车． 【点睛】此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关． 32．124页 【分析】这道题要求的问题是这一天共看了多少页小说．题目中已知上午看了60页，所以，只要求出下午看的页数，就可以了．题目中明确告诉了我们等量关系即“上午看了60页，相当于下午看的页数的又4页”． 等量关系：下午看的页数×＋4＝上午看的页数 【详解】解：法（一）：设下午看了x页． x+4=60 解得，x=64 60＋64＝124页 答：这天共看了124页． 解：解法（二）：这一天共看了x页． （x-60）×+4=60 解得，x=124 答：这一天共看了124页． 33．20千米 【分析】这是流水中的行程问题： 顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度-水流速度． 解答本题的关键是要先求出水流速度． 【详解】解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2， 于是有8+a=2（8-a），解得a= 再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有 把a=代入，得x=20． 答：甲、乙两港相距20千米． 34．181升 【详解】解：设大卡车运x趟，小卡车运y趟． 由题意可列方程：7x+4y=89 则，（3x-1）是4的倍数，且y≥0，得，相应的耗油量分别为14×3+9×17=195（升），14×7+9×10=188（升），14×11+9×3=181（升）．所以至少是181升． 答：运完这批货物至少耗油181升． 35．第4天 【详解】解：设第一天看X页． x+2x+4x+8x+16x+2+32x=126 63x=126 x=2 从第一天开始每天看的页数分别是：2页，4页，8页，16页…… 可得，第4天看到第24页． 36．36块 【详解】由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用天将糖吃完．又根据三位同学有相同数目的糖建立方程，则，解得． 由或，可知他们每人得到36块果汁糖． 37．1440 【详解】解：设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，有，得 所以西瓜和白兰瓜共（个）． 法一：(涉及到分数，慎重选讲) 注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了个，则西瓜进了个， 列方程得：，解得，， 所以西瓜和白兰瓜共个． 法二： 设卖了天，根据题意列方程得，解得， 所以西瓜和白兰瓜共有 38．第一根绳长50米，第二根绳长40米 【分析】解答时，首先抓住题目中的等量关系“第一根绳长的等于第二根绳长的”再根据第一根绳长为（90－x）米，就可以列出方程． 等量关系：第一根绳长×＝第二根绳长× 【详解】解：设第一根绳长x米，第二根绳长（）米，根据题意列方程得： x=×（90－x） 解得，x=50 90－50＝40 答：第一根绳长50米，第二根绳长40米． 39．15 【详解】在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设未知数成了问题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥的年龄如何表示，这就要涉及到题目中的一个条件——弟弟现在的年龄是两人年龄差的倍．通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元素．设他们两人的年龄差是岁，那么弟弟现在的年龄是岁，而哥哥现在的年龄是岁．根据“哥哥年后的年龄与弟弟年前的年龄和恰好是岁”这个条件可以得出方程：，所以两个人的年龄差是岁，于是弟弟的年龄是岁，哥哥的年龄是岁． 40．63 【详解】由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为，而甲容器中原来浓度为，所以相互倒了(克)． 另外也可以这样来理解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的． 假设相互倒了克，那么甲容器中是由克的盐水和克的盐水混合，乙容器中是由克的盐水和克的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以，解得． 41．9克 【分析】要想杯中糖水一样甜，那就说明浓度相同，也就是说明糖和水的比例相同，可以利用浓度相同这个等量关系来列方程，也可以用比例相同这个等量关系来求解． 【详解】解法一：设需要加入白糖x克，则，解得x=9． 解法二：设需要加入糖x克，则，解得x=9． 答：需要加入9克白糖． 42．爸爸：40岁  儿子：10岁 【详解】解：设今年儿子年龄岁数为x,则父亲年龄岁数为4x,根据题意得 2（x+20）=4x+20 解得x=10 4x=4×10=40（岁） 答：爸爸今年的年龄是40岁，儿子10岁． 43．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 44．甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天 【分析】已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几．然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天． 【详解】解：设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了． 　　 因此，甲队独做时间为：； 乙队独做时间为：； 丙队独做时间为：． 答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天． 45．原来男生有7人，女生有5人 【详解】设原来男生有人，女生有人，依题意列方程： ． 所以原来男生有7人，女生有5人． 46．21人 【分析】题目中不止一项未知数，但是各项未知数之间具有倍数关系，可以用方程法解答． 【详解】 设三项都参加的人数为x，那么参加朗诵小组的人数为7x，既参加绘画小组又参加朗诵小组人数为2x，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为2x，则： 46=24+20+7x-2x-2x-10+x 解得x=3 7x=21 答：参加朗诵小组的人数为21人． 【点睛】1，此题不能直接利用公式变形算术方法算出，必须列出方程． 2，列方程解应用题时x的选择并不一定是题目所求，而应该是所有未知量中较小值，这样其他未知量就比较好表示出，否则方程中出现分数或除法，不利于方程的解答． 47．39 元 【详解】解：设每个排球 x 元，则每个篮球为 x 10 元，每个足球 x 8 元，由题意列方程： x x 10 x 8 35 3 3x 18 105 3x 87 x 29 所以 x 10 29 10 39 ，即每个篮球 39 元 48．49只 【分析】分析题意，设这群羊原有x只，结合已知条件可知：(原有羊的只数-1)×跑走一只公羊后现在公羊只数占总数的分率+1=(原有羊的只数-1)×跑走一只母羊后公羊占总只数的分率，根据这个等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这群羊原来有x只 (x-1)×+1=(x-1)× x=49 答：这群羊原来有49只． 学科网（北京）股份有限公司 $$