第21章 一元二次方程 中档题拓展训练课件★★【8个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 中档题拓展训练★★ 【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程 三．解一元二次方程 四．根的判别式 五．根与系数的关系 六．由实际问题抽象出一元二次方程 七．一元二次方程的应用 八．配方法的应用 2 一．一元二次方程的解 3 1.若关于x的一元二次方程x2+x-2k=0有一个实数根为x=-2，则k的值为( ____ ) A.1 B.3 C.-1 D.-2 【解析】解：将x=-2代入原方程得， (-2)2+(-2)-2k=0， 解得k=1． 故选：A． A 4 二．解一元二次方程 5 2.(1)计算： ； (2)解方程：x2-x-1=0． 【解析】解：(1) = +12-2×1× +( )2 =3 +1-2 +2 =3+ ； (2)x2-x-1=0， 这类a=1，b=-1，c=-1， ∵b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5＞0， 6 ∴x= = ， 即x1= ，x2= ． 7 3.解下列方程： (1) ； (2)x2-x-3=0． 【解析】解：(1) ， 去分母得：x-3+2(x-2)=-3， 解得： ， 检验：当 时，x-2≠0， 8 ∴ 是原方程的解； (2)x2-x-3=0 ∵a=1，b=-1，c=-3， ∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13＞0， ∴ ， ∴ ， ． 9 4.解下列一元二次方程： (1)x2+x-1=0； (2)x2+4x-1=0． 【解析】解：(1)x2+x-1=0， 这里a=1，b=1，c=-1， ∵b2-4ac=12-4×1×(-1)=5＞0， ∴x= = ， 解得x1= ，x2= ． (2)x2+4x-1=0， 10 移项，得x2+4x=1． 配方，得x2+4x+4=1+4， 即(x+2)2=5， 解得x=-2± ， 即x1=-2+ ，x2=-2- ． 11 三．解一元二次方程 12 5.解方程：(x-3)(x+2)=0． 【解析】解：(x-3)(x+2)=0， ∴x-3=0或x+2=0， ∴x1=3，x2=-2． 13 6.解下列方程： (1)x2-4x+3=0； (2) ． 【解析】解：(1)x2-4x+3=0， (x-3)(x-1)=0， x-3=0或x-1=0， x1=3，x2=1； (2) = ， 30(x+1)=20x,x=-3， 经检验x=-3是分式方程的解． 14 7.解方程： (1)x2+4x-5=0； (2) ． 【解析】解：(1)x2+4x-5=0， (x+5)(x-1)=0， x+5=0或x-1=0， 解得x1=-5，x2=1； (2) ， 去分母得：4+x-5x+5=2x, 15 解得：x= ， 经检验x= 是分式方程的解． 16 8.解方程： (1) ； (2)(x-3)2=2x-6． 【解析】解：(1) =1- ， 3x=x-2+1， x=- ， 经检验，x=- 是分式方程的解； (2)(x-3)2=2x-6， 17 (x-3)2-2(x-3)=0， (x-3)(x-3-2)=0， (x-3)(x-5)=0， x-3=0或x-5=0， x1=3，x2=5． 18 9.解方程：5x(x-3)=6-2x. 【解析】解：移项得：5x(x-3)+2(x-3)=0， (x-3)(5x+2)=0， x-3=0，5x+2=0， x1=3，x2=- ． 19 四．根的判别式 20 10.一元二次方程2x2-4x+3=0根的情况是( ____ ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【解析】解：∵2x2-4x+3=0， ∴Δ=(-4)2-4×2×3＜0， 故方程没有实数根， 故选：D． D 21 11.若关于x的方程x2-4x+c=0没有实数根，则c的值可以是( ____ ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】解：由题意，知Δ=(-4)2-4c＜0，解得c＞4． ∴c的值可以是5， 故选：A． A 22 12.若一元二次方程x2-bx-1=0的根判别式的值为5，则b的值为( ____ ) A.1 B.±1 C.3 D.±3 【解析】解：因为一元二次方程x2-bx-1=0的根判别式的值为5， 所以Δ=(-b)2-4×1×(-1)=5， 解得b=±1． 故选：B． B 23 13.若实数b,c满足c-b+2=0，则关于x的方程x2+bx+c=0根的情况是( ____ ) A.有两个相等实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【解析】解：∵实数b,c满足c-b+2=0， ∴c=b-2， ∴Δ=b2-4c =b2-4(b-2) =(b-2)2+4＞0， B 24 ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 25 14.下列一元二次方程中，无实数根的是( ____ ) A.x2=1-x B.x2+x+1=0 C.x2-4x=-4 D.x(x-2)-2=0 【解析】解：A选项中，Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5＞0，有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； B选项中，Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，没有实数根，故B选项符合题意； C选项中，Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0，有两个相等的实数根， B 26 故C选项不符合题意； D选项中，Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12＞0，有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意， 故选：B． 27 15.关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是( ____ ) A.a≤1 B.a≤1且a≠0 C.a取一切实数 D.a＜1 【解析】解：分为两种情况：①当a=0时，2x+1=0， 解得：x=- ； ②当a≠0时，∵关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根， ∴Δ=22-4×a×1=4-4a≥0， 解得：a≤1， A 故选：A． 28 16.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 　　． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-c=0有两个相等的实数根， ∴Δ=32-4c=0， 解得c= ， 故答案为： ． 29 17.已知一元二次方程ax2-x+1=0，有两个实数根，则a的取值范围是 　　． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有两个实数根， ∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×a×1=1-4a≥0， 解得：a≤ ， ∴a的取值范围是a≤ 且a≠0． 故答案为：a≤ 且a≠0． 30 18.已知关于x的一元二次方程kx2-(4k-1)x+4k-3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　　． 【解析】解：∵一元二次方程kx2-(4k-1)x+4k-3=0有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得k＞- 且k≠0． 故答案为：k＞- 且k≠0． 31 19.若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有实数根，则m的值可以是 _________________ .(写出一个满足条件的值) 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有实数根， ∴Δ=(2m+1)2-4m2≥0， 即4m+1≥0， 解得m≥- ． 故答案为：0(答案不唯一)． 0(答案不唯一) 32 五．根与系数的关系 33 20.若关于x的方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)的解是x1=4，x2=-6，且m满足 ，则 的值是( ____ ) A.2或-8 B.3或-5 C.2 D.-8 【解析】解：由题意 +1=4或 +1=-6， 解得m=9， C 34 ∴ -1=3-1=2． 故选：C． 35 21.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有(　　)个． ①方程x2-x-2=0是倍根方程； ②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0； ③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac. A.1 B.2 C.3 D.4 36 【解析】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2， ∴方程x2-x-2=0不是倍根方程； 故①不正确； ②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2， 因此x2=1或x2=4， 当x2=1时，m+n=0， 当x2=4时，4m+n=0， ∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0， 故②正确； ③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0， 37 ∴ ，x2=-q, ∴ ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c=0的根为： ， ， 若x1=2x2，则 38 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴9(b2-4ac)=b2， ∴2b2=9ac. 若2x1=x2时，则 39 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴b2=9(b2-4ac)， ∴2b2=9ac. 故④正确， 40 ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 41 22.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1、x2，若x1x2+2x1+2x2=1，则实数k的值为( ____ ) A.-5 B.7 C.-1 D.1 【解析】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2=3，x1x2=k, ∵x1x2+2x1+2x2=1， ∴x1x2+2(x1+x2)=k+2×3=1， A ∴k=-5． 故选：A． 42 23.已知方程x2-3x+1=0的两根是x1，x2，则x1+x2+x1•x2的值是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：∵x2-3x+1=0的两根是x1，x2， ∴x1+x2=3，x1•x2=1， ∴x1+x2+x1•x2=3+1=4． 故选：D． D 43 24.关于x的方程(x-2)(x-3)=p2+1有两个实数根为a和b,a＜b,下列结论正确的是( ____ ) A.a＜2＜3＜b B.a＜2＜b＜3 C.2＜a＜b＜3 D.2＜a＜3＜b 【解析】解：由题知， 关于x的方程(x-2)(x-3)=p2+1的实数根可看成函数y=(x-2)(x-3)的图象与直线y=p2+1的交点横坐标， 如图所示， A 44 ____ 由函数图象可知， a＜2＜3＜b. 故选：A． 45 25.方程x2+mx-3m=0的两根分别为x1、x2，且x1+x2=-1，则x1x2= ____ ． 【解析】解：∵方程x2+mx-3m=0的两根分别为x1、x2，且x1+x2=-1， ∴-1=-m, ∴m=1， ∴x1x2=-3m=-3． 故答案为：-3． -3 46 26.若a,b是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根，则 = ____ ． 【解析】解：∵a,b是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根， ∴a2-2a=5，a+b=2， ∴ = = = = 4 =4． 故答案为：4． 47 27.已知-2是关于x的一元二次方程x2+kx-6=0的一个根，则这个方程的另一个根为 ____ ． 【解析】解：设另一个根为x=m,则-2m=-6， 解得：m=3， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 3 48 28.对于字母m、n,定义新运算m☆n=mn-m-n,若方程x2+3x+1=0的解为a、b,则a☆b+2的值为 ____ ． 【解析】解：∵方程x2+3x+1=0的解为a、b, ∴a+b=-3，ab=1， ∴a☆b+2=ab-a-b+2=1+3+2=6． 故答案为：6． 6． 49 29.若a,b为方程x2-3x+2=0的两个实数根，则a2-3a+2ab的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,b为方程x2-3x+2=0的两个实数根， ∴ab=2，a2-3a+2=0， ∴a2-3a=-2， ∴a2-3a+2ab=-2+4=2． 故答案为：2． 2 50 30.若a,b是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则 的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,b是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根， ∴a+b=5，a2-5a-2=0，即：a2=5a+2， ∴ ， 故答案为：5． 5 51 31.已知α，β是一元二次方程x2-2022x+2023=0的两个根，则α2-2023α-β的值等于 ________ ． 【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2-2022x+2023=0的两个根， ∴α+β=2022，α2-2022α+2023=0， 则α2=2022α-2023， ∴α2-2023α-β =2022α-2023-2023α-β =-2023-(α+β) =-2023-2022 =-4045， -4045 52 32.一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是 ____ ． 【解析】解：设另一个根为x, ∵一元二次方程x2-2x+a=0的一个根是3， ∴3+x=-(-2)， 解得：x=-1， ∴另一个根为-1， 故答案为：-1． -1 53 33.若关于x的一元二次方程x2+2x-3=0的两根分别为x1，x2，则x1•x2值是 ____ ． 【解析】解：∵方程x2+2x-3=0的两根分别为x1，x2， ∴x1•x2= =-3． 故答案为：-3． -3 54 34.已知关于x的方程x2+mx+n=0的根是-1和3，则m+n= ____ ． 【解析】解：根据根与系数的关系得-1+3=-m,-1×3=n, 解得m=-2，n=-3， 所以m+n=-2-3=-5． 故答案为：-5． -5 55 35.若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则m+(n-2)2的值为 ____ ． 【解析】解：∵m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根， ∴m2-5m+2=0，m+n=5， ∴m2-5m=-2，n=5-m ∴m+(n-2)2 =m+(3-m)2 =m2-5m+9 =-2+9 =7． 7 56 六．由实际问题抽象出一元二次方程 57 36.某食品厂生产的驴打滚由于质量过硬，市场反馈良好，1月份销售额为5万元，销售量逐月增加，一季度共销售20万元，已知2、3两个月份销售额的月增长率相同．设2月份销售额的月增长率为x,则可列方程为( ____ ) A.5(1+x)2=20 B.5(1+2x)2=20 C.5+5(1+x)+5(1+x)2=20 D.5+5(1+x)2=20 【解析】解：设2、3月份销售额月增长率为x,则2月份的销售额为5(1+x)，3月份的销售额为5(1+x)2， C 58 由题意得：5+5(1+x)+5(1+x)2=20， 故选：C． 59 37.在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天书面作业时长达150分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为100分钟，设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x,可列方程为( ____ ) A.150(1+x2)=100 B.100(1+x)2=150 C.150(1-x2)=100 D.150(1-x)2=100 【解析】解：根据题意得：150(1-x)2=100． 故选：D． D 60 38.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( ____ ) A.x(x+1)=1035 B. =1035 C.x(x-1)=1035 D.2x(x+1)=1035 【解析】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出(x-1)张； C 61 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x(x-1)=1035． 故选：C． 62 39.公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形AEGH．则能列出关于x的一元二次方程是( ____ ) A.x2+10x=25 B.x2+10x=39 C.x2+10x=64 D.x2+10x=89 【解析】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形， B 63 ∴(x+5)2=64， 整理得：x2+10x=39， 故选：B． 64 40.某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x,由题意列方程应为( ____ ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 D.200[1+x+(1+x)2]=1000 【解析】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x, ∴该超市二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)2万元， C 65 又∵第一季度的总营业额共1000万元， ∴200+200(1+x)+200(1+x)2=1000， 即200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000． 故选：C． 66 七．一元二次方程的应用 67 41.古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+2x-35=0，即x(x+2)=35为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是(x+x+2)2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为(x+1)2，它又等于35+1，据此可得x=5．上述求解过程中所用的数学思想方法是( ____ ) B 68 _____ A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.函数方程思想 D.转化思想 【解析】解：由题意可知，数学思想方法是数形结合思想，故答案为：B． 69 42.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【解析】解：设车道宽度为x米， 根据题意得：(30-x)(19-x)=390， 整理得：x2-49x+180=0， 解得：x1=4，x2=45(不符合题意，舍去)， 答：车道的宽为4米． 70 43.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗？ 【解析】解：(1)设养鸡场的宽为x米，根据题意得： x(33-2x+2)=150， 解得：x1=7.5，x2=10， 71 当x=7.5时，33-2x+2=20＞18，不符合题意，舍去 当x=10时，33-2x+2=15， 则养鸡场的宽是10米，长为15米． (2)设养鸡场的宽为x米，根据题意得： x(33-2x+2)=200， 整理得：2x2-35x+200=0， 即Δ=(-35)2-4×2×200=1225-1600=-375＜0， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到200m2． 答：围成养鸡场的面积不能达到200m2． 72 44.如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x m.(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式； (2)两个鸡场面积和S可以等于160(m2)吗？如果可以，求出此时AB的值． 【解析】解：(1)由题意可得， S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x, 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x； 73 (2)依题意，-3x2+36x=160 即3x2-36x+160=0 ∵Δ=b2-4ac=362-4×3×160=-624＜0， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和S不能等于160(m2) 74 45.如图，在宽为20m,长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450m2，求道路的宽． 【解析】解：设道路的宽为x m, 由题意得：(20-x)(27-x)=450， 整理得：(x-45)(x-2)=0， ∴x1=2，x2=45(舍)， ∴道路的宽为2m. 75 八．配方法的应用 76 46.若M=2x2+x,N=x2-3x-2，则M与N的大小关系为( ____ ) A.M＞N B.M=N C.M＜N D.无法确定 【解析】解：由题意，作差：M-N=(2x2+x)-(x2-3x-2) =x2+4x+2 =(x+2)2-2． 令M-N=0， ∴(x+2)2-2=0． D 77 ∴x=-2± ． 考察函数y=(x+2)2-2， ∵a=1＞0， ∴当x＜2- 或x＞2+ 时，y＞0； 当x=-2± 时，y=0； 当2- ＜x＜2+ 时，y＜0． ∴当x＜2- 或x＞2+ 时，M＞N； 当x=-2± 时，M=N； 当2- ＜x＜2+ 时，M＜N．故选：D． 78 47.通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当a＞0，b＞0时，∵( - )2=a-2 +b≥0，∴a+b≥2 当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当x＞0时，x+ 的最小值为2； ②当x＞0时，y= 的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为800m2的花圃 79 ，所用的篱笆至少需要80m.其中正确的个数是( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】解：①∵x＞0， ∴x+ ≥2 =2， ∴x+ 的最小值为2；故①是正确的； C 80 ②∵x＞0， ∴y= =x+1+ ≥2 +1=2×2+1=5， ∴y的最小值为5；故②是正确的； ③设与墙相邻的一边长为x米，另一边为y米， 则：xy=800， ∴2(x+y)≥2 =2 =40 ， 故③是错误的； 故选：C． 81 48.阅读下列材料： “a2≥0“这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1 ∴x2+4x+5≥1 ∴x2+4x+5 的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知 m2-2m+n2+4n+5=0 则 m+n= ____ ； (2)已知a,b,c是等腰△ABC 的三边长，且a,b满足 a2+b2=6a+14b-58，求△ -1 82 ABC的周长； (3)若 W=x2+6xy+10y2-2x-10y+11 (x、y为实数)，求W的最小值． 【解析】解：(1)由题意，∵m2-2m+n2+4n+5=0， ∴m2-2m+1+n2+4n+4=0，即 (m-1)2+(n+2)2=0． ∴m-1=0，n+2=0． ∴m=1，n=-2． ∴m+n=1-2=-1． 故答案为：-1． (2)由题意，∵a2+b2=6a+14b-58， ∴a2-6a+9+b2-14b+49=0． 83 ∴(a-3)2+(b-7)2=0． ∴a=3，b=7． ①当a=c=3，b=7时，a+c=6＜7，不合题意； ②当a=3，b=c=7时，符合题意，周长为：3+7+7=17． ∴△ABC的周长为17． (3)由题意，W=x2+6xy+10y2-2x-10y+11 =x2+2(3y-1)x+10y2-10y+11 =x2+2(3y-1)x+10y2-10y+11 =x2+2(3y-1)x+9y2-6y+1+y2-4y+10 =(x+3y-1)2+(y-2)2+6． 又对于任意实数x,y有(x+3y-1)2≥0，(y-2)2≥0， 84 ∴当x+3y-1=0，y-2=0时，即x=-5，y=2时，W有最小值，最小值为6． 85 49.阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 86 87 ∴代数式x2+4x+2的最小值为-2． 88 ∴代数式-x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式x2-4x+1的最小值为 ____ ； (2)已知A=2x2-3x+2，B=x2-x-1，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知x+y=3，代数式x2+y+3x-2的最小值为 ____ ． 【拓展提高】 (4)苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． -3 0 89 【解析】解：(1)由题意，∵x2-4x+1=(x-2)2-3， 又对于任意的x都有(x-2)2≥0， ∴x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3． ∴代数式x2-4x+1的最小值为-3． 故答案为：-3． (2)A＞B，理由如下： ∵A-B=2x2-3x+2-(x2-x-1) =2x2-3x+2-x2+x+1 =x2-2x+3 =(x-1)2+2， 又对于任意的x都有(x-1)2≥0， 90 ∴A-B=(x-1)2+2≥2＞0． ∴A＞B． (3)由题意，∵x+y=3， ∴y=3-x. ∴x2+y+3x-2=x2+3-x+3x-2 =x2+2x+1 =(x+1)2． ∵对于任意的x都有(x+1)2，≥0， ∴x2+y+3x-2=(x+1)2，≥0． ∴代数式x2+y+3x-2的最小值为0． 故答案为：0． 91 (4)由题意，设 AB=x m,长方形 ABCD的面积为S， ∴S=x(8-x)=-(x-4)2+16． ∴当x=4时，即AB=4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为m2． 答：长方形生物园的最大面积为 16m2． 92 50.知识阅读：要比较两个数a,b的大小，有时可以通过比较a-b与0的大小来解决： ①如果a-b＞0，则a＞b；②如果a-b=0，则a=b；③如果a-b＜0，则a＜b. 基本应用：(1)比较大小：3+ ____ 2 (用“＞”、“＜”或”=”填空)； 理解应用：(2)比较与-3a2+b2-4+2b与2b-3a2-6的大小关系； (3)已知a,b,c为直角三角形的三边，c为斜边，比较c2+2(c-a)和a2+b2+2b的大小关系． 【解析】解：(1)∵3+ -2 =3- ＜0， ＜ 93 ∴3+ ＜2 ， 故答案为：＜； (2)∵-3a2+b2-4+2b-(2b-3a2-6)=b2+2≥2， ∴-3a2+b2-4+2b＞2b-3a2-6； (3)∵a,b,c为直角三角形的三边，c为斜边， ∴a2+b2=c2，c-a＞b, ∴c2+2(c-a)-(a2+b2+2b)=2(c-a-b)＞0， ∴c2+2(c-a)＞a2+b2+2b. 94 $$