第五讲 集合的基本运算二 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第五讲 集合的基本运算二 知识点梳理： 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）记法：全集通常记作U． 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA． 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 图形语言 3．∁UA，A，U三者之间有什么关系 A⊆U，∁UA⊆U，A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝∅． 4．补集的性质 （1）A∪（∁UA）＝U． （2）A∩（∁UA）＝∅． （3）∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A． （4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）． （5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）． 重难点解析： 1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． 2．补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 3．符号∁UA有三层意思： （1）A是U的子集，即A⊆U； （2）∁UA表示一个集合，且（∁UA）⊆U； （3）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 例题讲解： 题型1 补集的简单运算 【例1】．已知U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【例2】．已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝（　　） A．{x|x≥5} B．{x|5＜x≤6或x＝1} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤6}∪{1} 【例3】．已知全集U＝{x|﹣1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{﹣1，1，3，5}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{﹣1，1，4} B．{2，4} C．{0，2，4} D．{0，4} 题型2 补集综合 【例4】．设全集U＝{2，x2+2x+2}，集合A＝{2}满足∁UA＝{1}，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【例5】．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（　　） A．﹣1∈M B．1∈M C．﹣2∈M D．0∈M 【例6】．已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 题型3 交、并、补混合运算 【例7】．若全集U＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，M＝{﹣1，﹣2}，N＝{﹣2，﹣3}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{﹣1，﹣2，﹣3} B．{﹣2} C．{﹣4} D．{﹣1，﹣3，﹣4} 【例8】．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x＜5}，B＝{x|x≤1或x＞7}，则A∩∁UB＝（　　） A．{x|﹣2≤x≤7} B．{x|x＜1或x≥5} C．{x|1＜x＜5} D．{x|x＜﹣2或x＞7} 【例9】．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，4，7}，B＝{2，3，6，8}，任取一个元素a∈U，则a∈（A∩∁UB）的概率为（　　） A． B． C． D． 题型4 利用Venn图解决集合问题 【例10】．若全集U是实数集R，集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，N＝{1，2，5，7，8}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A．{2，8} B．[1，5，7} C．{2，7，8} D．{1，2，5，8} 【例11】．已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{0，1，4} C．{﹣1，1，4} D．{﹣1，0，1，4} 【例12】．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，B＝{x∈R|x≥3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 题型5 定义新运算与集合运算 【例13】．设A，B为非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|0≤x≤3}，N＝{x|x＞2}，则M*N＝（　　） A．{x|0≤x≤2} B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|0≤x≤2或x＞3} D．{x|0≤x＜2} 【例14】．设A，B为非空集合，定义A△B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，则A△B＝（　　） A．（1，2） B．（1，2）∪[3，4] C．（1，2]∪（3，4] D．（1，2]∪[3，4] 解题梳理： 1．求集合的补集 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． （3）求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的． （4）补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A，求A． 2．解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 3．由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解． （2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解． 变式练习： 1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{0，1，4}，则A＝（　　） A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3} 2．已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 3．若集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{x∈N*|﹣1＜x＜5}，则（∁RM）∩N＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．{1，2} 4．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 5．设全集为U，定义集合A与B的运算：A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A#B）#A＝（　　） A．A B．B C．A∩∁UB D．B∩∁UA 6．设集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，3，6} D．{1，4，6} 7．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　） A．{2} B．（2，3} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4} 8．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1]∪[1，2） 9．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 10．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 11．全集U＝R，A＝[4，8]，B＝（0，6），则A∩（∁UB）＝　 　． 12．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（∁UB）＝　 　． 13．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}，则实数a的取值范围是 　 　． 14．设集合U＝{x∈N|x≤7}，S＝{0，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁UT）＝　 　． 15．已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合A＝{1，2，3，6}，集合B＝{x∈Z||x|＜5}，则（∁UA）∩B＝　 　，A∪B＝　 　． 16．已知集合A＝{x|m＜x＜2m+1}，B＝{x|x≤﹣3或x＞5}． （1）当m＝4时，求A∩（∁RB）； （2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． 17．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m+1}． （1）当m＝1时，求A∪B，A∩（∁RB）； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 18．已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}． （1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 19．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}， （1）若m＝1，求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围． 20．设集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜5}． （1）若a＝3，求∁R（A∪B）； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 补集的简单运算 1．已知U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【答案】A 【分析】解不等式求出集合A，由补集定义能求出∁UA． 【解答】解：U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}＝{x∈Z|x≤﹣2或x≥2}， 则∁UA＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}． 故选：A． 2．已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝（　　） A．{x|x≥5} B．{x|5＜x≤6或x＝1} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤6}∪{1} 【答案】D 【分析】利用补集的定义，求解即可． 【解答】解：∵全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}， ∴∁AB＝{x|5≤x≤6}∪{1}， 故选：D． 3．已知全集U＝{x|﹣1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{﹣1，1，3，5}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{﹣1，1，4} B．{2，4} C．{0，2，4} D．{0，4} 【答案】D 【分析】求出全集U，集合B，进而求出A∪B，由此能求出∁U（A∪B）． 【解答】解：全集U＝{x|﹣1≤x≤5，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}， 集合A＝{﹣1，1，3，5}， B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}， ∴A∪B＝{﹣1，1，2，3，5}， 则∁U（A∪B）＝{0，4}． 故选：D． 题型2 补集综合 4．设全集U＝{2，x2+2x+2}，集合A＝{2}满足∁UA＝{1}，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据补集的定义即可得． 【解答】解：U＝{2，x2+2x+2}，集合A＝{2}满足∁UA＝{1}， ∴x2+2x+2＝1，x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，∴x＝﹣1． 经检验满足． 故选：A． 5．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}，则（　　） A．﹣1∈M B．1∈M C．﹣2∈M D．0∈M 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M满足∁UM＝{﹣1，0，1，2}， 则M＝{﹣2}． 故选：C． 6．已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 【答案】B 【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝4k+1或x＝4k+3，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}， 所以∁AB＝{x|x＝4k+3，k∈Z}， 故选：B． 题型3 交、并、补混合运算 7．若全集U＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，M＝{﹣1，﹣2}，N＝{﹣2，﹣3}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{﹣1，﹣2，﹣3} B．{﹣2} C．{﹣4} D．{﹣1，﹣3，﹣4} 【答案】C 【分析】利用并集运算，先求出M∪N，然后利用补集运算得答案． 【解答】解：由M＝{﹣1，﹣2}，N＝{﹣2，﹣3}， 得M∪N＝{﹣3，﹣2，﹣1}． 又全集U＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}， 则∁U（M∪N）＝{﹣4}． 故选：C． 8．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x＜5}，B＝{x|x≤1或x＞7}，则A∩∁UB＝（　　） A．{x|﹣2≤x≤7} B．{x|x＜1或x≥5} C．{x|1＜x＜5} D．{x|x＜﹣2或x＞7} 【答案】C 【分析】先求出集合B的补集，然后利用交集的定义“两个集合A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合”结合数轴求出交集即可． 【解答】解：∵B＝{x|x≤1或x＞7}， ∴∁UB＝{x|1＜x≤7} A∩∁UB＝{x|1＜x＜5} 故选：C． 9．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，4，7}，B＝{2，3，6，8}，任取一个元素a∈U，则a∈（A∩∁UB）的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出A∩∁UB＝{1，4，7}，从而得到任取一个元素a∈U，则基本事件总数n＝8，其中a∈（A∩∁UB）包含的基本事件个数m＝3，由此能求出a∈（A∩∁UB）的概率． 【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，4，7}，B＝{2，3，6，8}， ∴A∩∁UB＝{1，3，4，7}∩{1，4，5，7}＝{1，4，7}， 任取一个元素a∈U，则基本事件总数n＝8， 其中，a∈（A∩∁UB）包含的基本事件个数m＝3， ∴a∈（A∩∁UB）的概率p＝． 故选：D． 题型4 利用Venn图解决集合问题 10．若全集U是实数集R，集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，N＝{1，2，5，7，8}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A．{2，8} B．[1，5，7} C．{2，7，8} D．{1，2，5，8} 【答案】A 【分析】图中阴影部分所表示的集合为N∩∁UM，求出∁UM＝{偶数}，利用交集定义能求出结果． 【解答】解：图中阴影部分所表示的集合为N∩∁UM， ∵全集U是实数集R，集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}＝{奇数}， ∴∁UM＝{偶数}， ∴图中阴影部分所表示的集合为N∩∁UM＝{2，8}． 故选：A． 11．已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1} B．{0，1，4} C．{﹣1，1，4} D．{﹣1，0，1，4} 【答案】B 【分析】图中阴影部分表示集合A∩B，由此即可得． 【解答】解：A＝{x|0≤x≤4}， 图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，4}． 故选：B． 12．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，B＝{x∈R|x≥3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 【答案】C 【分析】根据题意求得结合A＝{0，1，2，3}，结合阴影部分表示的集合为A∩（∁RB），即可求解． 【解答】解：由集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|x≥3}， 又由阴影部分表示的集合为A∩（∁RB）＝{0，1，2}． 故选：C． 题型5 定义新运算与集合运算 13．设A，B为非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|0≤x≤3}，N＝{x|x＞2}，则M*N＝（　　） A．{x|0≤x≤2} B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|0≤x≤2或x＞3} D．{x|0≤x＜2} 【答案】C 【分析】由题意先求M∪N，M∩N，进而求出M*N． 【解答】解：由于M＝{x|0≤x≤3}，N＝{x|x＞2}， 所以M∪N＝{x|x≥0}，M∩N＝{x|2＜x≤3}， 所以M*N＝{x|0≤x≤2或x＞3}． 故选：C． 14．设A，B为非空集合，定义A△B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，则A△B＝（　　） A．（1，2） B．（1，2）∪[3，4] C．（1，2]∪（3，4] D．（1，2]∪[3，4] 【答案】B 【分析】根据已知中的集合A，B，先计算出A∪B和A∩B，进而根据A△B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，得到答案． 【解答】解：∵A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}， ∴A∪B＝{x|1＜x≤4}， A∩B＝{x|2≤x＜3}， ∴A△B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}＝{x|1＜x＜2，或3≤x≤4}＝（1，2）∪[3，4]， 故选：B． 变式练习： 1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{0，1，4}，则A＝（　　） A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3} 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集U＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，∁UA＝{0，1，4}， 则A＝{2，3，5}． 故选：A． 2．已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB＝（　　） A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k∈Z} C．{x|x＝2k+3，k∈Z} D．∅ 【答案】B 【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝4k+1或x＝4k+3，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}， 所以∁AB＝{x|x＝4k+3，k∈Z}， 故选：B． 3．若集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{x∈N*|﹣1＜x＜5}，则（∁RM）∩N＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．{1，2} 【答案】B 【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出∁RM，结合交集的运算求出（∁RM）∩N． 【解答】解：由题意知M＝{x|2x﹣1＞5}＝{x|x＞3}，N＝{x∈N*|﹣1＜x＜5}＝{1，2，3，4}， 所以∁RM＝{x|x≤3}，（∁RM）∩N＝{1，2，3}． 故选：B． 4．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 【答案】B 【分析】根据集合的定义计算即可． 【解答】解：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}， 所以∁RB＝{x|x≥1}， 所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}． 故选：B． 5．设全集为U，定义集合A与B的运算：A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A#B）#A＝（　　） A．A B．B C．A∩∁UB D．B∩∁UA 【答案】B 【分析】利用并集、交集、新定义直接求解． 【解答】解：∵A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}， ∴（A#B）#A＝B． 故选：B． 6．设集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，3，6} D．{1，4，6} 【答案】D 【分析】结合交集、并集的定义，即可求解． 【解答】解：A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}， 则A∩B＝{1，4}， （A∩B）∪C， 则C＝{1，4，6}． 故选：D． 7．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　） A．{2} B．（2，3} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4} 【答案】D 【分析】由已知结合集合的交集及并集运算即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}， 所以A∩C＝{1，2}， 则（A∩C）∪B＝{1，2，3，4}． 故选：D． 8．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1]∪[1，2） 【答案】D 【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解． 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}， ∴A∩B＝（﹣1，1），A∪B＝（﹣2，2）， ∴集合∁A∪B（A∩B）＝（﹣2，﹣1]∪[1，2）． 故选：D． 9．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合A∩B＝{3，4，5}，再求出图中阴影部分表示的集合∁A（A∩B）＝{1，2}；最后利用集合的子集个数公式即可求解． 【解答】解：由图可知：阴影部分表示的集合为∁A（A∩B）． 因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6}， 所以A∩B＝{3，4，5}， 则∁A（A∩B）＝{1，2}， ∴阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4． 故选：B． 10．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 【答案】C 【分析】根据已知条件，求得A⊆B，再进行选择即可． 【解答】解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），故可得A⊆B， 对A：当A为B的真子集时，不成立； 对B：当A为B的真子集时，也不成立； 对C：A∩（∁UB）＝∅，恒成立； 对D：当A为B的真子集时，不成立； 故选：C． 11．全集U＝R，A＝[4，8]，B＝（0，6），则A∩（∁UB）＝　[6，8]　． 【答案】[6，8]． 【分析】由题意可得∁UB，进而求出A∩（∁UB）． 【解答】解：因为全集U＝R，A＝[4，8]，B＝（0，6）， 所以∁UB＝（﹣∞，0]∪[6，+∞）， 所以A∩（∁UB）＝[6，8]． 故答案为：[6，8]． 12．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（∁UB）＝　{x|﹣2≤x≤}　． 【答案】{x|﹣2≤x≤}． 【分析】求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出A∩（∁UB）． 【解答】解：全集U＝R，集合＝{x|﹣5＜x≤}， 集合B＝{x||x|＞2}＝{x|x＞2或x＜﹣2}， ∴∁UB＝{x|﹣2≤x≤2}， 则A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤}． 故答案为：{x|﹣2≤x≤}． 13．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}，则实数a的取值范围是 　（0，+∞）　． 【答案】（0，+∞）． 【分析】利用补集、交集、不等式性质能求出结果． 【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}， ∴∁RA＝{x|x≤0}， ∵B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}， ∴a＞0， 则实数a的取值范围是（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 14．设集合U＝{x∈N|x≤7}，S＝{0，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁UT）＝　{0，2，4}　． 【答案】{0，2，4}． 【分析】先求出集合U，进而求出∁UT，由此能求出S∩（∁UT）． 【解答】解：∵集合U＝{x∈N|x≤7}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}， S＝{0，2，4，5}，T＝{3，5，7}， ∴∁UT＝{0，1，2，4，6}， 则S∩（∁UT）＝{0，2，4}． 故答案为：{0，2，4}． 15．已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合A＝{1，2，3，6}，集合B＝{x∈Z||x|＜5}，则（∁UA）∩B＝　{4}　，A∪B＝　{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，6}　． 【答案】{4}；{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，6}． 【分析】由已知求出集合U，B以及集合A的补集，然后根据交集，并集的定义即可求解． 【解答】解：由已知可得U＝{1，2，3，4，5，6，7}， 集合B＝{x∈Z||x|＜5}＝{x∈Z|﹣5＜x＜5}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}， 所以∁UA＝{4，5，7}， 则∁UA∩B＝{4}，A∪B＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，6}， 故答案为：{4}；{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，6}． 16．已知集合A＝{x|m＜x＜2m+1}，B＝{x|x≤﹣3或x＞5}． （1）当m＝4时，求A∩（∁RB）； （2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{x|4＜x≤5}； （2）（﹣∞，2]． 【分析】（1）当m＝4时，可得集合A＝{x|4＜x＜9}，然后利用交集与补集的运算法则算出A∩（∁RB）； （2）根据子集的定义与性质，建立关于m的不等式组，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）当m＝4时，A＝{x|m＜x＜2m+1}＝{x|4＜x＜9}， 由B＝{x|x≤﹣3或x＞5}，得∁RB＝{x|﹣3＜x≤5}，所以A∩（∁RB）＝{x|4＜x≤5}； （2）因为A＝{x|m＜x＜2m+1}，∁RB＝{x|﹣3＜x≤5}， 所以若A⊆∁RB，则有如下情况： ①A＝∅，此时m≥2m+1，即m≤﹣1；②A≠∅时，m＞﹣1，，解得﹣1＜m≤2． 综上所述，m≤2，实数m的取值范围是（﹣∞，2]． 17．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，B＝{x|2﹣m≤x≤2m+1}． （1）当m＝1时，求A∪B，A∩（∁RB）； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；A∩（∁RB）＝{x|﹣2＜x＜1或3＜x＜5}． （2）{m|m＜2}． 【分析】（1）解不等式求出集合A，求出m＝1时集合B，根据并集和补集、交集的定义，计算即可． （2）讨论B＝∅和B≠∅，分别求出m的取值范围． 【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|（x﹣5）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}， m＝1时，B＝{x|1≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}， 因为∁RB＝{x|x＜1或x＞3}， 所以A∩（∁RB）＝{x|﹣2＜x＜1或3＜x＜5}． （2）①若B＝∅，则2﹣m＞2m+1，即，此时满足B⊆A； ②若B≠∅，则，要使B⊆A，当且仅当， 解得； 综上，m的取值范围是{m|m＜2}． 18．已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}． （1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）∁R（A∪B）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁RA）∩B＝（2，3）∪（7，10） （2）{a|a＜5}． 【分析】（1）确定A＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|2＜x＜10}，再计算补集得到答案； （2）确定A⊆B，考虑A＝∅和A≠∅两种情况，解得答案． 【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|3≤x≤7}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∁RA＝（﹣∞，3）∪（7，+∞）， 所以∁R（A∪B）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁RA）∩B＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A∩B＝A，则A⊆B， 当A＝∅时，3＞a+5，解得a＜﹣2； 当A≠∅时，，解得﹣2≤a＜5； 综上所述：a的取值范围为{a|a＜5}． 19．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}， （1）若m＝1，求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3}． （2）{m|﹣1≤m＜}． 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的并集，补集及交集运算即可求； （2）结合集合的补集及并集运算即可求． 【解答】解：（1）∵m＝1，A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}， 则∁RA＝{x|x≤﹣1或x＞2}， ∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3}． （2）∵B∩（∁RA）中只有一个整数，所以B≠∅， 即2m＜3且﹣2≤2m＜﹣1， 解得﹣1≤m＜， ∴实数m的取值范围是{m|﹣1≤m＜}． 20．设集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜5}． （1）若a＝3，求∁R（A∪B）； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|x≤﹣2或x＞5}； （2）（﹣∞，3）． 【分析】（1）利用集合的基本运算求解； （2）由A∩B＝A可得A⊆B，再分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可． 【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}＝{x|4≤x≤5}， 又∵B＝{x|﹣2＜x＜5}， ∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}， ∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x＞5}； （2）∵A∩B＝A，∴A⊆B， ①当A＝∅时，a+1＞2a﹣1，解得a＜2， ②当A≠∅时，则，解得2≤a＜3， 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，3）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$