第23章 旋转 中档题拓展训练课件6个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 中档题拓展训练★★ 【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．生活中的旋转现象 二．旋转的性质 三．中心对称 四．中心对称图形 五．坐标与图形变化 六．作图−旋转变换 2 一．生活中的旋转现象 3 1.下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有( ____ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； B 4 ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 5 二．旋转的性质 6 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=25°，以C为旋转中心逆时针旋转后得到△DEC，且点B在边ED上，则旋转角的度数为( ____ ) A.65° B.60° C.50° D.40° 【解析】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=25°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=65°， 由旋转得：∠ABC=∠E=65°，CE=CB， C 7 ∴∠E=∠CBE=65°， ∴∠ECB=180°-∠E-∠CBE=50°， ∴旋转角的度数为50°， 故选：C． 8 3.如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D落在AC边上，且B，D，E三点共线，则下列结论错误的是( ____ ) A.BD=DE B.BC=CE C.∠BAE+∠BCE=180° D.∠BAC=∠CEB 【解析】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠ACB=∠AEB， ∴点A、E、C、B四点， A 9 ∴∠BAE+∠BCE=180°，所以C选项不符合题意； ∠BAC=∠CEB，所以D选项不符合题意， ∵△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，AC=AE， ∴BC=EC，所以B选项不符合题意， ∵AD平分∠BAE， ∴只有AB=AE时，即AB=AC，BD=DE，所以A选项符合题意． 故选：A． 10 4.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD靠近点A的四等分点．F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG．连接DG，则DG的最小值为( ____ ) A. B. C. D.3 【解析】解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是正方形， C 11 ∴∠A=90°， ∵GM⊥AB，GN⊥AD， ∴∠FMG=∠DNG=90°， ∴四边形AMGN是矩形， ∴MG=AN，AM=NG，∠A=∠FMG， ∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG， ∴EF=FG，∠EFG=90°， ∴∠EFA+∠GFM=90°， ∵∠GFM+FGM=90°， ∴∠EFA=∠FGM， 在△AEF和△MFC中， 12 ， ∴△AEF≌△MFG(AAS)， ∴AE=MF，AF=MG， ∵AE=1， ∴MF=1， 设AF=x(0≤x≤4)， 则MG=x,AM=x+1，AN=MG=x, ∴NG=x+1， ∵AB=4， 13 ∴DN=4-x, ∴DG= = = ， ∴当x= 时，DG取最小值，其最小值为 = ， 故选：C． 14 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，边DC绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段BC上，则下列判断正确的是( ____ ) A.∠ABD=∠BDE B.∠ABD=∠DBE C.∠ADE=∠ABE D.∠ADE=∠DCB 【解析】解：A、如果∠ABD=∠BDE，那么AB∥DE，而AB不一定平行DE，故选项错误； B、如果∠ABD=∠DBE，那么BD平分∠ABE，而BD不一定平分∠ABE， D 15 故选项错误； C、如果∠ADE=∠ABE，而AD∥BC，所以∠ADE=∠DEC，所以∠ABE=∠DEC，所以DE∥AB，而DE不一定平行AB，故选项错误； D、∵边DC绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段BC上， ∴DE=DC， ∴∠DEC=∠DCB， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠DEC， ∴∠ADE=∠DCB，故选项正确． 故选：D． 16 6.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE．下列角中，是旋转角的是( ____ ) A.∠ABD B.∠DBC C.∠ABC D.∠ABE 【解析】解：因为△DBE由△ABC绕点B顺时针旋转得到， 所以点A和点D，点C和点E是旋转前后的对应点， 所以∠ABD和∠CBE都是旋转角， 只有A选项符合题意． A 17 7.如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是( ____ ) A.AB=AE B.∠BFD=∠BAD C.∠BAF=∠CAE D.EF+CF=DE 【解析】解：由旋转可知， AB=AD，AC=AE， 显然AB与AC不一定相等． B 18 故A选项不符合题意． ___ 由旋转可知， ∠A=∠B， 又因为∠AOD=∠DOF， 所以∠BAD=∠BFD． 故B选项符合题意． 由旋转可知， 19 ∠BAD=∠CAE， 显然∠BAF≠∠BAD． 故C选项不符合题意． 由旋转可知， DE=BC， 因为BC=BF+CF， 所以BF+FC=DE， 显然BF与EF不一定相等． 故D选项不符合题意． 故选：B． 20 8.在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，点D为边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．若直角边AB的长为2，则线段BE长度的最小值为( ____ ) A.2 B. C. D.1 【解析】解：如图，在AB上取一点K， D 21 使得AK=AB，连接BK，DK． ∵∠ACB=90°，∠C=30°， ∴∠BAK=60°， ∴△ABK为等边三角形， ∴AK=AB， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴∠EAD=∠BAK=60°，AE=AD， ∴∠EAB=∠DAK， ∴△EAB≌△DAK(SAS)， ∴EB=DK， ∴线段BE长度的最小时，KD的长度也最小， 22 而KD⊥BC时，KD的值最小， ∵AB的长为2， ∴AC=4，AK=2， ∴CK=2， ∴DK的最小值为1， ∴EB的最小值为1． 故选：D． 23 9.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△EDC．若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC=110°，则∠DCE的度数为( ____ ) A.15° B.20° C.25° D.30° 【解析】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∠ABC=110°， ∴AC=EC，∠ACE=90°，∠ABC=∠EDC=110°， ∴∠E=∠CAE=45°， C 24 ∴∠DCE=180°-∠E-∠EDC=180°-45°-110°=25°， 故选：C． 25 10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转38°得到△ADE，AD与BC相交于点F，若∠E=80°且△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形，则∠BAC的度数为( ____ ) A.58° B.60° C.68° D.80° 【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转38°得到△ADE， ∴∠E=∠C=80°，∠BAD=38°， 又∵△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形， A 26 ∴AC=AF， ∴∠C=∠AFC=80°， ∴∠CAF=180°-∠C-∠AFC=180°-80°-80°=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAF=38°+20°=58°． 故选：A． 27 11.如图，在△ABC中，∠A=40°，把△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是( ____ ) A.∠E=80° B.BD=AB+AC C.AB∥CE D.直线AB与直线DE互相垂直 【解析】解：由△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上， C 28 得∠B=∠ECD，∠E=∠B=∠ACD-∠A=110°-40°=70°，BD=BC+CD=BC+AC， 得AB∥CE正确，∠E=80°不正确，BD=AB+AC不正确，直线AB与直线DE互相垂直不正确． 故选：C． 29 12.如图，将线段AB绕点A旋转，下列各点能够落到线段AB上的是( ____ ) A.点C B.点D C.点E D.点F 【解析】解：将线段AB绕点A旋转， ∵AC＜AB， ∴线段AB经过点C， ∴能够落到线段AB上的是点C， A 30 13.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△AB'C'，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的大小为( ____ ) A.95° B.98° C.100° D.102° 【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°， ∴∠BAB'=80°，AB=AB'，∠B=∠AB'C'， ∴∠B=∠AB'B=50°=∠AB'C'，∴∠BB'C'=100°， 故选：C． C 31 14.如图，等边三角形ABC中，点P为直线BC上一个动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，点P的对应点为点Q，点M为线段AB上一个动点，若AB=2，则MQ的最小值为 　　． 【解析】解：连接CQ， ___ 由旋转可知， AP=AQ，∠PAQ=60°， 32 又∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠PAB+∠BAQ=∠BAQ+∠QAC， ∴∠PAB=∠QAC． 在△PAB和△QAC中， ， ∴△PAB≌△QAC(SAS)， ∴∠ACQ=∠ABP=120°， ∴∠BCQ=60°， 33 即点Q在经过点C且与CB夹角为60°的直线上运动， ∴∠ABC=∠BCQ， ∴CQ∥AB． 过点C作AB的垂线，垂足为N， ∴BN= ． 在Rt△BCN中， CN= ． 即CQ与AB之间的距离是 ， ∴MQ的最小值为 ． 34 15.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是BC边上一点，且BE=3，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF，则BF的为 　　． 【解析】解：如图1，过点F作射线CB的垂线交CB于点P， ∵DE绕点E逆时针旋转90°得到EF， ∴DE=EF、∠FED=90°， ∴∠FEP+∠DEC=90°， ∵∠PFE+∠PEF=180°-90°=90°， ∴∠DEC=∠PFE， 35 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C=90°=∠FPE， ∴Rt△FPE≌Rt△ECD(AAS)， 又AB=4，BE=3， ∴CE=1， ∴PF=CE=1、PE=CD=AB=4， ∴PB=PE-BE=PE-BE=4-3=1， ∴BF= = ． 故答案为： ． 36 16.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，∠B=60°，点E在线段BC上运动(含B、C两点)．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　　． 【解析】解：在BC上取点P，使BP=AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，如图： ____ 37 ∵AB=BP，∠B=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB=AP，∠BAP=60°， ∵线段AE逆时针旋转60°得到AF， ∴∠EAF=60°，AE=AF， ∴∠BAE=∠PAF， 在△BAE和△PAF中， ， ∴△BAE≌△PAF(SAS)， 38 ∴∠ABE=∠APF=60°， ∴∠BPM=∠APB+∠APF=120°， ∵AM∥BP， ∴∠AMP=180°-120°=60°， ∴△APM是等边三角形， ∴AM=AP， ∵AB=AP=6， ∴AM=6， ∴点F在射线PM上运动， ∵BC=10， ∴DM=AD-AM=BC-AM=4， 39 ∵DH⊥PM，∠DMH=∠AMP=60°， ∴DH=DM•sin60°=4× =2， 根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为2 ， 故答案为：2 ． 40 17.在正方形ABCD中，AB=8，O为BC上一点，且5BO=3CO，将线段OB绕点O逆时针旋转(旋转角小于180°)，得到线段OM，连接CM并延长，交边AB于点P，则点D到CP的最小距离为 　　． 【解析】解：∵正方形中AB=BC=8，5BO=3CO， ∴BO=3，CO=5， 如图，过点D作DH⊥PC于点H， 41 ___ ∵ ， ∴ ， ∴CP×DH=64， 42 ∴当CP最大时，DH最小， ∵OM=OB=3， ∴点M在以O为圆心，3为半径的圆上，如图， ____ 当CP与⊙O相切时，BP最大， 43 由 得此时CP最大， 由相切得O M⊥C M， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得：CP=10， 所以此时 ， 故答案为： ． 44 18.如图，在Rt△ABC中．∠ACB=90°，AC=BC=3 ，将△ABC绕点B顺时针转60°，得到△BDE，连接CE，则CE的长为 　　. 【解析】解：连接AE，设CE与AB交于点F． ___ 由旋转得，AB=EB，∠ABE=60°， ∴△ABE为等边三角形， 45 ∴AE=BE． ∵AC=BC，CE=CE， ∴△ACE≌△BCE(SSS)， ∴∠AEC=∠BEC， 即EF为等边三角形ABE的角平分线， ∴EF⊥AB，点F为AB的中点． 在Rt△ABC中，AC=BC=3 ， ∴AB= BC=6， ∴CF= =3，BE=AB=6， 46 ∴EF=BE•sin60°=6× = ， ∴CE=CF+EF=3+ ． 故答案为：3+ ． 47 19.如图，在方格纸中每个小方格的边长为1，将格点Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′OB′，点A、B的对应点分别是A′、B′，则A、A′之间的距离为 　　．(结果保留根号) 【解析】解：连接AA′，Rt△A′OB′如图所示： ___ 48 ∵将格点Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′OB′， ∴∠AOA′=90°，OA'=OA=2， 依题意，得A'A= =2 ， 故答案为： ． 49 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠B=30°，P是AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q(点Q与点P不重合)，连接BQ，当△BCQ是直角三角形时，BQ的长为 　　． 【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，∠B=30°， ∴AC= AB=2， ∴BC= = =2 ， ∵P是AC的中点， ∴CP= AC=1， 50 ∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q(点Q与点P不重合)，如图， ___ ∴CQ=CP=1， 当∠BQC=90°时，CQ=CP=1， 则BQ= = = ； 当∠BCQ=90°时， 51 则BQ= = = ； 故答案为： 或 ． 52 21.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕直角边AC中点G旋转得到△DEF，若△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上，则CH=　　． 【解析】解：如图，连接CD， ___ ∵AC=4，BC=3， 53 由勾股定理得， ， ∵点G为AC的中点， ∴AG=CG， ∵△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上， ∴AG=DG， ∴∠A=∠ADG，∠GCD=∠GDC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 54 ∴ ， ∵∠AHD=∠DHG，∠HDG=∠HAD， ∴△HDG∽△HAD， ∴ ， 设GH=5x,则DH=5x, ∴ ， 解得 ， 55 经检验， 是方程的解， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 56 22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，若BC=m,将△ABC绕点B顺时针旋转α度(0＜α＜180)，使得点C的对应点C1恰好落在AB边上，点A对应点为A1，则α=　　A1C=　　(用含m的代数表示)． 【解析】解：由∠ACB=90°，∠A=30°，BC=m, 得α=∠ABC=60°，A1C=AC= BC= m. 故答案为：60°， m. 57 23.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=30°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 ____ ． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AD∥BC， ∴∠OAF=∠ECO， ∵∠AOF=∠EOC， ∴△AOF≌△EOC， ∴AE=EC， 12 58 ∴四边形ABFE周长为AF+AB+BE+EF=EC+AB+BE+EF=AB+BC+EF=10+EF， ∴当EF取最小值时，四边形ABFE周长的最小，即EF⊥BC， 如图：过A点作AG⊥BC，即AG的长为EF的最小值， _______ ∵∠ABC=30°， ∴ ，即EF的最小值为2， ∴四边形ABFE周长的最小值为10+2=12． 故答案为：12． 59 24.如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°＜α＜55°)得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于 _____ ． 【解析】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD， ∵α=40°， ∴∠BAD=40°， ∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°， ∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°， 故答案为：85°． 85° 60 25.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)．若∠AA′B′=30°，则∠BAC的度数为 _____ ． 【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90°， ∴△ACA′是等腰直角三角形， ∴∠CA′A=45°， ∵∠AA′B′=30°， ∴∠CA′B′=15°， 15° 61 ∴∠BAC=15°． 故答案为：15°． 62 26.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ，连接EQ．求证：EQ=EF． 【解析】证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠QAE=45°， ∴∠QAE=∠FAE， 在△AQE和△AFE中 63 ， ∴△AQE≌△AFE(SAS)． ∴EF=EQ． 64 27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转n(0＜n＜90)度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． (1)求n的值； (2)若AC=6，求DF的长． 【解析】解：(1)∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转n度后得到△EDC， ∴AC=CD， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=90°-∠B=60°， ∴△DAC是等边三角形， 65 ∴n=∠DCA=60°， (2)∵∠DCA=60°， ∴∠DCB=90°-∠DCB=90°-60°=30°， ∵AC=6， ∴DC=6， ∵∠FDC=∠B=60°， ∴∠DFC=90°， ∴DF= DC=3． 66 28.阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ______ ； (2)基本运用 150° 67 ________ 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2； (3)能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， 68 求OA+OB+OC的值． 【解析】解：(1)∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′=60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′=AP=3，∠A P′P=60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C=90°， ∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°； 故答案为：150°； (2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′ 69 ， 由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF(SAS)， 70 ∴E′F=EF， ∵∠CAB=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠E′CF=45°+45°=90°， 由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2， 即EF2=BE2+FC2． (3)如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， 71 ___ ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°， ∴AB=2， ∴BC= ， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， 72 ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°， ∴AB=2AC=2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°， ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， ∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BOO′=120°+60°=180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 73 在Rt△A′BC中，A′C= ， ∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ． 74 29.(1)计算：2tan45°-sin260°； (2)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=28°，将△ABC绕点A逆时针旋转α(0＜α＜180)度得到△ADE．若DE∥AB，求α的值． 【解析】解：(1)2tan45°-sin260° = = = ； 75 (2)由旋转的性质得：∠E=∠C=28°， ∵DE∥AB， ∴∠BAE=∠E=28°， ∵∠BAC=50°， ∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=78°，即旋转角为78°， ∴α=78°， 76 三．中心对称 77 30.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．将△ABC绕边BC的中点O顺时针旋转180°得到△DCB，EF经过点O，分别交AC，BD于点E，F，连接BE，CF．下列说法错误的是( ____ ) A.四边形BECF为平行四边形 B.四边形BECF不可能为正方形 C.当CE=3.5时，四边形BECF为矩形 D.当CE=2.5时，四边形BECF为菱形 【解析】解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4． ∴ ， C 78 ∵将△ABC绕边BC的中点O顺时针旋转180°得到△DCB， ∴AB=CD，BD=AC， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∵EF经过点O， ∴EO=FO， 又∵OC=CO， ∴四边形BECF为平行四边形，故A正确，不合题意； ∵ ， ∴∠BCE≠45°， ∴四边形BECF不可能为正方形，故B正确，不合题意； 79 若四边形BECF为矩形， 则 ， ∴当CE=3.5时，则四边形BECF不是矩形，故C错误，符合题意； 当CE=2.5时，则AE=EC，BE为Rt△ABC斜边上的中线， 则BE=EC， ∴平行四边形BECF为菱形，故D正确，不合题意， 故选：C． 80 四．中心对称图形 81 31.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ____ ) A.___ B.___ C.___ D.___ A 82 【解析】解：A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 83 32.下列四个图案中，是中心对称图形的是( ____ ) A.___ B.___ C.___ D.___ 【解析】解：选项B、C、D的图案均不能找到一个点， A 84 使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项A的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 85 五．坐标与图形变化 86 33.如图，点A的坐标是(-4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( ____ ) A.(4，6) B.(6，4) C.(-6，-4) D.(-4，-6) 【解析】解：如图所示， B 87 ____ 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°， ∴∠A=∠BON． 在△AOM和△OBN中， 88 ， ∴△AOM≌△OBN(AAS)， ∴BN=MO，ON=AM． ∵点A的坐标为(-4，6)， ∴BN=MO=4，ON=AM=6， ∴点B的坐标为(6，4)． 故选：B． 89 34.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，顶点A(0，2)在y轴上，点C在x轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点D对应点的坐标为( ____ ) A.(1，2- ) B.(2- ，-1) C.(-1， -2) D.(-2+ ，1) A 90 【解析】解：由题知， △ABD是等边三角形． 过点D作AB的垂线，垂足为M， ___ ∵点A坐标为(0，2)， ∴OA=2， 则正方形ABCO的边长为2． 91 ∴AD=2，AM=1． 在Rt△AMD中， DM= ， ∴点D的坐标为(1，2- )． 因为360°÷90°=4， 所以每旋转四次点D的对应点循环出现． 因为2024÷4=506， 所以第2024次旋转结束时，点D的对应点位置与点D重合， 所以第2024次旋转结束时，点D的对应点坐标为(1，2- )． 故选：A． 92 35.如图，已知A(3，3)，B(1，2)，C(4，0)，将△ABC先向左平移5个单位，再绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C'，则点A的对应点A′的坐标是( ____ ) A.(-2，3) B.(-2，-3) C.(2，-3) D.(-3，2) 【解析】解：∵A(3，3)， ∴将△ABC先向左平移5个单位后A点坐标为(-2，3)， C 93 ∴点A关于原点对称的点A'(2，-3)， 故选：C． 94 36.将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第24秒时，点A的对应点A′的坐标为( ____ ) A.(0，4) B. C. D.(0，-4) 【解析】解：因为360°÷60°=6， 所以每旋转六次，点A的对应点循环出现． C 95 又因为24÷6=4， 所以第24秒，点A的对应点与点A重合． 过点A作x轴的垂线，垂足为M， ___ 在Rt△OAM中， sin∠AOM= ， 所以AM= ， 96 同理可得，OM= ， 所以点A的坐标为( )， 即第24秒时，点A的对应点A′的坐标为( )． 故选：C． 97 37.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a＞0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换．如：点A(2，0)按照ρ(1，90°)变换后得到点A'的坐标为(-1，2)，则点B( ，-1)按照ρ(2，105°)变换后得到点B'的坐标为 　　． 【解析】解：由题知， 将点B( )向上平移2个单位所得点M的坐标为( )． 如图所示， 98 ___ 过点M作x轴的垂线，垂足为F， 则OF= ，MF=1． 在Rt△MOF中， tan∠MOF= ，OM= ， 99 所以∠MOF=30°． 由旋转可知， B′O=MO=2，∠MON=105°， 所以∠B′OF=135°． 过点B′作y轴的垂线，垂足为E， 则∠B′OE=135°-90°=45°， 所以△B′OE是等腰直角三角形． 又因为B′O=2， 所以B′E=OE= ， 所以点B′的坐标为( )． 100 38.如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴，y轴上， ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ___________ ． 【解析】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC， ___ ∵OA=OB=2， (-6，-4) 101 ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBE=45°， ∵BC=AD=4 ， ∴CE=BE=4， ∴OE=OB+BE=6， ∴C(-4，6)， ∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为(6，4)； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为(4，-6)； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为(-6，-4)； 102 则第4次旋转结束时，点C的坐标为(-4，6)； ……， 发现规律：旋转4次一个循环， ∴2023÷4=505……3， 则第2023次旋转结束时，点C的坐标为(-6，-4)． 故答案为：(-6，-4)． 103 39.在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(4，0)，点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B．若△A′PB是直角三角形，点P的横坐标为 　　． 【解析】解：∵A(0，2)，B(4，0)， ∴OA=2，OB=4， 设点P(m,0)， 当∠BPA′=90°时，点B在直线AP上(且不与点P重合)， ∴点P不能为直角顶点， ①如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PBA′=90°时， 104 ___ 由旋转可知，PA=PA′，∠APA′=90°， ∴∠APO+∠BPA′=90°，∠OAP+∠APO=90°， ∴∠OAP=∠BPA′， ∴△OAP≌△BPA′(AAS)， ∴PB=OA=2，A′B=OP=m, ∴OP=OB-PB=4-2=2， 105 ∴m=2，即点P的横坐标为2； ②如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PA′B=90°时， 过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP=m(m＞0)， ___ 由旋转可知，PA=PA′，∠APA′=90°， ∴∠APO+∠DPA′=90°，∠OAP+∠APO=90°， ∴∠OAP=∠DPA′， 106 ∴△OAP≌△DPA′(AAS)， ∴PD=OA=2，A′D=OP=m, ∴BD=OB-PD-OP=4-2-m=2-m, ∵∠PA′B=∠A′DB=∠A′DP=90°， ∴∠A′PB+∠B=90°，∠A′PB+∠PA′D=90°，∠DA′B+∠B=90°， ∴∠B=∠PA′D， ∴tanB=tan∠PA′D， ∴ ，即 ， 解得： 或 (不合题意，舍去)， ∴点P的横坐标为 ； 107 ③如图，当点P在x轴的负半轴上，且∠PA′B=90°时， 过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP=m, ___ 同理可得△OAP≌△DPA′(AAS)， ∴PD=OA=2，A′D=OP=-m, ∴PB=OP+OB=4-m,BD=PB-PD=4-m-2=2-m, 同理可得∠B=∠PA′D， 108 ∴tanB=tan∠PA′D， ∴ ，即 ， 解得： 或 (不合题意，舍去)， ∴点P的横坐标为 ； 综上所述，点P的横坐标为2或 或 ， 故答案为：2或 或 ． 109 六．作图−旋转变换 110 40.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(3，4)、B(1，2)、C(5，3)． (1)将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为(-3，4)，在图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1； (2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标； (3)求△A2B2C1的面积． 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求； (2)如图，△A2B2C1即为所求，A2的坐标(-2，1)，B2的坐标(0，-1)； 111 ___； (3)△A2B2C1的面积= ． 112 41.利用图中的网格线(最小的正方形的边长为1)画图； (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)作出△ABC关于原点O对称的中心对称图形△A2B2C2． 【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求； 113 ___ (2)如图2，△A2B2C2即为所求． 114 42.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上． (1)若点B的坐标为(-5，-3)，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，C的坐标； (2)以(1)中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请你画出△A1B1C1． (3)连接AA1，A1C，求△AA1C的面积． 【解析】解：(1)如图所示建立平面直角坐标系，A(-3，0)，C(-1，-2)． 115 ___ (2)如图所示，△A1B1C1即为所求； 116 (3)如图， ___ △AA1C的面积= ． 答：△AA1C的面积为6． 117 43.如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上(网格线的交点)． (1)以点O为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)若点A的坐标为(-3，2)，请直接写出点B的坐标； (3)过点O作AB的平行线EF(点E，F在格点上，不与点O重合)． 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求． 118 (2)根据题意建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为(-1，-1)． (3)如图，EF即为所求． ____ 119 44.如图是一个9×9的网格图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一△ABC，顶点A，B，C均在格点上，请你在网格中建立平面直角坐标系xOy,点O为坐标系的原点，且使点A，B的坐标分别为A(-3，3)，B(-4，1)． (1)画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标 _________ ； (2)作出△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；然后作△A1B1C1关于点O中心对称的△A2B2C2，并写出点A1，C2的坐标； (3)直接写出△C1B2C2的面积． (-1，0) 120 【解析】解：(1)如图所示坐标系即为所求， ∴点C的坐标为(-1，0)； (2)如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求， ∴A1(2，4)，C2(-4，-1)； ___ (3) 121 45.如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点(即各个小正方形的顶点)上． (1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，在图中画出△AB1C1． (2)将线段BC绕图中F、G、H、M、N五个格点中的其中一个点可旋转到线段B2C2(点B的对应点为B2)，则旋转中心是 ____ ． 【解析】解：(1)如图，△AB1C1即为所求． 点G 122 ___ (2)连接BB2，CC2，分别作线段BB2，CC2的垂直平分线，相交于点G， 则线段BC绕点G可旋转到线段B2C2， ∴旋转中心是点G． 故答案为：点G． 123 46.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-1，4)，B(-4，2)，C(-3，5)，(每个方格的边长均为1个单位长度)． (1)若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1； (2)将△ABC进行平移得到△A2B2C2，若A2的坐标为(4，2)，则B2坐标为 ________ ； (3)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且点D在y轴上，则点D的坐标是 ________ ． (1，0) (0，7) 124 【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求； ___ (2)将△ABC进行平移得到△A2B2C2，如图2， 125 ___ 若A2的坐标为(4，2)，则B2坐标为(1，0)． 故答案为：(1，0)； 126 (3)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是(0，7)．如图3： ___ 故答案为：(0，7)． 127 47.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以AB为一条直角边的等腰直角△ABC，顶点C在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出△ABC的中线BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，画出旋转后的线段BE，连接CE，直接写出四边形BDCE的面积． 【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求； 128 ___ (2)如图，线段BD，四边形BDCE即为所求． 四边形BDCE是正方形，边长BD= = ， ∴正方形BDCE的面积为10． 129 48.如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C是格点，点P在AB上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示) (1)如图1，先找一格点D，连接AD，CD，使得四边形ABCD是菱形，再在AD上找一点Q，使得PQ⊥AC； (2)如图2，先将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，再在线段AB上找一点F，连接CF，使CF平分四边形ABCE的面积． 130 ______ 【解析】解：(1)图形如图1所示： 131 ______ (2)如图2中，线段AE，CF即为所求． 132 49.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的端点均为格点(网格线的交点)． (1)将线段AB先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段A1B1，请画出线段A1B1；(其中点A，B的对应点分别为点A1，B1) (2)将线段AB绕点B1顺时针旋转90°得到线段A2B2，请画出线段A2B2；(其中点A，B的对应点分别为点A2，B2) (3)在网格内描出两个格点M，N，使得四边形A2MB2N为正方形，请画出正方形A2MB2N． 133 【解析】解：(1)如图，线段A1B1即为所求． (2)如图，线段A2B2即为所求． (3)如图，正方形A2MB2N即为所求． ___ 134 50.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2，2)，B(-1，4)，C(-4，5)，请解答下列问题： (1)AB的长等于 　　；(结果保留根号) (2)若△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标是 　　； (3)请画出△ABC关于原点的中心对称图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标 　　． 【解析】解：(1)∵A(-2，2)，B(-1，4)， 135 ∴ ； (2)∵△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，如图1所示， ___ 136 由图形可得，A1的坐标是(4，2)； (3)△ABC关于原点的中心对称图形△A2B2C2，如图2所示， ___由图形可得点A2的坐标为：(2，-2)． 137 $$