第22章 二次函数 基础题过关检测 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 基础题过关检测★ 【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．二次函数的图象 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 2 一．二次函数的图象 3 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是( ____ ) A.___ B.____ B C.___ D.___ 4 【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=- ＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，x=- ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，x=- ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，x=- ＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 5 2.已知二次函数y=ax2+2ax-m(a＞0)的图象上有两点 ， ，则y1，y2的大小关系是( ____ ) A.y1＜y2 B.y2＜y1 C.y1=y2 D.无法确定 【解析】解：抛物线的对称轴为直线 ， ∵抛物线的开口向上， A 6 ∴当x＜1，y随x的增大而减小， ∵ ， ∴y1＜y2， 故选：A． 7 二．二次函数的性质 8 3.对于代数式A、B，定义一种新运算：A⊗B=2A2-AB+B． ①若(x+1)⊗5=5，则x=-1或 ； ②若x1、x2是一元二次方程(x-1)⊗(x+2)=4的两个根，则 ； ③若二次函数y=x⊗(x-2)在-3≤x≤a内有最小值 ，则 ； ④若y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则 ； 以上结论正确的个数是( ____ ) A.1B.2 C.3 D.4 B 9 【解析】解：①∵(x+1)⊗5=5， ∴(x+1)⊗5=2(x+1)2-5(x+1)+5=5， 即2(x+1)2-5(x+1)=0， (x+1)(2x+2-5)=0， 解得：x1=-1，x2= ， 故是正确的； ②由定义的新运算可得： 10 (x-1)⊗(x+2)=2(x-1)2-(x-1)(x+2)+(x+2)=4， 即x2-4x+2=0， ∵x1、x2是一元二次方程(x-1)⊗(x+2)=4的两个根， ∴x1+x2=4，x1x2=2， ∴ + =(x1+x2)2-2x1x2=42-2×2=12； 故是正确的； ③由定义的新运算可得： 二次函数y=x⊗(x-2)=2x2-x(x-2)+x-2=x2+3x-2， ∵y=x2+3x-2=(x- )2- ， 11 ∴函数的顶点为( ，- )， ∵二次函数y=x⊗(x-2)在-3≤x≤a内有最小值 ， ∴a≥ ； 故错误； ④由定义的新运算可得：函数y=|3⊗(x2+1)|=|2×32-3(x2+1)+(x2+1)|=|16-2x2|， 12 令y=0，则16-2x2=0，解得x= ， ∴函数y=|3⊗(x2+1)|的图象与x轴的交点为(-2 ，0)，(2 ，0)， 把(-2 ，0)代入y=x+2b,解得b=- ， 把(2 ，0)代入y=x+2b,解得b= ， ∴当 时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点， 令16-2x2=x+2b,整理得2x2+x-16+2b=0， 若Δ=0时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有三个交点， 即12-4×2×(-16+2b)=0，解得b= ， 13 ∴当b＞ 时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点， 故若y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则 或b＞ ； 故错误； 故选：B． 14 4.在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-mx+m2+m(n为常数)的图象经过(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( ____ ) A.最大值 B.最大值7 C.最小值 D.最小值7 【解析】解：∵二次函数y=-x2-mx+m2+m(m为常数)的图象经过点(0，6)， ∴6=m2+m, B 15 解得m=-3或m=2， ∵对称轴在y轴的左侧，a=-1＜0， ∴m＞0， ∴m=2， ∴二次函数y=-x2-2x+6=-(x+1)2+7， ∴该函数的最大值为7， 故选：B． 16 5.已知二次函数y=-2(x-1)(x-m+3)(m为常数)，则下列结论正确的有 _____ ． ①抛物线开口向下； ②抛物线与y轴交点坐标为(0，-2m+6)； ③当x＜1时，y随x增大而增大； ④抛物线的顶点坐标为 ． 【解析】解：∵二次函数 ①②④ 17 (m为常数)， ∴该抛物线开口向下，故①正确； 抛物线与y轴交点坐标为(0，-2m+6)，故②正确； 该抛物线的对称轴是直线 ，故无法判断x＜1时，y随x增大如何变化，故③错误； 抛物线的顶点坐标为 ，故④正确； 故选：①②④． 18 6.在二次函数y=-x2+2x+3中，当0＜x＜3时，则y的取值范围是 ________ ． 【解析】解：∵二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴该函数图象开口向下，当x=1有最大值4， ∴当x=0时，y=3，当x=3时，y=0， ∵0＜x＜3， ∴y的取值范围为0≤y≤4， 故答案为：0≤y≤4． 0≤y≤4 19 7.如图，二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2．则a的值为 ____ ． 【解析】解：由二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐标是(1，0)和(a,0)． ∵对称轴为直线x=2， ∴ =2． 解得a=3， 故答案为：3． 3 20 8.定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当 时，y随x的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 ______ ． 【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的表达式为y=mx2+(1-m)x+2-m. ∵此抛物线的对称轴为直线x=- =- = ， ∴当m=1时，对称轴为直线x=0，即y轴．故①正确； ①②③④ 21 ∵当m=2时，此二次函数表达式为y=2x2-x,令x=0，则y=0， ∴函数图象过原点，故②正确； ∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确； ∵m＜0， ∴对称轴x= = - ，抛物线开口向下， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大． 即x＜ - 时，y随x的增大而增大． 而 ＜ - ， 22 ∴当 时，y随x的增大而增大，故④正确． 故答案为：①②③④． 23 9.已知A(0，3)、B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 ________ ． 【解析】解：∵A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点， ∴c=3，-4+2b+c=3， 解得：b=2，c=3， 即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 故抛物线的顶点坐标是：(1，4)， 故答案为：(1，4)． (1，4) 24 10.在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点A(1，3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3-1=2，函数y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1，当3⩽x⩽6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3⩽x⩽6)的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点B(-6，2)的“纵横值”为 ____ ； ②函数 的“最优纵横值”为 ____ ； 8 -1 25 (2)若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上，当-1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7求h的值． 【解析】解：(1)①点B(-6，2)的“纵横值”为 2-(-6)=8， 故答案为：8； ②∵y= ， ∴y-x= -x= ， 26 ∵-4≤x≤-2， ∴x=-4时，y-x的最大值是-1， ∴函数 的“最优纵横值”为-1； 故答案为：-1； (2)∵二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线 上， ∴- = ， ∴b=3， ∴y=-x2+3x+c, ∴y-x=-x2+3x+c-x=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c, 27 ∵最优纵横值为5， ∴1+c=5， ∴c=4； (3)∵二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上， ∴k=h+9， ∴y=-(x-h)2+h+9， ∴y-x=-(x-h)2+h+9-x=-(x-h+ )2+ ， ∵当-1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7， 当h- ≥4，即h≥ 时，则x=4时，有最大值为7， 28 ∴-(4-h+ )2+ =7， 解得h=6或h=3(舍去)， 当h- ≤-1，即h≤- 时，则x=-1时，有最大值为7， ∴-(-1-h+ )2+ =7， 解得h=-2或h=1(舍去)． 故h的值为-2或6． 29 11.如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m,3m(m＞0)，连接AB，AC． (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． (2)当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点B与点C之间部分(包括点B，C)的最高点与最低点的纵坐标之差为 ，求m的值． 30 _____ 【解析】解：(1)∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2， ∴顶点为(1，-2)， ∵点B与抛物线的顶点重合， 31 ∴m=1， ∴3m=3， 把x=3代入y=x2-2x-1得，y=2， ∴点C的坐标为(3，2)； (2)当BC与x轴平行时，则点B，C的纵坐标相同，两点关于对称轴直线x=1对称， ∴ =1， ∴m= ， ∴B点的纵坐标为y=( )2-2× -1=- ， 32 ∴点B与点C的纵坐标的和为：2× =- ； (3)若0＜3m＜1，则0＜m＜ ，与m＞ 矛盾，不合题意； 最高点的纵坐标为m2-2m-1，最低点的纵坐标为(3m)2-2×(3m)-1=9m2-6m-1， 当 m≤1时，最高点的纵坐标为(3m)2-2×(3m)-1=9m2-6m-1，最低点纵坐标为-2， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为 ， ∴9m2-6m-1+2=5m, 33 解得m= ， ∵ m＜1，不合题意； 当m＞1时，最高点的纵坐标为(3m)2-2×(3m)-1=9m2-6m-1，最低点纵坐标为m2-2m-1 则9m2-6m-1-(m2-2m-1)=5m, 解得：m= 或m=0(舍去)． 综上所述，m的值为 ． 34 三．二次函数图象与系数的关系 35 12.对于二次函数y=ax2+bx+c,定义函数 是它的相关函数．若一次函数y=x+1与二次函数y=x2-4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是( ____ ) A.-1 B.0 C. D.2 【解析】解：直线y=x+1与y轴的交点为(0，1)， D 36 二次函数y=x2-4x+c的相关函数为y= ， 一次函数y=x+1与函数y= 恰有两个交点，如图所示： 37 ___ 38 由图象知，当c≥1时，y=x+1与y=x2-4x+c(≥0)恰有两个交点， ∴方程x2-4x+c=x+1有两个不相等的实数根， 即x2-5x+c-1=0， Δ=(-5)2-4(c-1)＞0， ∴c＜ ， ∴c的取值范围为1≤c＜ ， ∴c可能的值为2， 当c＜-1时，如图： 39 ___ 40 ∴当c＜-1时，一次函数y=x+1与函数y= 恰有两个交点， 故选：D． 41 13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则下列结论中： ① ＞0； ②am2+bm≤a-b(m为任意实数)； ③3a+c＜1； ④若M(x1，y)、N(x2，y)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤-3． 其中正确的结论有( ____ ) A.1个 B.2个 B 42 C.3个 D.4个 【解析】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线的对称轴是直线x=- =-1， ∴b=2a＜0． 又抛物线交y轴正半轴， ∴当x=0时，y=c＞0． ∴ ＜0，故①错误． 43 由题意，当x=-1时，y取最大值为y=a-b+c, ∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a-b+c. ∴对于任意实数m,当x=m时，y=am2+bm+c≤a-b+c. ∴am2+bm≤a-b,故②正确． 由图象可得，当x=1时，y=a+b+c＜0， 又b=2a, ∴3a+c＜0＜1，故③正确． 由题意∵抛物线为y=ax2+bx+c, ∴x1+x2=- =- =-2＞-3，故④错误． 综上，正确的有②③共2个．故选：B． 44 14.已知抛物线y=x2-2mx+3上的三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若总有y1＜y2＜y3成立，则x1，x2，x3的值分别可以是( ____ ) A.1，2，3 B.-1，0，2024 C.m,m-1，m+1 D.m,m+2，m-2024 【解析】解：由题意，∵y=x2-2mx+3， ∴抛物线的对称轴是直线x=- =m. ∵a=1＞0， D 45 ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又对于三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若总有y1＜y2＜y3， ∴|x1-m|＜|x2-m|＜|x3-m|． 再分别将选项A，B，C，D代入上面不等式， ∴A代入后，|1-m|＜|2-m|＜|3-m|，要根据m的范围才能保证不等式成立，故A不正确； B代入后，|-1-m|＜|-m|＜|2024-m|，要看m的范围才能保证不等式成立，故B不正确； C代入之后，|m-m|=0＜|m-1-m|=1=|m+1-m|，与|x1-m|＜|x2-m|＜|x3-m|矛盾，故C不正确； D代入之后，|m-m|=0＜|m+2-m|=2＜|m-2024-m|=2024，不等式成立， 46 符合题意，故D正确． 故选：D． 47 15.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 ，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c=0；③若图象经过点(-3，y1)，(3，y2)，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 48 【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 ， ∴ ， ∴ ，即ab＞0， 由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x=0时，y=c＞0， ∴abc＞0， 故①正确，符合题意； 49 ②∵直线 是抛物线的对称轴， ∴ ， ∴ ， ∴a=b, 由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＜0， ∴2b+c＜0， 故②错误，不符合题意； ③∵直线 是抛物线的对称轴， 50 设(-3，y1)，(3，y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2， 则 ， ， ∴d2＞d1， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴y1＞y2， 故③正确，符合题意； ④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根， ∴Δ=b2-4a(c-3)＜0， ∴b2-4ac+12a＜0， ∴b2-4ac＜-12a 51 ∴4ac-b2＞12a ∵ ， ∴m＜3， 故④正确，符合题意． 故选：C． 52 16.已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y=mx2-(2m2-m)x+m上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为( ____ ) A.0＜m≤2 B.-2≤m＜0 C.- D.0 【解析】解：由y1＜y2可得， [ -(2m2-m)x2+m]-[ -(2m2-m)x1+m]＞0， 整理，得：m(x2-x1)(x2+x1-2m+1)＞0， D 53 ∵x1+x2＞4且x1＜x2， ∴当m＞0时，则x2+x1-2m+1＞0， 即2m-1≤4， 解得m≤ ， ∴0＜m≤ ． 当m＜0时，则x2+x1-2m+1＜0，此时无解； 由上可得，0＜m≤ ， 故选：D． 54 17.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1，-2)，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是( ____ ) A.a＜0 B.c＜0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 【解析】解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方， ∴令x=0，y=c＞0，故B错误． 又抛物线的顶点为(-1，-2)， ∴可设抛物线为y=a(x+1)2-2． C 55 ∴y=ax2+2ax+a-2． ∴b=2a,c=a-2． ∵c＞0， ∴a-2＞0，即a＞2＞0，故A错误． ∵顶点为(-1，-2)， ∴当x=-1时，y=a-b+c=-2，故C正确． ∵b=2a,c=a-2， ∴b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a＞0，故D错误． 故选：C． 56 18.关于二次函数y=mx2+(3m+2n)x+6n(其中mn＜0)有以下论述，正确的是( ____ ) ①当n=-3m时，对称轴为直线 ． ②函数图象与x轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 【解析】解：因为n=-3m, A 57 所以抛物线的对称轴为直线x= ． 故①正确． 令y=0得， mx2+(3m+2n)x+6n=0， 则Δ=(3m+2n)2-4m×6n=(3m-2n)2， 因为mn＜0， 所以Δ＞0， 则函数图象与x轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为y=mx2+(3m+2n)x+6n=(x2+3x)m+(2x+6)n, 58 由x2+3x=0得， x1=0，x2=-3． 由2x+6=0得， x=-3， 所以当x=-3时，y=0， 即函数图象过定点(-3，0)． 故③正确． 故选：A． 59 19.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(2，m)，且经过点B(5，0)，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a-b+c＞0；③m+9a=0；④若此抛物线经过点C(t,n)，则t+4一定是方程ax2+bx+c=n的一个根．其中所有正确结论的序号是( ____ ) A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 【解析】解：∵抛物线开口向下， B 60 ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，①正确． ∵抛物线顶点为A(2，m)， ∴抛物线对称轴为直线x=2， ∵抛物线过点(5，0)， ∴由对称性可得抛物线经过点(-1，0)， ∴a-b+c=0，②错误， ∵- =2， 61 ∴b=-4a, ∴5a+c=0， ∴c=-5a ∵(2，m)为抛物线顶点， ∴4a+2b+c=m, ∴4a-8a-5a=m,即9a+m=0，③正确， ∵点C(t,n)在抛物线上， ∴点C关于对称轴对称点(4-t,n)在抛物线上， ∴4-t为ax2+bx+c=n的一个根，④错误． 故选：B． 62 20.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)与y轴的正半轴相交，其顶点坐标为(-1，k)(k＜0)．下列四个结论：①abc＞0；②a-2b+4c＜0；③a＞c；④点A(-n2-2，m)在抛物线上，则m≥c.其中正确结论是 _____ (填写序号)． 【解析】解：由题意可知： =-1，c＞0， ∴b=2a, 令x=-1代入得：k=a-b+c＜0， ∴a-2a+c=c-a＜0， ∴0＜c＜a, ①由于a＞c＞0，b=2a＞0， ①③④ 63 ∴abc＞0，故①符合题意． ②由题意可知：抛物线与x轴的其中一个交点位于(-1，0)与(0，0)之间， ∴x=- ，y与0的大小关系不确定， ∴a-2b+4c=4( a- a+c)与0的大小关系不能确定，故②不符合题意． ③令x=-1代入得：k=a-b+c＜0， ∴a-2a+c=c-a＜0， ∴0＜c＜a,故③符合题意． ④由题意可知：m=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c, ∴m-c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2) 64 =a(n4+2n2) =a(n2+1)2-a, ∵n2≥0， ∴n2+1≥1， ∴m-c≥a-a=0，即m≥c,故④符合题意． 故答案为：①③④． 65 21.在平面直角坐标系中，有直线l：y=m(x+4)-2(m≠0，m为常数)和抛物线G：y=a(x+5)(x-1)(a≠0，a为常数) (1)直线l经过的定点坐标为 　　； (2)若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是 　　． 【解析】解：(1)∵直线l：y=m(x+4)-2，当x=-4时，y=-2， ∴直线l经过的定点坐标为(-4，-2)； 故答案为：(-4，-2)； (2)∵抛物线G：y=a(x+5)(x-1)与x轴的交点为(-5，0)，(1，0)， 66 __ 当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点， ∴a＜0满足题意； 67 当a＞0时， ∵无论k为何值，直线l和抛物线G总有公共点， ∴x=-4时，y2≤-2，即16a-16a-5a≤-2， 解得 ， ∴ 满足题意； 综上，当a＜0或 时，抛物线G与直线l总有公共点． 故答案为：a＜0或 ． 68 22.已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象经过A(2，0)、C(0，2)两点． (1)求证：b=-2a-1； (2)若a为整数，n为正整数，当n＜x＜n+2时，对应函数值有且只有9个整数，求a、n的值． 【解析】(1)证明：∵二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象经过A(2，0)、C(0，2)两点， ∴ ， 化简得b=-2a-1； (2)解：∵x=- =- =1+ ，a＜0，n为正整数， 69 ∴1+ ＜1≤n, ∴当n＜x＜n+2时，y随x的增大而减小， 当x=n时，y=an2+(-2a-1)n+2，当x=n+2时，y=a(n+2)2+(-2a-1)(n+2)+2， ∵当n＜x＜n+2时，对应函数值有且只有9个整数， ∴an2+(-2a-1)n+2-[a(n+2)2+(-2a-1)(n+2)+2]-1=9， 化简得：an=-2， ∵a为整数，n为正整数， ∴n=1时a=-2；n=2时，a=-1． 70 四．二次函数图象上点的坐标特征 71 23.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n(m＞n＞0)，下列结论正确的是( ____ ) A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D. =1 【解析】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， B 72 ___ 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为(m,-m2+4)，点C坐标为(n,-n2+4)， 所以AM=m,MO=-m2+4，CN=n,NO=-n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=CD，∠ADC=90°， 所以∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°， 所以∠CDN=∠DAM． 73 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM(AAS)， 所以DM=CN=n,DN=AM=m, 所以MN=DM+DN=m+n, 又因为MN=NO-MO=m2-n2， 所以m2-n2=m+n, 即(m+n)(m-n)=m+n, 因为m＞n＞0， 74 所以m+n≠0， 所以m-n=1． 故选：B． 75 24.如图，分别过点Pi(i,0)(i=1，2，…，2024)作x轴的垂线，交直线y=x于点Ai，交抛物线y=-x2于点Bi，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. A 76 【解析】解：根据题意得：AiBi=x-(-x2)=x2+x=x(x+1)， ∴ = = - ． ∴ + + +…+ = + + +…+ =1- + - +⋯+ - =1- = ．故选：A． 77 五．二次函数图象与几何变换 78 25.将抛物线y=x2+1向左平移3个单位长度得到抛物线( ____ ) A.y=(x+3)2+1 B.y=(x-3)2+1 C.y=x2+4 D.y=x2-2 【解析】解：由题知， 将抛物线y=x2+1向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为y=(x+3)2+1． 故选：A． A 79 26.将抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是( ____ ) A.y=-3(x+5)2+6 B.y=-3(x+5)2-6 C.y=-3(x-5)2+6 D.y=-3(x-5)2-6 【解析】解：抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度得到y=-3(x+5)2，再向上平移6个单位得到y=-(x+5)2+6． 故选：A． A 80 27.将抛物线y=-2x2平移，使顶点移动到点P(-3，1)的位置，则平移后抛物线的表达式为 　　(写成顶点式即可)． 【解析】解：∵将抛物线y=-2x2平移，使顶点移动到点P(-3，1)的位置， ∴抛物线向左平移3个单位，向上平移1个单位即可， ∴平移后抛物线的表达式为y=-2(x+3)2+1． 故答案为：y=-2(x+3)2+1． 81 28.将抛物线y=(x+1)2-2向右平移2个单位，所得抛物线与y轴的交点的坐标是 _________ ， 【解析】解：抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(-1，-2)， 把点(-1，-2)向右平移2个单位得到点的坐标为(1，-2)， 所以平移后抛物线解析式为y=(x-1)2-2， 所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)． 故答案为：(0，-1)． (0，-1) 82 六．二次函数的最值 83 29.若当-4≤x≤2时，二次函数 的最小值为0，则m=( ____ ) A. B. C. D. 或 【解析】解：∵y= x2-mx+1= (x-m)2+(- m2+1)， B 84 ∴图象f的对称轴为x=m, 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x=m时，y有最小值，y最小=- m2+1=0， 解得m= ， 当m＞2时，抛物线开口向上，在-4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x=2时，y有最小值，y最小= (2-m)2+(- m2+1)=0， 解得m= (不合题意，舍去)， 综上，m= ． 故选：B． 85 30.已知y=2x-8，S=xy,当-1≤x≤3时，则S的最大值为 ____ ． 【解析】解：∵y=2x-8， ∴S=xy=2x2-8x=2(x-2)2-8， ∵-1≤x≤3， ∴当x=2时，函数S有最小值，等于-8，当x=-1时，由最大值2×(-1-2)2-8=10； 故答案为：10． 10 86 31.函数y=x2+4x+2的最小值是 ____ ． 【解析】解：∵y=x2+4x+2=(x+4)2-2， ∴，由a=1＞0知，当x=-4时，函数取得最小值-2， 故答案为：-2 -2 87 32.若实数x,y满足关系式6x2+y2=6x,且t=5x2+y2，则t的取值范围为 ________ ． 【解析】解：∵实数x,y满足关系式6x2+y2=6x,且t=5x2+y2， ∴y2=6x-6x2， ∴t=-x2+6x, ∵t=-x2+6x=-(x-3)2+9， ∵y2=6x-6x2≥0， ∴x(x-1)≤0， ∴0≤x≤1， ∴0≤t≤5， 0≤t≤5 88 七．抛物线与x轴的交点 89 33.关于二次函数y=2mx2+(1-m)x-1-m(m≠0)现给出以下结论： ①函数图象经过x轴上一定点，且该点的坐标为(1，0)； ②当m=-1时，函数图象的顶点坐标是( )； ③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ； ④当m＜0，x＜ 时，y随x的增大而减小． 其中正确的有( ____ ) A.4个 B.3个 C.2个 B 90 D.1个 【解析】解：由题意，当x=1时，y=2m×12+(1-m)-1-m=0， ∴函数图象经过x轴上一定点，且该点的坐标为(1，0)，故①正确． 当m=-1时，y=-2x2+2x=-2(x2-x+ )+ =-2(x- )2+ ， ∴此时该函数图象的顶点坐标是( ， )，故②正确． ∵y=2mx2+(1-m)x-1-m=(x-1)(2mx+m+1)， ∴令y=0，则0=(x-1)(2mx+m+1)． ∴x=1或x=- =- - ． 91 ∴函数图象截x轴所得的线段长度为：1-(- - )=1+ + = + ． ∵m＞0， ∴ + ＞ ． ∴当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ，故③正确． 由题意，∵抛物线与x轴交点为(1.0)，(- - ，0)， 92 ∴对称轴是直线x= = - ． ∵m＜0， ∴ - ＞ ，抛物线开口向下． ∴当x＜ - 时，y随x的增大而增大，当x＜ - 时，y随x的增大而减小． ∴当m＜0，x＜ 时，y随x的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 综上正确的有：①②③共3个．故选：B． 93 34.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x -3 -2 3 4 y -12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为( ____ ) A.-1＜x＜3 B.-2＜x＜4 C.x＜-1或x＞3 D.x＜-2或x＞4 【解析】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x= =1， C 94 ∴(-1，0)，(3，0)在此二次函数的图象上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)， ∴当y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞3． 故选：C． 95 35.若抛物线y=x2-2x-a(a为常数)与x轴有两个公共点，则a的取值范围为 ______ ． 【解析】解：由题意，∵抛物线y=x2-2x-a与x轴有两个公共点， ∴Δ=4+4a＞0． ∴a＞-1． 故答案为：a＞-1． a＞-1 96 36.如图，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，-4)． (1)求抛物线的解析式． (2)已知D(m,n)是直线AC下方抛物线上的一个动点(不与点A，C重合)，连接AD，CD，BC，在点D运动的过程中：①求n的取值范围；②若S△ABC=4S△ACD，请直接写出m的值． 【解析】解：(1)由题意，∵抛物线过B(2，0)，C(0，-4)， ∴ ． 97 ∴ ． ∴抛物线的解析式为y= x2+x-4． (2)①由题意，根据(1)抛物线的解析式为y= x2+x-4， ∴令y= x2+x-4=0，则x=-4或x=2． ∴A(-4，0)． 又∵D(m,n)是直线AC下方抛物线上的一个动点， ∴-4＜m＜0． 98 又抛物线为y= x2+x-4= (x+1)2- ， ∴当x=-1时，y取最小值为- ． 结合图象可得，当-4＜m＜0时， ∴- ≤n＜0． ②由题意，∵A(-4，0)，B(2，0)，C(0，-4)， ∴AB=6，OC=4． ∵S△ABC= AB•OC= ×6×4=12． 又S△ABC=4S△ACD， 99 ∴S△ACD= S△ABC= ×12=3． 如图，作DH⊥x轴于点H， ____ 又D(m,n)，即D(m, m2+m-4) ∴S△ACD=S梯形COHD+S△ADH-S△AOC =- m(4- m2-m+4)+ (m+4)(- m2-m+4)- ×4×4=3． ∴m=-1或m=-3． 100 37.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(-1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，点P(m,n)在抛物线上． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若此抛物线点P右侧的部分(不含点P)上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 【解析】解：(1)由题意，∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(-1，0)，B(3，0)两点， ∴ ． ∴ ． 101 ∴抛物线为y=x2-2x-3=(x-1)2-4． ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4)． (2)由题意，如图： __ 在y=x2-2x-3中，令y=2得2=x2-2x-3，解得x=1+ 或x=1- ， ∴K(1- ，2)，T(1+ ，2) 在y=x2-2x-3中，令y=-2得-2=x2-2x-3，解得x=1+ 102 或x=1- ， ∴R(1- ，-2)，S(1+ ，-2)， ∵抛物线在点P右侧的部分(不含点P)上，恰好有三个点到x轴的距离为2， ∴P在点K和R之间的抛物线上(包含K，不包含R)， ∴1- ≤m＜1- ． 103 八．二次函数的应用 104 38.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 105 【解析】解：①令h=0，则30t-5t2=0， 解得t1=0，t2=6， ∴小球从抛出到落地需要6s, 故①正确； ②h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45， ∵-5＜0， ∴当t=3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m, 故②正确； ③t=2时，h=30×2-5×4=40(m)， t=5时，h=30×5-5×25=25(m)， 106 ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． 107 39.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面再上升1.5m,则水面的宽度为 ____ m. 【解析】解：如图建立平面直角坐标系， ____ 设抛物线的解析式为y=ax2， 由已知可得，点(2，-2)在此抛物线上， 2 108 则-2=a×22， 解得a=- ， ∴y=- x2， 当y=-0.5时，- x2=-0.5， 解得x=±1， 此时水面的宽度为2m, 故答案为：2． 109 40.如图1是莲花由景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y=- x2，正常水位时水面宽AB为36m,当水位上升5m时水面宽CD为 _____ ．_______ 【解析】解：∵AB=36米， 24m 110 ∴当x=18时，y=- ×182=-9， 当水位上升5米时，y=-4， 把y=-4代入抛物线表达式得：-4=- x2， 解得x=±12， 此时水面宽CD=24(m)， 故答案为：24m. 111 41.某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万/件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．(毛利润=销售额-生产费用) (1)求出y与x以及z与x之间的函数关系式； (2)求w与x之间的函数关系式； (3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 112 _____ 【解析】解：(1)图①可得函数经过点(100，1000)， 设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)， 将点(100，1000)代入得：1000=10000a, 解得：a= ， 故y与x之间的关系式为y= x2， 113 图②可得：函数经过点(0，30)、(100，20)， 设z=kx+b,则 ， 解得： ， 故z与x之间的关系式为z=- x+30(0≤x≤100)； (2)w=zx-y =- x2+30x- x2 =- x2+30x, 114 ∴w与x之间的函数关系式为w=- x2+30x； (3)令y=360，得 x2=490， 解得：x=±70(负值舍去)， 由图象可知，当0＜y≤490时，0＜x≤70， w=- x2+30x =- (x2-150x) =- (x-75)2+1125， 115 ∵- ＜0， ∴当x≤75时，w随x的增大而增大， ∵0＜x≤70， ∴当x=70时，w有最大值，最大值为- (60-70)2+1125=1105， 答：今年最多可获得毛利润1105万元． 116 42.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为：y=kx+b, 117 把(50，50)，(80，20)代入得： ， 解得 ， ∴y=-x+80， 令y=0，则-x+80=0， 解得x=80， ∵成本价为每千克40元， ∴自变量x的取值范围为40＜x＜80， ∴y与x的函数关系式为y=-x+80(40＜x＜80)； (2)设日销售利润为w元， 118 则w=(x-40)y=(x-40)(-x+80)=-x2+120x-3200=-(x-60)2+400， ∵-1＜0， ∴当x=60时，w有最大值，最大值为400， ∴当销售单价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是400元． 119 43.在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)； (2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【解析】解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元， 根据题意，得 ， 120 解得m=3， 经检验m=3是方程的解， ∴1.5m=4.5， ∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30(元)， 答：每盒产品的成本为30元 (2)根据题意，得w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1400x-33000， ∴w关于x的函数解析式为：w=-10x2+1400x-33000； ∴w=-10x2+1400x-33000=-10(x-70)2+16000， ∵-10＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 121 44.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y1=5x；成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点． (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式； 122 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (注：利润=销售额-成本) 【解析】解：(1)由题意，∵顶点为( ， )， ∴可设抛物线为y2=a(x- )2+ ． 又抛物线过(2，4)， ∴a× + =4． ∴a=1． 123 ∴y2=(x- )2+ ． (2)由题意，当销售量x= 时，成本最低为 ， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y1=5x, ∴当x= 时，销售额为y1=5x=5× =2.5． ∴此时利润为2.5- =0.75(万元)． 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元． (3)由题意，利润=y1-y2 124 =5x-[(x- )2+ ] =-x2+6x-2 =-(x-3)2+7． ∵-1＜0， ∴当x=3时，利润取最大值，最大值为7． 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 125 45.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高1元，其销售量就减少20件，问： (1)应将商品涨价多少元，才能使每天的利润为640元？ (2)店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出最大利润W为多少元？ 【解析】解：(1)设应将商品应涨价x元时，才能使每天利润为640元， (10+x-8)(200-20x)=640， 解得：x1=2，x2=6． 答：应将商品应涨价6元或2元时，能使每天利润为640元； 126 (2)根据题意得： W=(10+x-8)(200-20x)=-20x2+160x+400=-20(x-4)2+720， ∴商品应涨价4元，获得最大利润，最大利润为720元． 127 46.如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m,水柱落地处离池中心8m. (1)求水管OA的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8m的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯EF与OA之间的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为10m,已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管OA要升高多少？ 128 【解析】解：(1)由题意得：抛物线的顶点坐标为(3，5)，点B的坐标为(8，0)． ∴设抛物线的解析式为：y=a(x-3)2+5(a≠0)． 把点B的坐标代入得：25a+5=0． 解得：a=-0.2． ∴y=-0.2(x-3)2+5． 当x=0时，y=3.2． ∴水管OA的长度为3.2m； (2)当y=1.8时，1.8=-0.2(x-3)2+5． 0.2(x-3)2=5-1.8． (x-3)2=16． 129 解得：x1=7，x2=-1(不合题意，舍去)． ∴景观射灯EF与OA之间的水平距离为7 m. 答：景观射灯EF与OA之间的水平距离为7m. (3)设升高水管后，水柱所在的抛物线的解析式为y=-0.2(x-3)2+h. ∵经过点(10，0)， ∴-0.2×49+h=0． 解得：h=9.8． ∴y=-0.2(x-3)2+9.8． 当x=0时，y=8． ∴8-3.2=4.8(m)． 答：水管OA要升高4.8m. 130 47.赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2(k≠0)；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=k(t-70)2+h(k≠0)．(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围； (2)当t=90s时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s,之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 131 ___________ 【解析】解：(1)由题意，把A(20，50)代入s=kt2 得50=400k, ∴k= ． 又由函数图象可得，0＜t≤20． (2)由题意，设s=5t+b,把(20，50)代入，得50=5×20+b, ∴b=-50． ∴s=5t-50． 132 当t=90时，s=450-50=400． ∴当t=90s时，龙舟划行的总路程为400m. (3)加速期：由(1)可知k= ， 把(90，400)代入s= (t−70)2+h, ∴h=350． ∴函数表达式为s= (t−70)2+350． 把t=91代入s= (t−70)2+350， ∴s=405.125． 133 ∴(800-405.125)÷5.85=67.5(s)． ∴90+1+67.5=158.5(s)． 答：该龙舟队完成训练所需时间为158.5s. 134 48.小江自制了一把水枪(图1)，他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的表达式． 135 (2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ (3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式y=-x2+(a+1)x+1．当1≤x≤2时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 【解析】解：(1)由题意，抛物线顶点为(2，3)， ∴可设该抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3． 将点(0，1)代入，得4a+3=1， ∴ ， ∴该抛物线的表达式为 136 ． (2)由题意，当x=3时， ． ∵2.5＞2， ∴水流能越过该障碍物． (3)由题意，∵y=-x2+(a+1)x+1， ∴抛物线的对称轴为直线 ． ①当 ，即a＜2时， 将x=2代入y=-x2+(a+1)x+1，得-4+2a+2+1＞2， 137 ∴ ． ∴ ． ②当 ，即a≥2时， 将x=1代入y=-x2+(a+1)x+1，得-1+a+1+1＞2， ∴a＞1． ∴a≥2． 综上所述，a的取值范围为 ． 138 九．二次函数综合题 139 49.如图，抛物线y=-x2+bx与坐标轴交于点O，B两点，直线y=kx-2与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为(2，0)． (1)求b和k的值； (2)求出点A的坐标，并结合图象写出不等式kx-2＜-x2+bx的解集； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围． 【解析】解：(1)将点B的坐标分别代入两个函数表达式得： 140 ， 解得： ， 故k=1，b=2； (2)联立一次函数和二次函数表达式得：-x2+2x=x-2， 解得：x=2或-1， 即点A(-1，-3)， 观察函数图象知，不等式kx-2＜-x2+bx的解集为：-1＜x＜2； (3)如图，设点N在抛物线上，则|yN-yM|=2，即(-m2+2m)-(m-2)=2， 解得：x=0或1， 141 ___ 当点M在点A的右侧时，若线段MN与抛物线有公共点， 则-1≤x≤0； 当点M在点B左侧时，若线段MN与抛物线有公共点， 则1≤x≤2；综上，线段MN与抛物线有公共点，点M的横坐标m为：-1≤m≤0或1≤m≤2． 142 50.【项目式学习】 项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰 项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前2000年美索不达米亚地区的砖拱，公园前200年两河流域Ctesiphone(现在伊拉克中部)Sasanian王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近28米、高40米了(如图)．(注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．) 143 _________ 项目素材： 素材1：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与Sasanian王朝的砖拱同样跨度(即图中的地面AB=28米)和高度(最高点离地面40米)的抛物线拱(图(a)为其中一处抛物线拱截面)．在图(a)的抛物线拱截面距离地面20米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁GH． 素材2：图(b) 144 为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形(PCQD)装饰品，要求C，D两点在抛物线上(C在D的左侧)，P是抛物线的顶点，且PQ与地面垂直． 素材3：如图(c)，景点管理公司利用素材1中的横梁GH安装了一个半径为8米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧EN沿一条直线翻折，EMN交GH于点M． 项目任务： 任务1：素材1中横梁GH的长度是多少米？(结果若有根号则保留根号) 任务2；素材2中工人师傅的安装计划若能实现，那么点C距离地面的高度是 ______ 米． 35.1 145 任务3：在素材3中，经测量发现EM=10，FM=6．请直接写出两月牙尖的距离． 【解析】解：任务1：如图(a)建立直角坐标系：则A(-14，0)，B(14，0)，P(0，40)， ___ 146 设抛物线的解析式为：y=ax2+40， ∴0=142a+40， 解得： ， ∴ ， 令y=20，则有 ， 解得： ， ∴ ， ， ∴ (米)； 147 任务2：如图连接CD交y轴于E， ___ 由题意可得：PE=CE=DE， 设PE=CE=DE=b＞0，则C(-b,40-b)，D(b,40-b)， ∵抛物线解析式为 148 ， ∴ ，解得： 或0(舍弃)， ∴ ， ∴点C距离地面的高度是35.1米， 故答案为35.1； 任务3：如图：设圆的圆心为O，连接EN，FN，ON，作NI⊥OF于， __ 149 ∵EM=10，FM=6， ∴EF=16， ∵半径为8米的圆形灯光饰品， ∴EF为圆O的直径， ∴ON=8， ∵ ， 所对的圆周角相等，即等于∠MEN， ∴ ， ∴MN=FN， ∵NI⊥OF， ∴ ， 150 ∴OI=OF-MI=5，EI=EF-FI=13， ∴ ， ∵∠NIE=90°， ∴ (米)． 151 $$