第22章 二次函数 中档题拓展训练课件　【9个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 中档题拓展训练 【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一.二次函数的图象 二.二次函数的性质 三.二次函数图象与系数的关系 四.二次函数图象上点的坐标特征 五.二次函数图象与几何变换 六.待定系数法求二次函数解析式 七.抛物线与x轴的交点 八.二次函数的应用 九.二次函数综合题 2 一.二次函数的图象 3 1.一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+x+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( _ ) A._ B._ B C._ D._ 4 【解析】解:A、由抛物线可知a<0,又b=1>0,所以对称轴应该在y轴右侧,故本选项不符合题意; B、由抛物线可知,a>0,c<0,由直线可知,a>0,c<0,故本选项符合题意; C、由抛物线可知,a>0,c<0,由直线可知,a>0,c>0,故本选项不符合题意; D、由抛物线可知a<0,又b=1>0,所以对称轴应该在y轴右侧,故本选项不符合题意. 故选:B. 5 二.二次函数的性质 6 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(4,0),其对称轴为直线x=1,其部分图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b2−4ac<0;③9a+3b+c=0;④8a+c=0;⑤若关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个实数根x1,x2,且满足x1<x2,则x1<−2,x2>4.其中正确结论的个数为( _ ) A.5 B.4 C.3 D.2 C 7 【解析】解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵抛物线对称轴为直线x=1, ∴- , ∴b=-2a>0, ∵抛物线交y轴的正半轴, ∴c>0, ∴abc<0,故①正确; ∵该函数图象与x轴有两个不同的交点, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, 8 ∴b2-4ac>0,故②不正确; ∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴点(4,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(-2,0), ∴当x=3时,y=9a+3b+c>0,故③不正确; ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0), ∴4a-2b+c=0, ∵b=-2a, ∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,故④正确; 函数图象与x轴的交点坐标分别为(-2,0)和(4,0), 令y=-1,则ax2+bx+c=-1, ∴直线y=-1与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标分别为x1、x2, 9 ∴由图象可知:x1<-2,x2>4,故⑤正确; 故正确的有3个, 故选:C. 10 3.下列函数中、y的值随x值的增大而增大的是( _ ) A.y=x2+2 B.y=-x2+2 C.y=3x+2 D.y=-3x+2 【解析】解:由题意,对于A选项,y=x2+2为开口向上,对称轴是y轴的抛物线, ∴当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大,故A错误,不合题意. 对于B选项,y=-x2+2为开口向下,对称轴是y轴的抛物线, C 11 ∴当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,故B错误,不合题意. 对于C选项,y=3x+2为一次函数, 又k=3>0, ∴y随x的增大而增大,故C正确. 对于D选项,y=-3x+2为一次函数, 又k=-3<0, ∴y随x的增大而减小,故D错误,不合题意. 故选:C. 12 4.已知抛物线y=x2-2x+c经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y1<y2,则n的取值范围是( _ ) A.-1<n<0 B.-1<n<2 C.n>2 D.n<-1 【解析】解:由题意得,抛物线的对称轴是直线x=- =1. 又a=1>0, ∴抛物线开口向上. ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. A 13 又y1<y2, ∴|2n+3-1|<|n-1-1|,即|2n+2|<|n-2|. ∵A,B分别位于抛物线对称轴的两侧, ∴2n+3<1<n-1或n-1<1<2n+3. ∴-1<n<2. 又|2n+2|<|n-2|, ∴2n+2<2-n. ∴n<0. 综上,-1<n<0. 故选:A. 14 5.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A.与y轴交于点B,设二次函数图象上点A,B之间的部分(含点A,B)为曲线C.将曲线C向上平移m个单位长度,若曲线C与直线y=5有两个交点,则m的取值范围为( _ ) A.m>1 B.1<m<2 C.1<m≤2 D.1≤m≤2 【解析】解:由题意,令y=-x2+2x+3=0, ∴x=-1或x=3. C 15 ∴A(3,0). 又令x=0,则y=-x2+2x+3=3, ∴B(0,3). 图象如下. 16 _ ∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 17 ∴抛物线的顶点为(1,4). 由图象可得,当曲线C向上平移1个单位与直线y=5相切,继续再平移1个单位刚好与直线y=5有两个交点,继续平移没有了. ∴当1<m≤2时,曲线C与y=5有两个交点. 故选:C. 18 6.二次函数y=-x2+6x+5的对称轴是直线x= _ . 【解析】解:y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14 ∴对称轴为:x=3, 故答案为:3. 3 19 7.已知二次函数y=x2-4x-5,当-2≤x≤3时,函数的最大值为 _ . 【解析】解:由二次函数的表达式为y=x2-4x-5可知, 抛物线开口向上,对称轴为直线 , 所以当x=2时,函数取得最小值,且y=2 2-4 2-5=-9, 则当x=-2时,y=4+4 2-5=7, 当x=3时,y=9-4 3-5=-8, ∴在-2≤x≤3中,函数的最大值为7, 故答案为:7. 7 20 8.请写出一个开口向上,且过点(0,1)的抛物线的表达式 . 【解析】解:依题意,满足题意的抛物线解析式为 y=x2+1等,答案不唯一. 故本题答案为:y=x2+1等.答案不唯一. 21 9.如图是二次函数y=x2-bx+c的图象,那么直线y=bx+c不经过第 _ 象限. 【解析】解:∵抛物线y=x2-bx+c的对称轴为:x=- =1, ∴b=2>0, ∵抛物线与y轴的交点在负半轴, ∴c<0, ∴直线y=bx+c不经过第二象限. 故答案为:二. 二 22 10.在平面直角坐标系中,对“纵横值”给出如下定义:点A(x,y)是函数图象上任意一点,纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”. 例如:点A(1,3)在函数y=2x+1图象上,点A的“纵横值”为3-1=2,函数y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1,当3⩽x⩽6时,x+1的最大值为6+1=7,所以函数y=2x+1(3⩽x⩽6)的“最优纵横值”为7. 根据定义,解答下列问题: (1)①点B(-6,2)的“纵横值”为 _ ; ②函数 的“最优纵横值”为 _ ; 8 -1 23 (2)若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线 上,且最优纵横值为5,求c的值; (3)若二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上,当-1⩽x⩽4时,二次函数的最优纵横值为7求h的值. 【解析】解:(1)①点B(-6,2)的“纵横值”为 2-(-6)=8, 故答案为:8; ②∵y= , ∴y-x= -x= , 24 ∵-4≤x≤-2, ∴x=-4时,y-x的最大值是-1, ∴函数 的“最优纵横值”为-1; 故答案为:-1; (2)∵二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线 上, ∴- = , ∴b=3, ∴y=-x2+3x+c, ∴y-x=-x2+3x+c-x=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c, 25 ∵最优纵横值为5, ∴1+c=5, ∴c=4; (3)∵二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上, ∴k=h+9, ∴y=-(x-h)2+h+9, ∴y-x=-(x-h)2+h+9-x=-(x-h+ )2+ , ∵当-1⩽x⩽4时,二次函数的最优纵横值为7, 当h- ≥4,即h≥ 时,则x=4时,有最大值为7, 26 ∴-(4-h+ )2+ =7, 解得h=6或h=3(舍去), 当h- ≤-1,即h≤- 时,则x=-1时,有最大值为7, ∴-(-1-h+ )2+ =7, 解得h=-2或h=1(舍去). 故h的值为-2或6. 27 11.在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c上任意两点.设抛物线的对称轴是直线x=t. (1)若对于x1=2,x2=-1,有y1=y2,求t的值; (2)若对于x1≥2,都有y1<c成立,并且对于x2>1,存在y2>c,求t的取值范围. 【解析】解:(1)t= = . (2)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c), ①当a>0时,抛物线开口向上, ∴当x1≥2时,y1有最小值,没有最大值, ∴与原结论矛盾, 28 ∴a>0不成立. ②当a<0时,抛物线开口向下,且经过(0,c),(2t,c), 若抛物线经过店(1,c), 则t= , 若抛物线经过店(2,c), 则t=1, ( )当t≤ 时,t≤0<1或0<t≤2t≤1, ∴对于x2>1,都有y2<c, ∴不合题意; 29 ( ) <t<1时,0<2<2t, 对于x2>1,都有y2>c, ∴对于x1>1,都有y1>c, ∴ <t<1成立; ( )当t>1时,t≤0<1或0<t≤2t≤1, ∴当x1=2时,都有y1>c, ∴不合题意; 综上所述: <t<1. 30 三.二次函数图象与系数的关系 31 12.抛物线y=-ax2+2ax+c(a<0)与x轴的一个交点为(x1,0),-2<x1<-1,下列说法正确的是( _ ) A.对称轴为直线x=-1 B.当x>0时,y随x的增大而增大 C.8a<c D.方程-ax2+2ax+c=-2一定有两个不相等的实数根 【解析】解:抛物线的对称轴为直线x=- =1, 故选项A错误,不符合题意; ∵抛物线的对称轴为直线x=1,开口向下, D 32 ∴当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小, 故选项B错误,不符合题意; ∵抛物线y=-ax2+2ax+c(a<0)与x轴的一个交点为(x1,0),-2<x1<-1, ∴当x=-2时,y<0, 即-4a-4a+c<0, ∴c<8a, 故选项C错误,不符合题意; ∵抛物线开口向下,与x轴有两个交点, ∴抛物线y=-ax2+2ax+c与直线y=-2有两个交点, 即方程-ax2+2ax+c=-2一定有两个不相等的实数根, 故选项D正确,符合题意. 33 13.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 ,与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②2b+c>0;③若图象经过点(-2,y1),(2,y2),则y1<y2;④若关于x的方程ax2+bx+c-3=0无实数根,则m<3.其中正确结论的个数是( _ ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 34 【解析】解:∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(- ,m), ∴- =- . ∴ = >0,即ab>0, 由图可知,抛物线开口方向向下,即a<0, ∴b<0, 当x=0时,y=c>0, ∴abc>0,故①正确. ∵直线x=- 是抛物线的对称轴, 35 ∴- =- . ∴ = >0. ∴a=b, 由图象可得:当x=1时,y=a+b+c<0, ∴2b+c<0,故②错误. ∵直线x=- 是抛物线的对称轴, 设(-2,y1),(2,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1,d2, ∴d1=|−2−(− )|= ,d2=|2−(− )|= . 36 ∴d2>d1, 根据图象可得,距离对称轴越近的点的函数值越大, ∴y1>y2,故③错误. ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根, ∴ =b2-4a(c-3)<0, ∴b2-4ac+12a<0, ∴b2-4ac<-12a. ∴4ac-b2>12a. 又4a<0, ∴m= < =3, 37 ∴m<3,故④正确. 故正确的有①④,共2个. 故选:B. 38 14.如图,二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0),(x1,0),其中2<x1<3.结合图象给出下列结论: ①ab>0; ②a-b=-2; ③当x>1时,y随x的增大而减小; ④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的另一个根是- ; ⑤b的取值范围为1<b< .其中正确结论的个数是( _ ) C 39 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】解:由图象可知,- >0, ∴ab<0,故结论①错误; ∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0), ∴a-b+2=0,即a-b=-2,故结论②正确; ∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0),(x1,0),其中2<x1<3, 40 ∴ <- <1, ∵抛物线开口向下, ∴当x>1时,y随x的增大而减小,故结论③正确; ∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于(-1,0),(x1,0), ∴-1,x1是方程ax2+bx+2=0的两个根, ∴-1•x1= , ∴x1=- , ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的另一个根是- ,故结论④ 41 正确; ∵a-b+2=0, ∴a=b-2, ∴y=(b-2)x2+bx+2, ∵2<x1<3, ∴ , 解得1<b< ,故结论⑤正确. 故选:C. 42 15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)经过点(-1,-1)和(0,1),当x=-2时,与其对应的函数值y>1.有下列结论:①abc>0;②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根;③a>2;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2>-2.其中,正确结论的个数是( _ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解:由题意,∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)经过点( D 43 -1,-1),(0,1), ∴c=1,a-b+c=-1, ∴a=b-2, ∵当x=-2时,与其对应的函数值y>1. ∴4a-2b+1>1, ∴4(b-2)-2b+1>1,解得:b>4, ∴a=b-2>2>0, ∴abc>0,故①③正确. ∵a=b-2,c=1, ∴(b-2)x2+bx+1+1=0,即(b-2)x2+bx+2=0, ∴ =b2-4 2 (b-2)=b2-8b+16=(b-4)2. 44 ∵b>4, ∴ =(b-4)2>0. ∴关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根,故②正确. 若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2, ∴x1+x2=- =- =-1- . ∵a>2, ∴ <1. ∴- >-1. 45 ∴-1- >-2. ∴x1+x2>-2,故④正确. 综上,正确的有:①②③④共4个. 故选:D. 46 16.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,若-2<x1<-1,则下列结论:①2a+b=0,②3<x2<4,③b2>4ac,④a>b>c,⑤a(m+1)(m-1)+b(m-1)>0(m为任意实数).正确结论的个数为( _ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解:由抛物线的对称轴是直线x=1得,- =1, D 47 ∴b=-2a, ∴2a+b=0, 故①正确; A,B两点关于直线x=1对称,又-2<x1<-1,且1-(-1)=3-1,1-(-2)=4-1, ∴3<x2<4. 故②正确; ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0, ∴b2>4ac, 故③正确; 48 由函数图象可知,a>0,b<0,c<0, 又a-b+c<0,且b=-2a, ∴3a+c<0,即c<-3a, ∴b>c, ∴a>b>c. 故④正确. ∵当x=1时,函数取得最小值a+b+c, ∴当x=m时,总有am2+bm+c≥a+b+c, ∴a(m+1)(m-1)-b(1-m)≥0, 故⑤错误. 所以正确的结论有4个. 49 17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,且经过点(0,1).给出下列结论:①a<0;②b=2a;③4a-2b+c>0;④b2-4ac>0.正确的是:( _ ) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解:由题意,∵抛物线开口向下, ∴a<0,故①正确. D 50 又对称轴是直线x=- =-1, ∴b=2a,故②正确. ∵对称轴是直线x=-1, 又当x=0时,y=1>0, ∴当x=-2时,y=4a-2b+c=1>0,故③正确. 又∵抛物线对称轴是直线x=-1,且抛物线与x轴的一交点为(1,0), ∴另一交点为(-3,0). ∴ =b2-4ac>0,故④正确. 综上,正确的有:①②③④. 故选:D. 51 18.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标(-2,3),抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图所示,有下列说法:①4a-b=0;②a-b+c=0;③若(-4,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y2>y1;④b2+3b=3ac.其中正确的是( _ ) A.① B.①② C.①③ D.①②③④ 【解析】解:∵抛物线的对称轴为直线x= 2, A 52 ∴4a-b=0,所以①正确; ∵与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间, ∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间, ∴x=-1时y>0,即a-b+c>0, ∴所以②错误; 由抛物线的对称性知(-4,y1)与(0,y1)关于对称轴对称, ∵抛物线开口向下,对称轴为直线x= 2, ∴当x>-2时,y随x的增大而减小, ∵-2<0<1, ∴y1>y2, 53 ∴所以③不正确; ∵抛物线的顶点坐标为(-2,3), ∴ =3, ∴b2+12a=4ac, ∵4a-b=0, ∴b=4a, ∴b2+3b=4ac, 所以④不正确; 故选:A. 54 19.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,c<0)经过(1,1),(m,0),(n,0)三点,且n≥3.下列四个结论:①abc<0;②4ac-4a<b2;③当n=5时,若点(3,t)在该抛物线上,则t>1;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,则0<m≤ .其中正确的是( _ ) A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④ 【解析】解:①图象经过(1,1),c<0,即抛物线与y轴的负半轴有交点,如果抛物线的开口向上,则抛物线与x轴的两个交点都在(1,0) C 55 的左侧, ∵(n,0)中n≥3, ∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)上或(3,0)的右侧, ∴抛物线的开口一定向下,即a<0, 把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1, 即b=1-a-c, ∵a<0,c<0, ∴b>0, ∴abc>0,故①错误; ②∵a<0,b>0,c<0, 56 ∴ , ∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0,即mn>0, ∵n≥3, ∴m>0, ∴ , 即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧, ∴抛物线的顶点在点(1,1)的右侧, ∴ , ∵4a<0, 57 ∴4ac-b2<4a, 即4ac-4a<b2,故②正确; ③∵m>0, ∴当n=5时, , ∴抛物线对称轴在直线x=2.5的右侧, ∴(1,1)到对称轴的距离大于(3,t)到对称轴的距离, ∵a<0,抛物线开口向下, ∴距离抛物线越近的函数值越大, ∴t>1,故③正确; ④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b-1)x+c=0, 58 ∵方程有两个相等的实数解, ∴ =(b-1)2-4ac=0, ∵把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1,即1-b=a+c, ∴(a+c)2-4ac=0, 即a2+2ac+c2-4ac=0, ∴(a-c)2=0, ∴a-c=0, 即a=c, ∵(m,0),(n,0)在抛物线上, ∴m,n为方程ax2+bx+c=0的两个根, 59 ∴ , ∴ , ∵n≥3, ∴ , ∴ ,故④正确; 综上分析可知,正确的是②③④. 故选:C. 60 20.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为直线x=1,则下列结论中正确的是( _ ) A.8a+c<0 B.abc>0 C.当-1<x<2时,y≥0 D.若(-2,y1), ,(3,y3)在该函数图象上,则y3<y1<y2 【解析】解:由题意,根据图象开口向下, ∴a<0, A 61 又对称轴是直线x=- =1, ∴b=-2a>0, 又抛物线与y轴交于正半轴, ∴c>0, ∴abc<0,故B错误; 由图象知,当x=3时,y<0, 即9a+3b+c=3a+c<0, ∵a<0, ∴8a+c<0, 故A正确; 62 ∵抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的交点在2-3之间, ∴抛物线与x轴的另一交点在-1-0之间, 故C错误; ∵1-(-2)=3,1- = ,3-1=2, ∴y2>y3>y1, 故D错误. 故选:A. 63 21.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=ax2-3x+1上的两点,其对称轴是直线x=x0,若|x1-x0|>|x2-x0|时,总有y1>y2,同一坐标系中有M(-1,-2),N(3,2),且抛物线y=ax2-3x+1与线段MN有两个不相同的交点,则a的取值范围是 . 【解析】解:设直线MN的解析式为y=kx+b(k≠0), 则 , ∴ , ∴MN的解析式为y=x-1, ∵A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=ax2-3x+1上的两点, 64 其对称轴是直线x=x0,若|x1-x0|>|x2-x0|时,总有y1>y2, ∴a>0, ∵抛物线y=ax2-3x+1与线段MN有两个不相同的交点, ∴x=3时,y≥2,且抛物线与直线MN有交点, ∴a≥ , 令x-1=ax2-3x+1,整理得:ax2-4x+2=0, ∵ =16-8a>0, ∴a<2, ∴ ≤a<2, 65 22.二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴有两个不同的交点,与y轴相交于负半轴,对称轴为直线x=-1,有下列结论:①abc<0;②若x=-m2-2(m为任意实数),则有y≥0;③若点P(t-1,y1),Q(t,y2)在抛物线上,当 时,y1<y2;④若x1,x2(x1<x2)是方程ax2+bx+c=0的两根,则方程ax2+bx+c=p(p>0)的两根m,n(m<n)满足x1<m<n<x2.其中正确的是 _ (填写序号). 【解析】解:①∵图象与y轴相交于负半轴, ∴c<0, ∵对称轴为直线x=-1, ①④ 66 ∴ab>0 ∴abc<0, ∴①正确. ②∵抛物线经过(0,c),对称轴为直线x=-1, ∴抛物线经过(-2,c), ∵x<-1时,y随x增大而增大,-m2-2≤-2, ∴x=-m2-2时,y≤c. ∴②错误. ③将t-1,t分别代入解析式,得y1=a(t-1)2+b(t-1)+c,y2=at2+bt+c,要使y1<y2,只需a(t-1)2+b(t-1)+c<at2+bt+c, ∴2at>a-b, 67 ∵- =-1, ∴b=2a, ∴2at>-a, ∵a<0, ∴t<- , ∴③不正确. ④由图象可知x1<m<n<x2. ∴④正确. 故答案为:①④. 68 23.二次函数y=x2-2mx+10图象上一点A(a,b),当3≤a≤5时,存在b=0,则m的取值范围为 . 【解析】解:令x2-2mx+10=0,则4m2-40≥0, 解得m≤- 或m≥ , 将x=3代入y=x2-2mx+10得y=9-6m+10=19-6m, 将x=5代入y=x2-2mx+10得y=25-10m+10=35-10m, ∵y=x2-2mx+10, ∴抛物线开口向上, 当m≤- 时, , 69 解得 ≤m≤ ,不符合题意. 当 ≤m≤5时, , 解得m≤ , ∴ ≤m≤ , 当m>5时, , 不等式无解, 故答案为: ≤m≤ . 70 24.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(x1,0)、(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0,②a+b+c<0,③a+2b+4c>0,④2a+b<0.其中正确结论的序号是 _ (将所有正确结论的序号都填上). 【解析】解:①∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵抛物线对称轴在y轴的右侧, ∴b<0, ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0, ①②④ 71 ∴abc<0,故①正确; ②由函数图象可知,当x=1时,y<0, 即a+b+c<0,故②正确; ③当x= 时,y的值为 a+ b+c, 给 a+ b+c乘以4,即可化为a+2b+4c, ∵抛物线的对称轴的取值范围为1<- < , ∴x= 关于对称轴对称点的横坐标在 和 之间, 由图象可知,x在 和2之间y为负值,2和 之间y为正值, 72 ∴a+2b+4c与0的关系不能确定,故③错误; ∵抛物线的对称轴为直线x=- >1, ∴-b>2a, 即2a+b<0,故④正确. 故答案为:①②④. 73 25.抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a,b,c为常数)交x轴于点(-1,0),且2a+b=0.下列4个结论:①b>0;②抛物线过点(3,0);③a+c>0;④抛物线上有点A(x1,y1),B(x1+4,y2),当y1>0时,y2<0.其中结论正确的是 _ (填写序号). 【解析】解:①∵2a+b=0, ∴b=-2a, ∵a<0, ∴b>0. ∴①的结论正确; ②2a+b=0, ①②③④ 74 ∴b=-2a, ∴抛物线的对称轴为直线x=- =1, ∵抛物线关于直线x=1对称, ∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a,b,c为常数)交x轴于点(-1,0),(-1,0)与(3,0)关于x=1对称, ∴抛物线过点(3,0). ∴②的结论正确; ③∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a,b,c为常数)交x轴于点(-1,0),且2a+b=0, 75 ∴ , ∴3a+c=0, ∵a<0, ∴3a<a, ∴a+c>0. ∴③的结论正确; ④∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a,b,c为常数)交x轴于点(-1,0),(3,0), ∴当-1<x<3时,y>0, ∵抛物线上有A(x1,y1),y1>0, 76 ∴-1<x1<3. ∴3<x1+4<7, ∴点B(x1+4,y2)在点(3,0)的右侧, ∴点B(x1+4,y2)在x轴的下方, ∴y2<0. ∴④的结论正确. 综上,结论正确的是:①②③④. 故答案为:①②③④. 77 26.在平面直角坐标系,二次函数y=ax2-bx-a的图象与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度得到点B,点B恰好也在该函数的图象上. (1)写出该函数图象的对称轴; (2)已知点M(1,1-a),N(3,-3). ①若函数图象恰好经过点M,求a的值; ②若函数图象与线段MN只有一个交点,结合函数图象,直接写出a的取值范围. 【解析】解:(1)∵二次函数y=ax2-bx-a的图象与y轴交于点A, ∴A(0,-a), 点A向右平移4个单位长度,得到点B(4,-a), 78 ∴点B(4,-a); ∵A与B关于对称轴x=2对称, ∴抛物线对称轴x=2; (2)①∵对称轴x=2, ∴b=4a, ∴y=ax2-4ax-a, ∵函数图象恰好经过点M(1,1-a), ∴1-a=a-4a-a, ∴a=- ; 将x=1代入y=ax2-4ax-a得y=-4a, 79 将x=3代入y=ax2-4ax-a得y=-4a, ②当a>0时,抛物线开口向上, ∴-3≤-4a, 解得a≤ , 故0<a≤ , 80 _ 当a<0时,抛物线开口向下, 81 _ ∴1-a≥-4a, 解得a≥- , 故- ≤a<0, 综上,若函数图象与线段MN只有一个交点,a的取值范围是0<a≤ 或- ≤a<0. 82 四.二次函数图象上点的坐标特征 83 27.若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则( _ ) A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 【解析】解:∵二次函数y=x2, ∴该二次函数的抛物线开口向上,且对称轴为y轴. ∴当x≥0时,y随x的增大而增大, ∵0<1<2,∴y1<y2<y3, 故选:A. A 84 28.在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)上任意两点. (1)若对于x1=1,x2=5,有y1=y2,则h= _ ; (2)若对于0<x1<1,4<x2<5,都有y1>y2,则h的取值范围是 _ . 【解析】解:(1)若对于x1=1,x2=5,有y1=y2, 得M(x1,y1),N(x2,y2)关于对称轴对称, 则h=(1+5) 2=3; 故答案为:3; (2)由抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)开口向下, 3 h≤2 85 对于0<x1<1,4<x2<5,即x1<x2都有y1>y2, 得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近, 故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧, 故 (x1+x2)>h, 故h≤(0+4) 2=2. 故答案为:h≤2. 86 五.二次函数图象与几何变换 87 29.将抛物线y=(x-2)2+1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的表达式是( _ ) A.y=(x-2)2 B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-4)2+2 D.y=x2+2 【解析】解:将抛物线y=(x-2)2+1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的表达式是y=(x-2+2)2+1+1,即y=x2+2. 故选:D. D 88 30.如图,将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,得到图象C1,当直线y=x+b与图象C1恰有两个公共点时,b的取值范围是 . 【解析】解:当y=0时,x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴A(-1,0),B(3,0), 当直线y=x+b过A点时,直线y=x+b与图形C1有三个公共点, ∴0=-1+b, 解得b=1, 89 当直线y=x+b过B点时,直线y=x+b与图形C1恰有1个公共点, ∴0=3+b, 解得b=-3, 将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折得到-y=x2-2x-3,即y=-x2+2x+3, 令x+b=-x2+2x+3,整理得x2-x-3+b=0, 若直线y=x+b与抛物线y=-x2+2x+3有一个交点,则 =0, ∴(-1)2-4(-3+b)=0,解得b= , ∴当直线y=x+b与图形C1恰有两个公共点时,b的取值范围为-3<b<1或b> , 90 六.待定系数法求二次函数解析式 91 31.已知二次函数y=ax2+bx-5a(a,b是实数,a≠0). (1)若该函数图象经过点(1,2),(0,5),求该二次函数的表达式及顶点坐标; (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,A(x1,y1),B(x2,y2)为该函数图象上的任意两点,其中x1<x2,求当x1,x2为何值时,y1=y2=3a; (3)若该二次函数满足当x≥0时,总有y随x的增大而减小,且过点(1,3),当a<b时,求4a+b的取值范围. 【解析】解:(1)∵点(1,2),(0,5)在二次函数y=ax2+bx-5a上, ∴ , 92 解得: , ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+5, ∴y=-x2-2x+5=-(x2+2x+1)+6=-(x+1)2+6, ∴顶点坐标为(-1,6), 综上所述:二次函数的表达式为y=-x2-2x+5,顶点坐标为(-1,6). (2)∵对称轴为直线x=1, ∴- =1, ∴b=-2a, ∴y=ax2-2ax-5a, 93 当y=3a时,即ax2-2ax-5a=3a, ∴a(x-4)(x+2)=0, ∵a≠0, ∴x1=-2,x2=4, ∴当x1=-2,x2=4时,y1=y2=3a. (3)由题意, ∵二次函数y=ax2+bx-5a满足当x≥0时,总有y随x的增大而减小, ∴a<0,- ≤0, ∴b≤0, ∵二次函数y=ax2+bx-5a过点(1,3), 94 ∴b=4a+3≤0,4a+b=8a+3, ∴a≤- , 又a<b, ∴a<4a+3. ∴-3a<3. ∵a>-1, ∴-1<a≤- , 又∵4a+b=8a+3, ∴-5<8a+3≤-3, ∴-5<4a+b≤-3. 95 七.抛物线与x轴的交点 96 32.二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示,对称轴直线x=1,它的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,顶点为D.且A(-1,0),则下列结论不正确的是( _ ) A.a=2 B.图象的顶点坐标D为(1,-4) C.当x<-1或x>3时,函数值y>0 D.当x>0时,y随x的增大而增大 【解析】解:∵A(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1, ∴B(3,0). ∴抛物线的表达式为:y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. D 97 ∴a=2,故A正确,不符合题意. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点D的坐标为(1,-4),故B正确,不符合题意. 令y=0,则0=x2-2x-3, ∴x=3或x=-1. 又结合图象, ∴当x<-1或x>3时,函数值y>0,故C正确,不合题意. ∵抛物线对称轴为直线x=1,开口向上 ∴当x>1时,y随x的增大而增大, 而当x>0时,y随x的增大而先减小后增大,故D错误,符合题意. 故选:D. 98 33.若抛物线y=x2-ax+1(a为常数)与x轴有且只有一个公共点,则a的值为 _ . 【解析】解:∵抛物线y=x2-ax+1(a为常数)与x轴有且只有一个公共点, ∴ =a2-4=0, ∴a= 2. 故答案为: 2. 2 99 34.已知抛物线 的顶点为点C,与x轴分别交于点A,B(点A在点B左侧),抛物线L2与抛物线L1关于x轴对称,顶点为点D,若四边形ACBD为正方形,则a的值为 . 【解析】解:∵抛物线L1:y=a(x-h)2-2(a≠0)的顶点为点C, ∴C(h,-2), 又∵抛物线L1:y=a(x-h)2-2(a≠0)与x轴分别交于点A,B(点A在点B左侧), ∴a>0,抛物线开口向上. 当y=0时,a(x-h)2-2=0, 100 整理得:(x-h)2= , 解得x=h , ∵点A在点B左侧, ∴A(h- ,0),B(h+ ,0), ∴AB=h+ -(h- )= ,且A、B关于对称轴对称. ∵抛物线L2与抛物线L1关于x轴对称,顶点为D, ∴D(h,2),C、D关于x轴对称. ∴CD=2-(-2)=4. 101 ∵四边形ACBD为正方形, ∴AB=CD. ∴ =4(a>0), ∴a= . 经检验,a= 是方程的解,也符合题意. 故答案为: . 102 35.若抛物线y=x2+2x-a(a为常数)与x轴有且只有一个交点,则a的值为 _ . 【解析】解:由题意,∵物线y=x2+2x-a与x轴有且只有一个交点, ∴ =22-4 1 (-a)=4+4a=0. ∴a=-1. 故答案为:-1. -1 103 36.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得 APC的面积最大.若存在,请直接写出点P坐标和 APC的面积最大值;若不存在,请说明理由. 【解析】解:(1)将B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c中, 104 , 解得: , ∴抛物线y=-x2-2x+3. (2)令y=0,则0=-x2-2x+3, 解得:x1=-3,x2=1, ∴A(-3,0), ∴OA=3, ∵C(0,3), ∴OC=3, 105 过点P作PE⊥x轴于点E, _ 设P(x,-x2-2x+3),且在第二象限内, ∴OE=-x,AE=3+x, 106 ∴S APC=S APE+S梯形PCOE-S AOC = AE PE (OC+PE) OE- OA OC = (3+x)(-x2-2x+3)+ (3-x2-2x+3)(-x) 3 3 = (x+ )2+ ∵ <0, ∴S有最大值, ∴当x= 时,S有最大值,最大值为 ,此时点P的坐标为( , ). 107 37.在二次函数y=x2+2mx+m-1中, (1)若该二次函数图象经过(0,0),求该二次函数的解析式和顶点坐标. (2)求证:不论m取何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点. (3)若m<0时,点A(n-2,p),B(2,q),C(n,p)都在这个二次函数图象上且m-1>q>p,求n的取值范围. 【解析】(1)解:∵二次函数y=x2+2mx+m-1的图象经过(0,0), ∴m-1=0, ∴m=1, ∴抛物线为y=x2+2x, ∵y=x2+2x=(x+1)2-1, 108 ∴对称轴直线x=-1,顶点坐标(-1,-1). (2)证明:∵ =4m2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点. (3)解:∵B(2,q),C(n,p)在二次函数y=x2+2mx+m-1图象上, ∴对称轴直线 , ∴n=-m+1. ∵m<0, ∴n>1, ∵抛物线过B(2,q), ∴4+4m+m-1=q,即q=5m+3, 109 ∵m-1>q, ∴m-1>5m+3,解得m<-1,即n>2, ∵抛物线开口向上, ∴当抛物线上的点离对称轴越近,函数值越小. ∵q>p, ∴n-(-m)<|-m-2|, 当n+m<m+2,解得n<2,不合题意舍去, 当n+m<-m-2,即n+1-n<n-1-2,解得n>4, 故n的取值范围是n>4. 110 38.已知二次函数y=-x2-4x+m. (1)若该二次函数的最大值为2m,求m的值; (2)若该二次函数向右平移2个单位长度,向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点,求m的取值范围. 【解析】解(1)∵二次函数解析式为y=-x2-4x+m=-(x+2)2+m+4, ∴当x=-2时,二次函数有最大值m+4, ∵该二次函数的最大值为2m, ∴m+4=2m, ∴m=4; (2)把二次函数y=-(x+2)2+m+4向右平移2个单位长度, 111 向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为y=-(x+2-2)2+m+4-4=-x2+m, ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点,且抛物线开口向下, ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方, ∴m>0. 112 39.在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0). (1)若点(1,0)和(2,1)在该函数的图象上,则函数图象的顶点坐标是 ; (2)若点(2,1)在该函数的图象上,且该函数图象与x轴有两个不同的交点A、B(A在B的左边),OB=30A,则a= ; (3)已知a=b=1,当x=m,n(m,n是实数,m≠n)时,该函数对应的函数值分别为M,N.若m+n=1,求证: . 【解析】(1)解:由题意得: , 113 解得: , 则抛物线的表达式为:y=x2-2x+1, 则顶点坐标为:(1,0), 故答案为:(1,0); (2)解:将(2,1)代入抛物线表达式得:y=4a+2b+1=1, 则b=-2a, 则抛物线的表达式为:y=ax2-2ax+1, 则抛物线的对称轴为直线x=1, 当点A在y轴左侧时, 设点A(m,0),则点B(-3m,0), 114 则抛物线的表达式为:y=a(x-m)(x+3m)=a(x2+2mx-3m2)=ax2-2ax+1, 则x=1=-m且-3am2=1, 解得:a=- , 当点A在y轴右侧时, 设点A(m,0),则点B(3m,0), 则抛物线的表达式为:y=a(x-m)(x-3m)=a(x2-4mx+3m2)=ax2-2ax+1, 则x=1=2m且3am2=1, 解得:a= , 故答案为: 或 ; 115 (3)证明:a=b=c=1时,y=x2+x+1, ∵m+n=1,m≠n, ∴n=1-m,m≠1, ∴M=m2+m+1,N=n2+n+1=(1-m)2+(1-m)+1, ∴M+N=m2+m+1+(1-m)2+(1-m)+1=2m2-2m+4=2(m- )2+ , ∵m≠ , ∴2(m- )2+ > , ∴M+N> . 116 40.已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表: x … -2 -1 0 2 3 … y … 5 0 -3 -3 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标. (2)点P为抛物线上一点,抛物线与x轴交于A、B两点,若S PAB=12,求出此时点P的坐标. 【解析】解:(1)由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),(3,0), ∴y=a(x+1)(x-3), 把点(0,-3)代入得,-3=-3a, 117 ∴a=1, ∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3, ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点坐标为:(1,-4); (2)∵抛物线与x轴交于A、B两点, ∴A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4, ∵点P为抛物线上一点,S PAB=12, ∴S PAB= =12, ∴yP= 6, 118 ∵抛物线y=x2-2x-3开口向上,顶点为(1,-4), ∴y=-6不合题意, 把y=6代入y=x2-2x-3得,x2-2x-3=6, 解得x=1 , ∴点P的坐标为(1- ,6)或(1+ ,6). 119 八.二次函数的应用 120 41.如图,某小区有一块菱形绿地ABCD,其中∠A=60 ,计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ,使点M,N,P,Q分别在边AB,BC,CD,AD上.记MN=x m,PN=y m,图中阴影部分的面积为S m2,当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是( _ ) A.一次函数关系,反比例函数关系 B.二次函数关系,一次函数关系 C.一次函数关系,二次函数关系 D.反比例函数关系,二次函数关系 C 121 【解析】解:连接对角线AC,BD,BD交MN于点E,如图: _ 根据菱形和矩形都是中心对称图形可知,AM=AQ=CM=CP,BM=BN=DP=DQ, ∵∠BAD=60 ,AM=AQ, ∴ AMQ是等边三角形, ∴AM=MQ=NP=y, 设AB=m,则BM=m-y, 122 ∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60 , ∴∠ABC=120 , ∴∠MBE=60 , ∴ME=MB•sin60 = (m-y), ∵ME= MN= x, ∴ x= (m-y), ∴y=m- x, ∴y与x满足一次函数关系; 123 ∵AB=AD,∠BAD=60 , ∴ ABD是等边三角形, ∴BD=m, ∴AC= AB= m, ∴S菱形ABCD= BD•AC= m2, ∴S=S菱形ABCD-S矩形MNPQ= m2-xy= m2-x(m- x)=- x2-mx+ m2, ∴S与x满足二次函数关系, 124 42.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为( _ ) m. A.13 B.14 C.15 D.16 D 125 【解析】解:由题意得,S=16t-4t2=-4(t-2)2+16, ∵-4<0, ∴当 t=2时,s最大. ∴当t=2时,汽车停下来,滑行了16m. 故选:D. 126 43.如图,一男生推铅球,铅球行进高度y(单位:米)是水平距离x(单位:米)的二次函数,即铅球飞行轨迹是一条抛物线.该男生推铅球出手时,铅球的高度为1.6米;铅球飞行至水平距离4米时,铅球高度为4米,铅球落地时水平距离为8米.有下列结论:①铅球飞行至水平距离3.5米时,铅球到达最大高度,最大高度为4.05米; ②当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为: ; 127 ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等. 其中,正确结论的个数是( _ ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】解:由题意,抛物线过(0,1.6),(4,4),(8,0), 设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(0≤x≤8), B 128 ∴ . ∴ . ∴函数的表达式为y=- x2+ x+ ,故②正确. 由题意,函数的对称轴是直线x=- 129 = , ∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米,而从最高点运动至落地的水平距离为8- = (米),故③错误. 由题意,当铅球飞行至水平距离3.5米时,铅球到达最大高度,最大高度为y=- ( )2+ + =4.05(米),故①正确. 综上,正确的有①②共2个. 故选:B. 130 44.掷实心球是中学生体质健康检测中的一项,体育老师给出标准示范围,小明发现实心球飞行路线是一条抛物线,若不考虑空气阻力,实心球的飞行高度y(米)与飞行的水平距离x(米)之间具有函数关系 y=- ,则小明这次实心球训练的成绩为 _ ._ 【解析】解:令y=0,即- x2+ x+ =0,(x>0)解得:x=10, 故答案为:10m. 10m 131 45.小郭在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元). (1)直接写出y与x的函数关系式. (2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元? (3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售所获利润最大,并求出此时的最大利润. 【解析】解:(1)根据题意得,y=200-10(x-8)=-10x+280, 故y与x的函数关系式为y=-10x+280; 132 (2)根据题意得,(x-6)(-10x+280)=720, 解得:x1=10,x2=24(不合题意舍去), 答:要使日销售利润为720元,销售单价应定为10元; (3)根据题意得, w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1210, ∵-10<0, ∴当x<17时,w随x的增大而增大, ∴当x=12时,w所获利润最大,为960元, 答:当x为12时,日销售利润最大,最大利润960元. 133 46.一次足球训练中,小天在球门正前方的A处射门,足球射向球门的运动路线为抛物线,足球在离地面4米处到达最高点,此时足球与球门的水平距离为6米.已知球门高OB为2.44米,足球离地面3米时,其与球门的水平距离为10米.现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式,并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球; (2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守,他跳起后能拦截的最大高度为2.31米,求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门? 134 _ 【解析】解:(1)由题意,∵抛物线的顶点坐标为(6,4),且抛物线过点(10,3), 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4, 又过(10,3), ∴3=a(10-6)2+4. 135 ∴a=- . ∴抛物线的解析式为y=- (x-6)2+4. 令x=0,则y=- (0-6)2+4=1.75. ∵OB=2.44>1.75, ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球. (2)由题意,令y=2.31,则2.31=- (x-6)2+4, ∴x=11.2或x=0.8. ∵防守队员辉辉正在抛物线对称轴的左侧加强防守, 136 ∴x=0.8. 答:辉辉需要站在离球门0.8m以内的地方才可能防住这次射门. 137 47.在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒. (1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本); (2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求每盒产品的售价为多少元时,每天的利润最大,最大利润是多少? 【解析】解:(1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元, 根据题意,得 , 138 解得m=3, 经检验m=3是方程的解, ∴1.5m=4.5, ∴每盒产品的成本是:4.5 2+4 3+9=30(元), 答:每盒产品的成本为30元 (2)根据题意,得w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1400x-33000, ∴w关于x的函数解析式为:w=-10x2+1400x-33000; ∴w=-10x2+1400x-33000=-10(x-70)2+16000, ∵-10<0, ∴抛物线开口向下, ∴当每盒产品的售价为70元时,每天最大利润为16000元. 139 48.根据以下素材,探索完成任务. 如何调整蔬菜大棚的结构? 素材1 我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟,一块土地上有一个蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在墙体OA上,另一端固定在墙体BC上,其横截面有2根支架DE,FG,相关数据如图2所示,其中DE=BC,OF=DF=BD. _ 140 素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架,为增加棚内空间,拟将图2中棚顶向上调整,支架总数不变,对应支架的长度变化如图3所示,调整后C与E上升相同的高度,增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计),现有改造经费32000元. _ 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,求抛物线的函数表达式. 141 任务2 尝试改造方案 当CC′=1米,只考虑经费情况下,请通过计算说明能否完成改造. 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下,求出CC′的最大值. 【解析】解:(1)如图建立如图所示的坐标系, ∴A(0,1),C(6,3.4), ∴y=ax2+bx+1, ∵OF=DF=BD=2,DE=BC, ∴抛物线的对称轴为直线 , 142 _ ∴y=ax2-10ax+1,将C(6,3.4)代入解析式得, , ∴ , (2)如图,建立与(1)相同的坐标系, ∵CC′=1, ∴C为(6,4.4), ∵改造后对称轴不变,设改造后抛物线解析式为 y=ax2-10ax+1 143 将C(6,4.4)代入解析式得a=- , _ ∴y=- x2+ x+1, ∴G为 ,G′为 (2, ), ∴GG′= , 144 ∴共需改造经费 , ∴能完成改造. (3)如图,设改造后抛物线解析式为 y=ax2-10ax+1, 则G为 (2,-16a+1),E为 (4,-24a+1), ∴EE′+GG′=-16a+1-24a+1-( +3.4)=-40a-4, (-40a-4) 200 60≤32000, 解得 , ∵CC′=EE′=-24a+1-3.4,∴ 时,CC′的值最大,为1.6米. 145 九.二次函数综合题 146 49.已知二次函数y=ax2-2ax+a+1(a≠0)与y轴交于点A,点B与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求该二次函数的顶点坐标; (2)当点B的坐标为(2,3)时,求该二次函数的表达式; (3)当OB≤2 时,求a的取值范围. 【解析】解:(1)∵y=ax2-2ax+a+1=a(x2-2x+1)+1=a(x-1)2+1, ∴该二次函数的顶点坐标为(1,1); (2)∵抛物线y=ax2-2ax+a+1的顶点坐标为(1,1), ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 147 ∵点B与点A关于抛物线y=ax2-2ax+a+1的对称轴对称,点B的坐标为(2,3), ∴点A的坐标为(0,3), ∴a+1=3, ∴a=2, ∴该二次函数的表达式为y=2x2-4x+2+1=2x2-4x+3; (3)情况①:当a>0时,如图①, 148 _ ∵点B与点A关于直线x=1对称,点A在y轴上, ∴点B在直线x=2上, 设直线x=2与x轴交于点C,则OC=2, ∵ OCB是直角三角形, ∴当OB=2 时,BC=2, 149 ∴点B坐标为(2,2), ∴点A的坐标为(0,2), ∴a+1=2.则a=1, ∴当a≤1时,OB≤2 , ∴0<a≤1时,OB≤2 ; _ 150 情况②:当a<0时,如图②, ∵点B与点A关于直线x=1对称,点A在y轴上, ∴点B在直线x=2上, 设直线x=2与x轴交于点C,则OC=2, ∵ OCB是直角三角形, ∴当OB=2 时,BC=2, ∴点B坐标为(2,-2), ∴点A的坐标为(0,-2), ∴a+1=-2.则a=-3, ∴当a≥-3时,OB≤2 , 151 ∴-3≤a<0时,OB≤2 , ∴当OB≤2 时,a的取值范围为0<a≤1或-3≤a<0. 152 50.在直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0)与y轴相交于A点. (1)若抛物线经过点(1,6),(-2,3),求a,b的值; (2)已知3a+b=0,若-1≤x≤2,y有最大值9,求a的值; (3)①求A点坐标; ②已知a<0,t≠0,若抛物线经过(-2,m),(-3,n)和(t,1),且1<n<m,求t的取值范围. 【解析】解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+1经过点(1,6),(-2,3), ∴ , 153 解得 , ∴a,b的值分别为2,3; (2)∵3a+b=0, ∴b=-3a, 则抛物线为y=ax2-3ax+1, ∵y=ax2+bx+1=a , ∴抛物线顶点坐标为 , ①当a>0时,抛物线开口向上, , 154 ∴当x=-1 时,y=a+3a+1=4a+1为最大值, 即4a+1=9, 解得a=2; ②当a<0时,抛物线开口向下, ∴当 时, 为最大值, 即 ,解得 , 综上所述,a=2或 ; (3)①∵抛物线 y=ax2+bx+1, 当x=0时,y=1,所以A点坐标为(0,1); 155 ②∵(t,1),(0,1)均在抛物线上, ∴抛物线 y=ax2+bx+1 的对称轴为直线 , ∵抛物线经过(-2,m),(-3,n), ∴m=4a-2b+1,n=9a-3b+1,1<n<m, ∴1<9a-3b+1<4a-2b+1, ∴-3a<-b<-5a, ∵a<0, ∴ , ∴ ,∴-5<t<-3. 156 $$