第21章 一元二次方程 基础题过关检测★【9个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 基础题过关检测★ 【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程 四．解一元二次方程 五．解一元二次方程 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 2 一．一元二次方程的定义 3 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( ____ ) A.x-2y=1 B. C.x2-2y+4=0 D.x2-2x+1=0 【解析】解：A．方程x-2y=1是二元一次方程，选项A不符合题意； B．方程x2+3= 是分式方程，选项B不符合题意； C．方程x2-2y+4=0是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2-2x+1=0是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D． D 4 2.下列方程中是一元二次方程的是( ____ ) A.x+y2=2 B.x+4=2 C.x2+4x=2 D. 【解析】解：A、是二元二次方程，故此选项不符合题意．； B、是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． C 5 3.下列方程中是一元二次方程的是( ____ ) A.x2-1=0 B.y2+x=1 C.2x+1=0 D.x+ =1 【解析】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． A 6 二．一元二次方程的解 7 4.若关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根是x=1，则代数式2027-a-b的值为( ____ ) A.-2023 B.2023 C.-2024 D.2024 【解析】解：将x=1代入原方程得：a+b-3=0， ∴a+b=3， ∴2027-a-b=2027-(a+b)=2027-3=2024． 故选：D． D 8 5.若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为( ____ ) A.2 B.-2 C.2或-2 D. 【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0， ∴a2-4=0且a+2≠0， 解得：a=2，故选：A． A 9 6.已知x=n是方程x2+x-1=0的根，则式子3n2+3n+2021的值为 ______ ． 【解析】解：∵x=n是方程x2+x-1=0 的根， ∴n2+n-1=0， ∴n2+n=1， 3n2+3n+2021 =3(n2+n)+2021 =3+2021 =2024， 故答案为：2024． 2024 10 7.如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式2m2-4m-7的值为 ____ ． 【解析】解：把m代入方程x2-2x-6=0，得到m2-2m-6=0， 所以m2-2m=6， 所以代数式2m2-4m-7=2×6-7=5； 故答案为：5． 5 11 8.如果关于x的一元二次方程(m-5)x2+4x+m2-25=0有一个解是0，那么m的值是 ____ ． 【解析】解：把x=0代入方程(m-5)x2+4x+m2-25=0中，得 m2-25=0， 解得m=-5或5， 当m=5时，原方程二次项系数m-5=0，舍去， 故m=-5符合题意． 故答案为：-5． -5 12 9.如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是 　　(只写一个)． 【解析】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是x2-9=0； 故答案为：x2-9=0(答案不唯一)． 13 10.若x=2是关于x的方程mx2-nx=6的解，则2024-2m+n的值为 ______ ． 【解析】解：∵x=2是关于x的方程mx2-nx=6的解， ∴4m-2n=6， 即2m-n=3， ∴2024-2m+n=2024-(2m-n)=2024-3=2021． 故答案为：2021． 2021 14 11.若x=1是一元二次方程x2+mx-1=0的一个根，则m的值是 ____ ． 【解析】解：把x=1代入方程x2+mx-1=0得1+m-1=0， 解得m=0， 即m的值为0． 故答案为：0． 0 15 三．解一元二次方程 16 12.用配方法解方程x2-2x=1时，配方后所得的方程( ____ ) A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2 【解析】解：∵x2-2x=1， ∴(x-1)2=2， 故选：D． D 17 13.解方程： (1)x2-2x-4=0； (2)(x+1)(x-3)=-4． 【解析】解：(1)∵a=1，b=-2，c=-4， ∴Δ=4-4×1×(-4)=20＞0， ∴x= =1± ； ∴x1=1+ ，x2=1- ． (2)整理得：x2-2x+1=0， ∴(x-1)2=0， 18 则x-1=0或x-1=0， ∴x1=x2=1． 19 14.解方程：x2-2x-7=0． 【解析】解：x2-2x+1=8 (x-1)2=8 x-1= ∴ ∴x1=1+2 ，x2=1-2 ． 20 四．解一元二次方程 21 15.方程x2+x-1=0的一个根是( ____ ) A.1- B. C.-1+ D. 【解析】解：∵a=1，b=1，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=12-4×(-1)=5， D 22 则x= ， 所以x1= ，x2= ． 故选：D． 23 16.解方程：4x2+2x-1=0． 【解析】解：4x2+2x-1=0， a=4，b=2，c=-1， b2-4ac=4-4×4×(-1)=20＞0， ∴x= ， x1= ，x2= ． 24 17.解方程： (1)x2-4x=3 (2)x2-4=2(x+2) 【解析】解：(1)x2-4x-3=0， △=(-4)2-4×(-3)=28＞0， x= 所以x1=2+ ，x2=2- ； (2)(x+2)(x-2)-2(x+2)=0， (x+2)(x-2-2)=0， 25 x+2=0或x-2-2=0， 所以x1=-2，x2=4． 26 五．解一元二次方程 27 18.下列哪个数是方程x2-6x+8=0的解( ____ ) A.-8 B.-2 C.2 D.5 【解析】解：方程分解因式得：(x-2)(x-4)=0， ∴x-2=0或x-4=0， 解得：x=2或x=4， 故选：C． C 28 19.一元二次方程x2-2x=0的解是( ____ ) A.x1=3，x2=1 B.x1=2，x2=0 C.x1=3，x2=-2 D.x1=-2，x2=-1 【解析】解：x2-2x=0， x(x-2)=0， 则x=0或x-2=0， 解得：x1=2，x2=0． 故选：B． B 29 20.解方程：x2-5x+6=0． 【解析】解：∵x2-5x+6=0， ∴(x-2)(x-3)=0， 则x-2=0或x-3=0， 解得x1=2，x2=3． 30 21.解方程． (1)x2+2x-3=0； (2)6x2+5x-6=0． 【解析】解：(1)x2+2x-3=0， (x-1)(x+3)=0， 则x-1=0或x+3=0， 解得：x1=1，x2=-3； (2)6x2+5x-6=0， Δ=b2-4ac=25-4×6×(-6)=25+144=169＞0， 31 则x= ， 解得：x1=- ，x2= ． 32 22.解方程： (1)x2+4=4x； (2)x(x+1)=x+1． 【解析】解：(1)x2+4=4x, 移项得：x2-4x+4=0， 分解因式得：(x-2)2=0， 解得：x1=x2=2； (2)x(x+1)=x+1， 移项得：x(x+1)-(x+1)=0， 分解因式得：(x+1)(x-1)=0，解得：x1=-1，x2=1． 33 23.解方程： (1)(x+2)2=3x+6； (2)x2+6x+4=0(配方法或公式法)． 【解析】解：(1)原方程整理得：(x+2)2-3(x+2)=0， 因式分解得：(x+2)(x-1)=0， 解得：x1=-2，x2=1； (2)原方程整理得：x2+6x=-4， 配方得：x2+6x+32=-4+32， 即(x+3)2=5， 直接开平方得：x+3=± ，解得：x1= -3，x2=- -3． 34 24.解方程：x2-6x+5=0(两种方法)． 【解析】解：方法一：(x-5)(x-1)=0， x-5=或x-1=0， 所以x1=5，x2=1； 方法二：x2-6x=-5， x2-6x+9=4， (x-3)2=4， x-3=±2， 所以x1=5，x2=1． 35 六．根的判别式 36 25.关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ____ ) A.m＞2 B.m＜2 C.1＜m＜2 D.m＜2且m≠1 【解析】解：由题意得，Δ=22-4(m-1)＞0，且m-1≠0， 解得，m＜2，且m≠1． 故选：D． D 37 26.下列方程中，有实数根的是( ____ ) A. B. C.x2-x+1=0 D.x3+1=0 【解析】解：A、由 可知 无解，故不符合题意； B、由 去分母得x=1，经检验当x=1时，x-1=0，所以原方程无解，故不符合题意； D 38 C、由x2-x+1=0可知：Δ=b2-4ac=1-4=-3＜0，所以原方程无解，故不符合题意； D、由x3+1=0可知x3=-1，解得x=-1，原方程有解，故符合题意； 故选：D． 39 27.如果关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是( ____ ) A.k≥ B.k≥- 且k≠0 C.k≤ 且k≠0 D.k≤- 【解析】解：因为关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， 所以(-3)2-4k≥0， C 40 解得k≤ ， 又因为k≠0， 所以k的取值范围是：k≤ 且k≠0． 故选：C． 41 28.关于x的一元二次方程(m-4)x2+2mx+m+3=0有实根，则m取值范围是 _______________ ． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m-4)x2+2mx+m+3=0有实数根， ∴ ， 解得m≥-12且m≠4． 故答案为：m≥-12且m≠4． m≥-12且m≠4 42 29.已知关于x的一元二次方程(3a-1)x2-ax+ =0有两个相等的实数根，则代数式 的值等于 ____ ． 【解析】解：根据题意得3a-1≠0且Δ=a2-4×(3a-1)× =0，即a2-3a+1=0， 所以原式=a2-3a+1+a+ =0+a+ = = =3． 故答案为3． 3 43 30.若关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　　． 【解析】解：根据题意得k-1≠0且Δ=(-2)2-4×(k-1)×2＞0， 解得k＜ 且k≠1． 即k的取值范围是k＜ 且k≠1． 故答案为：k＜ 且k≠1． 44 31.如果方程(m-2)x+7=0是关于x的一元一次方程，是判断关于y的方程y(y+2m)+m(1-y)-1=0的根的情况，并说明理由． 【解析】解：关于y的方程y(y+2m)+m(1-y)-1=0有两个不相等的实数解． 理由如下： ∵方程(m-2)x+7=0是关于x的一元一次方程， ∴m-2≠0，即m≠2， 方程y(y+2m)+m(1-y)-1=0整理为y2+my+m-1=0， ∵Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2， ∴(m-2)2＞0，∴关于y的方程y(y+2m)+m(1-y)-1=0有两个不相等的实数解． 45 七．根与系数的关系 46 32.若x1，x2是方程x2+5x-6=0的两个根，则( ____ ) A.x1x2=-6 B.x1x2=6 C.x1+x2=5 D.x1+x2=7 【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=-5，x1x2=-6． 故选：A． A 47 33.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是( ____ ) A.3 B.-3 C.-4 D.4 【解析】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1，x2， ∴x1•x2=3． 故选：A． A 48 34.已知m,n是一元二次方程x2-2x-4=0的两个根，则m+n-mn的值为 ____ ． 【解析】解：∵m,n是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-4， ∴m+n-mn =2-(-4) =6， 故答案为：6． 6 49 35.已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的两根分别是x1，x2，若 ，则m的值为 ____ ． 【解析】解：关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的两根分别是x1，x2 那么a=1，b=-m,c=-2 ∴ ， ∴ ∴m=-2． 故答案为：-2． -2 50 36.已知x=-2是关于x的一元二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根． (1)求c. (2)求此方程的另一个根． 【解析】解：(1)∵x=-2是关于x的一元二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根， ∴4-2+c2-8c-2=0， ∴c2-8c=0， 即c(c-8)=0， 解得c1=0，c2=8． 故c的值是0或8； 51 (2)当c=0时， x2+x-2=0，即(x-1)(x+2)=0， 解得x1=1，x2=-2． 当c=8时， x2+x-2=0，即(x-1)(x+2)=0， 解得x1=1，x2=-2． 故另一根为x=1． 52 37.已知方程x2-(k-1)x-6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 【解析】解：设方程x2-(k-1)x-6=0另一个根是α， ∴ ， 解得 ， ∴k的值为0，方程的另一个根为2． 53 八．由实际问题抽象出一元二次方程 54 38.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( ____ ) A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182 【解析】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2， ∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182． 故选：B． B 55 39.2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价x%销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则( ____ ) A.b=a(1-2x%) B.b=a(1-x%)2 C.b=a-a(1-x%)2 D.b=a-a(1-2x%) 【解析】解：根据题意得，b=a-a(1-x%)2， 故选：C． C 56 40.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为( ____ ) A.1+2x=100 B.x(1+x)=100 C.(1+x)2=100 D.1+x+x2=100 【解析】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 (x+1)2=100，故选：C． C 57 41.有一张矩形纸片，长10cm,宽6cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm,根据题意，可列方程为( ____ ) A.6×10-4×6x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32 C.(10-x)(6-x)=32 D.6×10-4x2=32 【解析】解：设剪去的小正方形边长是x cm,则纸盒底面的长为(10-2x)cm,宽为(6-2x)cm, B 58 根据题意得：(10-2x)(6-2x)=32． 故选：B． 59 42.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x,那么可列出方程是( ____ ) A.20(1+2x)=31.2 B.20(1+2x)-20=31.2 C.20(1+x)2=31.2 D.20(1+x)2-20=31.2 【解析】解：根据题意得：20(1+x)2-20=31.2． 故选：D． D 60 43.山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒(25mg)从200元降至15元．若该药品每轮降价率相同．设每轮降价率为x,则根据题意可列方程为( ____ ) A.200(1+x)2=15 B.200(1-2x)=15 C.200(1-x)=15 D.200(1-x)2=15 【解析】解：根据题意得：200(1-x)2=15．故选：D． D 61 44.某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了525个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意，请列出方程 　　． 【解析】解：根据题意得：300(1+x)2=525． 故答案为：300(1+x)2=525． 62 45.某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x,根据以上信息列关于x的一元二次方程为 　　． 【解析】解：根据题意得：225(1-x)2=225-29． 故答案为：225(1-x)2=225-29． 63 46.某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是x,则根据题意，可列方程为 　　． 【解析】解：∵平均每次降价的百分率是x,原价是50， ∴经过一次降价为50(1-x)，经过两次降价为50(1-x)2， ∵经过两次降价为32， ∴50(1-x)2=32 故答案为：50(1-x)2=32． 64 47.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为t,则可列方程是 　　． 【解析】解：依照题意，画出图形，如图所示． _____ 根据题意得：102+(3t)2=(7t-10)2． 故答案为：102+(3t)2=(7t-10)2． 65 九．一元二次方程的应用 66 48.劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率． 【解析】解：设该作物平均每年的增产率为x,根据题意，得 200(x+1)2=242， 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去)． 答：该作物平均每年的增产率为10%． 67 49.直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为200元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 【解析】解：设每次降价的百分率为x, 依题意得，200(1-x)2=128， ∴(1-x)2=0.64， 1-x=0.8或1-x=-0.8， 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去) 答：每次降价的百分率为20%． 68 50.在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率． 【解析】解：设养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x, 依题意得：4(1+x)2=4.84， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去)． 答：养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%． 69 $$