专题08 两条直线平行和垂直的判定3种常考题型归类（50题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题08 两条直线平行和垂直的判定3种常考题型归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线平行的判定及应用 （一）两条直线平行的概念辨析 （二）两条直线平行关系的判定 （三）已知两条直线平行求参数 题型二 两条直线垂直的判定及应用 （一）两条直线垂直的概念辨析 （二）两条直线垂直关系的判定 （三）已知两直线垂直求参数 题型三 两直线平行与垂直的综合应用 知识点1：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点2：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 解题策略 1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤 2.两条直线平行的判定及应用 k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 3．利用斜率公式解决两直线平行问题 解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的． 4.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项 (1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k1k2＝－1. (2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在． 5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．　　 6.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 7.平行和垂直的综合应用 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． 题型一 两条直线平行的判定及应用 （一）两条直线平行的概念辨析 1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（    ） A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件 B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件 C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件 D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件 2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 （二）两条直线平行关系的判定 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 7．【多选】（2024·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 8.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于轴，但不经过，两点； （3）经过，两点，经过，两点． 9．（2024·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 10．（2024·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由． （三）已知两条直线平行求参数 11．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏·高二假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 13.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 14．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________． 题型二 两条直线垂直的判定及应用 （一）两条直线垂直的概念辨析 15．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（    ） A．斜率均不存在的两条直线可能重合 B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为 C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直 D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则 16．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 17．（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的是（    ） A．每一条直线都有倾斜角和斜率 B．若直线倾斜角为，则斜率为 C．若两直线的斜率，满足，则两直线互相垂直 D．直线与直线（）一定互相平行 18.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2） 两条直线垂直关系的判定 19．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线互相垂直的是（    ） A．的斜率为，经过点， B．的倾斜角为，经过点 C．经过点，经过点 D．的斜率为2，经过点 20．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 21．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 22．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 23．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 24．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 25．【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． （三）已知两直线垂直求参数 26.（2023·全国·高二专题练习）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 27．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 28．（2024·高二课时练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 29.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 31．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 32.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 33.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 34．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是________． 35．（2024·江苏·高二假期作业）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 36．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 题型三 两直线平行与垂直的综合应用 37．【多选】（2024·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 38．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 39.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·全国·高二期中）已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 41．（2024·江苏·高二假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若，，，则的外接圆面积为______． 43．（2024·高二课时练习）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 44.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点，，，，试判定四边形的形状． 45．（2024·高二课时练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 46．（2024·江苏·高二假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 47．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 48．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为______. 49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直. 50.（2024秋·四川成都·高二校考阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题08 两条直线平行和垂直的判定3种常考题型归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线平行的判定及应用 （一）两条直线平行的概念辨析 （二）两条直线平行关系的判定 （三）已知两条直线平行求参数 题型二 两条直线垂直的判定及应用 （一）两条直线垂直的概念辨析 （二）两条直线垂直关系的判定 （三）已知两直线垂直求参数 题型三 两直线平行与垂直的综合应用 知识点1：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点2：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 解题策略 1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤 2.两条直线平行的判定及应用 k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．　　　　 3．利用斜率公式解决两直线平行问题 解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的． 4.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项 (1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k1k2＝－1. (2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在． 5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．　　 6.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 7.平行和垂直的综合应用 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． 题型一 两条直线平行的判定及应用 （一）两条直线平行的概念辨析 1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（    ） A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件 B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件 C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件 D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件 【答案】B 【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可. 【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A错误； 的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B正确； 倾斜角相等时，两直线可能重合，故C错误； 法向量平行时，两直线可能重合，故D错误. 故答案为：B 2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 【答案】BCD 【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确. 【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确； 对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确. 故选：BCD. （二）两条直线平行关系的判定 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 【分析】（1）求出、，即可判断； （2）求出、的方程，即可判断. 【详解】（1）因为经过点，，所以， 又经过点，，所以， 因为，所以与不平行； （2）直线经过点，的方程为， 直线经过点，的方程为， 故直线和直线平行； 5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 【答案】(1)不平行，理由见解析 (2)不平行，理由见解析 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，， 因为经过点，经过点， 所以，， 所以， 所以与不平行； （2）设直线，的斜率分别为，，则， 因为经过点， 所以， 所以， 所以与不平行. 6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合 【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）. 【详解】（1），， ，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合， 所以与平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴， 所以． （4）由题意，知，，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合． 7．【多选】（2024·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为． 对于A．，，，与不平行． 对于B，，，，故或与重合 对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故. 对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有． 故选：CD 8.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于轴，但不经过，两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【详解】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则， 所以. 9．（2024·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 10．（2024·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由． 【答案】共线，理由见解析. 【分析】根据直线斜率公式进行求解即可. 【详解】这三点共线，理由如下： 由直线斜率公式可得：， 直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点， 所以这三点共线. （三）已知两条直线平行求参数 11．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故选：C. 12．（2024·江苏·高二假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案. 【详解】由题意可知，，解得． 故选：A 13.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 【答案】 【详解】解：因为直线与直线平行，直线的斜率为， 所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为， 故答案为：. 14．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________． 【答案】/2或/或2 【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线的斜率为，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案. 【详解】由题意知，解得. 故答案为： 题型二 两条直线垂直的判定及应用 （一）两条直线垂直的概念辨析 15．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（    ） A．斜率均不存在的两条直线可能重合 B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为 C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直 D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则 【答案】ACD 【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确； 对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确； 对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确. 故选：ACD. 16．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】BC 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：BC 17．（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的是（    ） A．每一条直线都有倾斜角和斜率 B．若直线倾斜角为，则斜率为 C．若两直线的斜率，满足，则两直线互相垂直 D．直线与直线（）一定互相平行 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义及关系，以及两直线的位置的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，每条直线都有倾斜角，当倾斜角为，直线的斜率不存在，所以A错误； 对于B中，当直线倾斜角为，此时直线的斜率不存在，所以B错误； 对于C中，若两直线的斜率分别为，，当，则两直线互相垂直，所以C正确； 对于D中，当时，直线与直线为重合直线，所以D错误. 故选：C. 18.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性成立； 当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立； “两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. （2） 两条直线垂直关系的判定 19．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线互相垂直的是（    ） A．的斜率为，经过点， B．的倾斜角为，经过点 C．经过点，经过点 D．的斜率为2，经过点 【答案】ABC 【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为，从而可选出正确答案. 【详解】的斜率为，因为，所以成立，故A正确； 的斜率为，的斜率为，由， 则成立，故B正确； 的斜率为，的斜率为，由 则成立，故C正确； 的斜率为，由，所以不成立，故D错误. 故选：ABC． 20．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直； （2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直. 【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ， ， ， ∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°， 则轴； 由题知直线的斜率存在，设为， ， 则轴， ∴． 21．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 【答案】(1) (2)与不垂直 (3) 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可. （1） 因为的倾斜角为，所以的斜率为. 因为经过，两点， 所以的斜率为. 因为，所以. （2） 因为经过，两点， 所以的斜率为. 因为的斜率为，且， 所以与不垂直. （3） 记的斜率为，因为， 所以，解得或. 因为为锐角，所以. 因为的斜率为，且， 所以. 22．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系. 【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率， ∵，则与垂直. 故选：B. 23．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 24．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 25．【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可. 【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误． 故选:ABC． （三）已知两直线垂直求参数 26.（2023·全国·高二专题练习）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】两条直线垂直，则：，解得， 故选：A． 27．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果. 【详解】直线的斜率． ①当时，直线的斜率． 因为，所以，即，解得． ②当时，、，此时直线为轴， 又、，则直线为轴，显然． 综上可知，或. 故选：C. 28．（2024·高二课时练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 【答案】0或5 【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 29.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 30．（2024·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】由直线l的倾斜角为，与l垂直可得，再由直线与直线平行求得，由过求得，进而求. 【详解】由题意知：，而与l垂直，即， 又直线与直线平行，则，故， 又经过点，，则，解得， 所以. 故选：B. 31．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 32.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 设边上的高的斜率为，则， 故选：C 33.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由题意，设点， 为直角，， 由， ， 解得或，所以点的坐标为或 故选：B 34．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是________． 【答案】/4.75 【分析】由题易知，即为圆的直径，即,由列出方程，即可求出答案. 【详解】由题易知，即为圆的直径，即, ∴， 即，解得． 故答案：. 35．（2024·江苏·高二假期作业）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 36．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解. 【详解】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 题型三 两直线平行与垂直的综合应用 37．【多选】（2024·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断. 【详解】对A，若，则，故A正确； 对B，若，又两直线不重合，则，故B正确； 对C，若，则与不垂直，故C错误； 对D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 38．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D. 【详解】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确； 对于D, 若，不妨取， 则，不满足，不垂直，D错误， 故选： 39.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误． 故选:ABC． 40．（2024·全国·高二期中）已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 【答案】直角 【分析】根据直线斜率关系即得. 【详解】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 41．（2024·江苏·高二假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，或或 【分析】对的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果. 【详解】   若A为直角，则， ∴， 即，解得； 若B为直角，则， ∴， 即，解得； 若C为直角，则， ∴， 即，解得． 综上所述，存在或或，使为直角三角形． 42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若，，，则的外接圆面积为______． 【答案】 【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积． 【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径， ，外接圆半径为， 圆表面积为． 故答案为：． 43．（2024·高二课时练习）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状. 【详解】   在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 44.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【详解】由斜率公式可得： ， 与BC不平行 又， ， 故四边形ABCD是直角梯形． 45．（2024·高二课时练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 46．（2024·江苏·高二假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以∥，∥， 所以四边形为平行四边形， 因为， 所以， 所以四边形为矩形. 47．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用斜率公式求解即可； （2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 48．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为______. 【答案】矩形 【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案； 【详解】由斜率公式得，，，， 所以，，从而，．所以四边形为平行四边形． 又，所以，故四边形为矩形． 故答案为：矩形. 49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直. 【答案】证明见解析 【分析】建立坐标系，根据得出，从而证明菱形的对角线互相垂直. 【详解】以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为 因为四边形是菱形，所以 由， 所以，菱形的对角线互相垂直. 50.（2024秋·四川成都·高二校考阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. 【答案】建系见解析， 【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 依题意可知：直线和直线的斜率都存在， 由于与互相垂直， 所以，即， 所以. $$