第四讲 集合的基本运算一 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第四讲 集合的基本运算一 知识点梳理： 1．并集 （1）定义： 自然语言 集合A与B的并集是由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B（读作“A并B”）． 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 图形语言 （2）运算性质： A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），A⊆B⇔A∪B＝B． 2．交集 （1）定义： 自然语言 集合A与B的交集是由所有属于A且属于B的元素组成的集合，记作A∩B（读作“A并B”）． 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言 （2）运算性质： A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A． 重难点解析： 1．对并集概念的理解 （1）运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次（元素的互异性）． （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”． 2．求集合并集的基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． 3．对交集概念的理解 （1）运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． （2）关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅． 4．求集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 5．集合中求解集合并集、交集的类型与方法 （1）若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果； （2）若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示 例题讲解： 题型1 并集的简单运算 【例1】设集合，，，，则　　 A．，1， B． C．， D． 【例2】已知集合A＝{x|﹣x+1≥0}，B＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1] B． C． D． 【例3】设集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜0}，则A∪B＝（　　） A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜﹣2} D．{x|﹣2＜x＜0} 题型2 并集中的参数问题 【例4】已知集合，2，，，，若，则　　． 【例5】若集合，，，则实数　　． 【例6】已知，，若，则　　． 题型3 交集的简单运算 【例7】设集合A＝{x|2x﹣x2≥0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{x|2≤x＜3} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤2} 【例8】集合，，，8，10，12，，则集合中元素的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【例9】已知集合，，，则　　 A．，3， B．， C．，1， D．，2， 题型4 交集中的参数问题 【例10】已知集合，0，，．若，，则的最小值是　　 A．1 B．0 C． D． 【例11】设集合，1，2，，，若，则 A． B．， C．， D．， 【例12】已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 　 　． 题型5 并集与交集混合运算 【例13】已知集合，5，7，，，，，6，，则　　 A．B．，5，6，C．，6，7，D．，5，6，7， 【例14】设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 【例15】设集合，2，，，1，，，4，，则 A．， B．，0，1， C．，1，5， D．，2， 题型6 并集与交集综合 【例16】全集，若集合，． （1）求；； （2）若集合，，求的取值范围． 【例17】已知集合A＝{x|a＜x＜a2+1}，集合B＝{x|1＜x＜5}． （1）当a＝3 时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【例18】设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}． （1）若a＝4，求A∩B； （2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 【例19】已知集合A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，集合B＝{x|x2﹣a＜0，a∈R}． （1）若a＝4，求A∩B和A∪B． （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解题梳理： 1．对并集、交集概念的理解 （1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合． （2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝． 2．集合的交、并运算中的注意事项 （1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． （2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 3．利用集合交集、并集的性质解题的方法 （1）在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． （2）当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． 变式练习： 1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，3，6} D．{1，4，6} 2．设全集U＝{x∈N|x≤7}，M＝{3，7}，∁UN＝{0，1，2，3，6}，则M∪N＝（　　） A．∅ B．{7} C．{3，4，5，7} D．U 3．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（　　） A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞） 4．已知集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2] D．（0，2] 5．集合A＝{x|x≤﹣2或x≥1}，B＝{x|x≤m}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1） 6．已知A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＞3} D．{x|1＜x＜3} 7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　） A．（0，2） B．（1，3） C．（2，4） D．（1，2） 8．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|x2≤4x，x∈N}，则A∩B＝（　　） A．[0，2] B．（0，2] C．{0，1，2} D．{1，2} 9．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∩M＝M，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{3，4，5}，则A∪（B∩C）＝（　　） A．{3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4，5} 11．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　 　． 12．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为 　 　． 13．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为 　 　． 14．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，若A∪B＝A，则a＝　 　． 15．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 　 　． 16．设集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}； （1）当a＝4时，求A∩B，A∪B． （2）若B⊆A，求a的取值范围． 17．已知集合A＝{x|2≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x≤4}． （1）求A∪B； （2）若集合C＝{x|a＜x＜a+1}，A∩C＝C，求实数a的取值范围． 18．已知集合A＝{x|a＜x＜a2+1}，集合B＝{x|1＜x＜5}． （1）当a＝3 时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 19．已知集合A＝{x||x﹣3|＜1}，B＝{x|2a+1≤x＜a+3}． （1）当a＝0时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求a的取值范围． 20．全集U＝R，若集合A＝{x|2＜x﹣1＜7}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣6）＜0}． （1）求A∩B；A∪B； （2）若集合C＝{x|x＞a}，A∪C＝C，求a的取值范围． 答案与解析 题型1 并集的简单运算 【例1】设集合，，，，则　　 A．，1， B． C．， D． 【答案】 【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想 【分析】利用并集定义直接求解． 【解答】解：集合，，，， 由题意，1，． 故选：． 【例2】已知集合A＝{x|﹣x+1≥0}，B＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1] B． C． D． 【分析】先求出集合A，B，再利用集合的并集运算即可求出结果． 【解答】解：集合A＝{x|﹣x+1≥0}＝{x|x≤1}，B＝{x|2x2﹣x﹣1≤0}＝{x|}， 则A∪B＝{x|x≤1}， 故选：A． 【例3】设集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜0}，则A∪B＝（　　） A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜﹣2} D．{x|﹣2＜x＜0} 【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：因为A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜0}， 所以A∪B＝{x|﹣3＜x＜2}． 故选：A． 题型2 并集中的参数问题 【例4】已知集合，2，，，，若，则　　． 【答案】2． 【专题】集合；转化思想；数学运算；综合法 【分析】根据集合的并集运算求解即可． 【解答】解：因为集合，2，，，，且， 而中互为平方关系的只有2和4， 所以，解得． 故答案为：2． 【例5】若集合，，，则实数　　． 【答案】2． 【专题】整体思想；数学抽象；集合；综合法 【分析】由已知结合集合的并集运算即可求解． 【解答】解：因为集合，，， 所以． 故答案为：2． 【例6】已知，，若，则　　． 【专题】计算题；分类讨论 【分析】求出集合，利用，推出是的子集，是空集，，，，时分别求出的值即可． 【解答】解：，， 又，则 若中方程仅有一解则有，即，解之：符合题意 若中方程有两解，则有，，即：，解之： 综上可知：的值为或． 故答案为：或 题型3 交集的简单运算 【例7】设集合A＝{x|2x﹣x2≥0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{x|2≤x＜3} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤2} 【分析】可先求出A＝{x|0≤x≤2}，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}； ∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：B． 【例8】集合，，，8，10，12，，则集合中元素的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【专题】数学运算；集合；集合思想；定义法 【分析】根据交集的定义即可得解． 【解答】解：因为，，，8，10，12，， 所以，，有2个元素． 故选：． 【例9】已知集合，，，则　　 A．，3， B．， C．，1， D．，2， 【答案】 【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想 【分析】求出集合，，利用交集定义能求出． 【解答】解：集合， ，，，2，， 则，． 故选：． 题型4 交集中的参数问题 【例10】已知集合，0，，．若，，则的最小值是　　 A．1 B．0 C． D． 【答案】 【专题】综合法；集合；数学运算；转化思想 【分析】根据交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合，0，，，且，， 即中有0和1，无， 故的最小值是． 故选：． 【例11】设集合，1，2，，，若，则　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【专题】转化法；集合；数学运算；转化思想 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，1，2，，，， 则，解得， 解，解得或1， 故，． 故选：． 【例12】已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）　． 【分析】当B＝∅时，2a﹣1＞a+1，当B≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，A∩B＝∅， 当B＝∅时，2a﹣1＞a+1，解得a＞2， 当B≠∅时，或， 解得a≤﹣3或1＜a≤2． 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）． 题型5 并集与交集混合运算 【例13】已知集合，5，7，，，，，6，，则　　 A． B．，5，6， C．，6，7， D．，5，6，7， 【答案】 【专题】集合思想；集合；定义法；数学运算 【分析】本题先计算出集合，再利用交集、并集运算规则即可得出结果． 【解答】解：由题得，7，11，， 所以，， 又，6，， 所以，5，6，7，． 故选：． 【例14】设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 【分析】利用并集定义求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． 【解答】解：集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}， ∴A∪B＝{1，2，4，6}， 则（A∪B）∩C＝{1，2，4}． 故选：B． 【例15】设集合，2，，，1，，，4，，则　　 A．， B．，0，1， C．，1，5， D．，2， 【答案】 【专题】集合；综合法；转化思想；数学运算 【分析】由已知结合集合的交集及补集运算即可求解． 【解答】解：集合，2，，，1，，，4，， ， 则，1，5，． 故选：． 题型6 并集与交集综合 【例16】全集，若集合，． （1）求；； （2）若集合，，求的取值范围． 【答案】（1），； （2），． 【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算 【分析】（1）先求出集合，，再结合并集、交集的定义，即可求解； （2）由题意推得，再结合，即可求解． 【解答】解：（1）集合， ， 则，． （2）， 则， 集合， 故， 故的取值范围，． 【例17】已知集合A＝{x|a＜x＜a2+1}，集合B＝{x|1＜x＜5}． （1）当a＝3 时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【分析】（1）当a＝3时，算出集合A，再根据并集的运算法则求出A∪B； （2）根据题意，可得集合A是集合B的子集，从而列式算出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|1＜x＜10}； （2）若A∩B＝A，则A⊆B， 因为，所以A≠∅， 由A⊆B，可得，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]． 【例18】设集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x2+x﹣6＜0}． （1）若a＝4，求A∩B； （2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 【分析】（1）解不等式求出集合B，再根据交集的定义求A∩B； （2）由A∪B＝B，得到A⊂B，再根据集合间的包含关系列不等式即可． 【解答】解：（1）∵B＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}， a＝4时，A＝{x|﹣1＜x＜4}， ∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}； （2）∵A∪B＝B，∴A⊆B， 当A＝∅时，a≤﹣1； 当A≠∅时，，即﹣1＜a≤2， 综上所述，{a|a≤2}． 【例19】已知集合A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，集合B＝{x|x2﹣a＜0，a∈R}． （1）若a＝4，求A∩B和A∪B． （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【分析】（1）化简集合A，B，即可求A∩B和A∪B． （2）若A∩B＝∅，分类讨论，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）∵A＝{x|2x2﹣7x+3≥0}＝{x|（2x﹣1）（x﹣3）≥0}＝{x|x≥3，或x≤}， 当a＝4时，B＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x＜2}， ∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤}，A∪B＝{x|x＜2，或 x≥3}． （2）当a≤0时，B＝∅，满足A∩B＝∅； 当a＞0时，B＝{x|x2﹣a＜0}＝{x|﹣＜x＜ }， 由A∩B＝∅，可得≤，解得 a≤． 综上可得，a≤，即实数a的取值范围为（﹣∞，]． 变式练习： 1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝（　　） A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，3，6} D．{1，4，6} 【答案】D 【分析】结合交集、并集的定义，即可求解． 【解答】解：A＝{1，2，4}，B＝{1，3，4}，C＝{1，4，6}， 则A∩B＝{1，4}， （A∩B）∪C， 则C＝{1，4，6}． 故选：D． 2．设全集U＝{x∈N|x≤7}，M＝{3，7}，∁UN＝{0，1，2，3，6}，则M∪N＝（　　） A．∅ B．{7} C．{3，4，5，7} D．U 【答案】C 【分析】利用集合的基本运算求解． 【解答】解：由题意可知，全集U＝{x∈N|x≤7}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}， ∵∁UN＝{0，1，2，3，6}，∴N＝{4，5，7}， 又∵M＝{3，7}， ∴M∪N＝{3，4，5，7}． 故选：C． 3．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（　　） A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞） 【答案】D 【分析】先求得集合M，N，再求其并集即可． 【解答】解：由x﹣4≥0，得x≥4，故M＝[4，+∞）， 由y＝3x2+1，得y≥1，故N＝[1，+∞）， 故M∪N＝[1，+∞）． 故选：D． 4．已知集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2] D．（0，2] 【答案】C 【分析】求出集合A，利用并集定义、不等式性质能求出结果． 【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}＝{x|0⩽x⩽2}，集合B＝{x|x＜1}， ∴A∪B＝（﹣∞，2]． 故选：C． 5．集合A＝{x|x≤﹣2或x≥1}，B＝{x|x≤m}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1） 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算性质进行求解即可． 【解答】解：因为A∪B＝R， 所以有m≥1， 即实数m的取值范围是[1，+∞）． 故选：B． 6．已知A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＞3} D．{x|1＜x＜3} 【答案】B 【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案． 【解答】解：由题意解|x﹣1|＜2，可得﹣1＜x＜3， 所以A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}， 则A∪B＝{x|x＞﹣1}， 故选：B． 7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　） A．（0，2） B．（1，3） C．（2，4） D．（1，2） 【答案】D 【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B． 【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜4}， B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}， 则A∩B＝{x|1＜x＜2}． 故选：D． 8．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|x2≤4x，x∈N}，则A∩B＝（　　） A．[0，2] B．（0，2] C．{0，1，2} D．{1，2} 【答案】C 【分析】先求出集合B，再利用集合的基本运算求解． 【解答】解：B＝{x|x2≤4x，x∈N}＝{x|0≤x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}， 又因为集合A＝{x|﹣1＜x≤2}， 所以A∩B＝{0，1，2}． 故选：C． 9．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∩M＝M，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【答案】B 【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解． 【解答】解：集合P＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，M＝{a}，P∩M＝M， ∴M⊆P，∴﹣1≤a≤1， 则实数a的取值范围是[﹣1，1]． 故选：B． 10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{3，4，5}，则A∪（B∩C）＝（　　） A．{3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4，5} 【答案】B 【分析】直接利用集合的运算求出结果． 【解答】解：由于集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{3，4，5}， 故B∩C＝{3，4}，故A∪（B∩C）＝{1，2，3，4}． 故选：B． 11．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}， 因为A∩B≠∅， 所以a≥1 故答案为：[1，+∞） 12．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为 　﹣3　． 【答案】﹣3． 【分析】先求出集合B，然后结合集合并集运算即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{﹣2，0}， 则A∪B＝{﹣1，0，﹣2}的所有元素之和为﹣1+0﹣2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为 　（2，+∞）　． 【答案】（2，+∞）． 【分析】求出集合A，然后根据A∪B＝R即可得出a的取值范围． 【解答】解：∵A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，且A∪B＝R， ∴a＞2， ∴实数a的取值范围为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）． 14．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，若A∪B＝A，则a＝　2　． 【答案】2． 【分析】根据集合的并集运算求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，且A∪B＝A， 而A中互为平方关系的只有2和4， 所以，解得a＝2． 故答案为：2． 15．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）　． 【答案】（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）． 【分析】当B＝∅时，2a﹣1＞a+1，当B≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，集合B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}，A∩B＝∅， 当B＝∅时，2a﹣1＞a+1，解得a＞2， 当B≠∅时，或， 解得a≤﹣3或1＜a≤2． 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）． 16．设集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}； （1）当a＝4时，求A∩B，A∪B． （2）若B⊆A，求a的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|5≤x＜6}，A∪B＝{x|﹣1＜x≤11}； （2）{a|}． 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分B＝∅和B≠∅两种情况，得到不等式，求出答案． 【解答】解：（1）当a＝4时，B＝{x|5≤x≤11}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜6}∩{x|5≤x≤11}＝{x|5≤x＜6}； A∪B＝{x|﹣1＜x＜6}∪{x|5≤x≤11}＝{x|﹣1＜x≤11}． （2）因为B⊆A， 当B＝∅时，a+1＞3a﹣1，解得a＜1， 当B≠∅时，，解得， 综上，a的取值范围是{a|}． 17．已知集合A＝{x|2≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x≤4}． （1）求A∪B； （2）若集合C＝{x|a＜x＜a+1}，A∩C＝C，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|1＜x≤6}； （2）{a|2≤a≤5}． 【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解； （2）先根据题意得到C⊆A，再分析得C≠∅，从而利用集合的包含关系即可得解． 【解答】解：（1）因为A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x≤4}， 所以A∪B＝{x|1＜x≤6}； （2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，又C＝{x|a＜x＜a+1}， 因为a＜a+1，恒成立，故C≠∅， 则，解得2≤a≤5， 所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤5}． 18．已知集合A＝{x|a＜x＜a2+1}，集合B＝{x|1＜x＜5}． （1）当a＝3 时，求A∪B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|1＜x＜10}； （2）[1，2]． 【分析】（1）当a＝3时，算出集合A，再根据并集的运算法则求出A∪B； （2）根据题意，可得集合A是集合B的子集，从而列式算出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|1＜x＜10}； （2）若A∩B＝A，则A⊆B， 因为，所以A≠∅， 由A⊆B，可得，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]． 19．已知集合A＝{x||x﹣3|＜1}，B＝{x|2a+1≤x＜a+3}． （1）当a＝0时，求A∪B； （2）若A∩B＝B，求a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|1≤x＜4}； （2）a的取值范围是（]∪[2，+∞）． 【分析】（1）求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B； （2）由A∩B＝B，得B⊆A，当B＝∅时，2a+1≥a+3，当B≠∅时，，由此能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）集合A＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|2a+1≤x＜a+3}． 当a＝0时，B＝{x|1≤x＜3}， ∴A∪B＝{x|1≤x＜4}； （2）∵A∩B＝B，∴B⊆A， 当B＝∅时，2a+1≥a+3，解得a≥2，成立， 当B≠∅时，，解得， 综上，a的取值范围是（]∪[2，+∞）． 20．全集U＝R，若集合A＝{x|2＜x﹣1＜7}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣6）＜0}． （1）求A∩B；A∪B； （2）若集合C＝{x|x＞a}，A∪C＝C，求a的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|3＜x＜6}，A∪B＝{x|2＜x＜8}； （2）（﹣∞，3]． 【分析】（1）先求出集合A，B，再结合并集、交集的定义，即可求解； （2）由题意推得A⊆C，再结合C＝{x|x＞a}，即可求解． 【解答】解：（1）集合A＝{x|2＜x﹣1＜7}＝{x|3＜x＜8}， B＝{x|（x﹣2）（x﹣6）＜0}＝{x|2＜x＜6}， 则A∩B＝{x|3＜x＜6}，A∪B＝{x|2＜x＜8}． （2）A∪C＝C， 则A⊆C， 集合C＝{x|x＞a}， 故a≤3， 故a的取值范围（﹣∞，3]． 1 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