第21章 一元二次方程 培优题突破练习课件★★★【8个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 培优题突破练习★★★ 【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程 三．解一元二次方程 四．根的判别式 五．根与系数的关系 六．由实际问题抽象出一元二次方程 七．一元二次方程的应用 八．配方法的应用 2 一．一元二次方程的解 3 1.若关于x的一元二次方程x2+x-2k=0有一个实数根为x=-2，则k的值为( ____ ) A.1 B.3 C.-1 D.-2 【解析】解：将x=-2代入原方程得， (-2)2+(-2)-2k=0， 解得k=1． 故选：A． A 4 2.若x=-1是方程x2+cx=c的一个根，则c=( ____ ) A.-2 B. C.2 D. 【解析】解：把x=-1代入方程x2+cx=c得1-c=c, 解得c= ． 故选：D． D 5 3.已知x=2是一元二次方程x2-mx=0的一个解，则m的值是 ____ ． 【解析】解：因为x=2是一元二次方程x2-mx=0的一个解， 所以4-2m=0 解得：m=2． 故答案为：2． 2 6 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0；则有一个根为 ____ ．若4a-2b+c=0，则有一个根为 ____ ． 【解析】解：∵a+b+c=0， ∴b=-(a+c)， ∴原方程可化为ax2-(a+c)x+c=0， ∴(ax-c)(x-1)=0， ∵a≠0， ∴ ，x2=1， ∴满足a+b+c=0时，有一个根为1． ∵4a-2b+c=0， 1 -2 7 ∴ ， 原方程可化为 ， ∴ ， ∵a≠0， ∴ ，x2=-2， ∴满足4a-2b+c=0时，有一个根为-2． 故答案为：1，-2． 8 二．解一元二次方程 9 5.用配方法解方程x2+4x-7=0，配方结果正确的是( ____ ) A.(x+4)2=23 B.(x+2)2=-3 C.(x+2)2=11 D.(x+4)2=9 【解析】解：x2+4x-7=0， x2+4x=7， x2+4x+4=7+4， (x+2)2=11， 故选：C． C 10 三．解一元二次方程 11 6.方程x2=3x的解是 　　． 【解析】解：x2=3x, x2-3x=0， x(x-3)=0， ∴x=0或x-3=0， ∴x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12 四．根的判别式 13 7.下列一元二次方程中，无实数根的是( ____ ) A.x2=1-x B.x2+x+1=0 C.x2-4x=-4 D.x(x-2)-2=0 【解析】解：A选项中，Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5＞0，有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； B选项中，Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，没有实数根，故B选项符合题意； C选项中，Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0，有两个相等的实数根， B 14 故C选项不符合题意； D选项中，Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12＞0，有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意， 故选：B． 15 8.若关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0没有实数根，则k的取值范围为( ____ ) A.k＜2 B.k＞2 C.k＞4 D.k≥2 【解析】解：根据方程没有实数根，得到Δ=b2-4ac=16-8k＜0， 解得：k＞2． ∴实数k的取值范围是：k＞2． 故选：B． B 16 9.若关于x的一元二次方程x2-4x-4k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ____ ) A.k＞-1 B.k＜-1 C.k＜1 D.k＞1 【解析】解：由题意(-4)2-4×(-4k)＞0， 解得k＞-1． 故选：A． A 17 10.一元二次方程x2+x-1=0根的判别式的值是( ____ ) A.-3 B.3 C.-5 D.5 【解析】解：∵a=1，b=1，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=1+4=5． 所以一元二次方程x2+x-1=0根的判别式的值是5． 故选：D． D 18 11.若关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+1=0没有实数根，则实数m的取值范围是( ____ ) A.m＜1 B.m＞1 C.m＞-1 D.m＜-1 【解析】解：∵方程x2+2mx+m2-m+1=0没有实数根， ∴Δ=(2m)2-4(m2-m+1)＜0， 解得：m＜1． 故选：A． A 19 12.若一元二次方程x2-bx-1=0的根判别式的值为5，则b的值为( ____ ) A.1 B.±1 C.3 D.±3 【解析】解：因为一元二次方程x2-bx-1=0的根判别式的值为5， 所以Δ=(-b)2-4×1×(-1)=5， 解得b=±1． 故选：B． B 20 13.关于x的一元二次方程x2+x-m2=0的根的情况是( ____ ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【解析】解：∵Δ=12-4×1×(-m2)=1+4m2＞0， ∴方程有两个不等实根． 故选：A． A 21 14.如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程ax2+bx+c=0的根的情况是( ____ ) A.无实根 B.有一个实根 C.有两个相等实根 D.有两个不相等实根 【解析】解：根据题意，该正方体的展开图中相对面上的两个数相等， ∴a=3，b=0，c=4， ∴该方程为3x2+4=0， ∵Δ=02-4×3×4=-48＜0，∴该方程无实数根． 故选：A． A 22 15.一元二次方程2x(x+1)=3(x+1)的解是( ____ ) A.x=-1 B. C.x1=-1， D.无实数解 【解析】解：原方程变形，得(x+1)(2x-3)=0， 解得x1=-1， ． 故选：C． C 23 16.关于x的方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是 　　． 【解析】解：当m-2=0时，方程为一元一次方程，5x+3=0， 则x=-3， 当m-2≠0时，方程为一元二次方程，由题意得： Δ=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)≥0， 即4m2+4m+1-4m2+16m-16≥0， 解得： 且m≠2， 当m=2时，方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0为一元一次方程，有实数根为x=-3， 24 ∴关于x的方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是 或m=2． 故答案为： ． 25 17.已知关于x的一元二次方程kx2-(4k-1)x+4k-3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　　． 【解析】解：∵一元二次方程kx2-(4k-1)x+4k-3=0有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得k＞- 且k≠0． 故答案为：k＞- 且k≠0． 26 18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解析】解：△ABC是直角三角形， 理由是：∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根， ∴Δ=0， 即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 27 19.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0． (1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解析】(1)证明：Δ=(2k+1)2-4×4(k- ) =4k2+4k+1-16k+8， =4k2-12k+9 =(2k-3)2， ∵(2k-3)2≥0，即△≥0， 28 ∴无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)解：当b=c时，Δ=(2k-3)2=0，解得k= ，方程化为x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去； 当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4(2k+1)+4(k- )=0，解得k= ，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2， 所以△ABC的周长=4+4+2=10． 29 五．根与系数的关系 30 20.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的序号有(　　) ①若a+b+c=0，那么ax2+bx+c=0一定有一个根是1； ②若方程的两根为-1和2，则2a+c=0； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若2a+b=0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 ． A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②④⑤ 31 D.②③④⑤ 【解析】解：①若a+b+c=0，那么ax2+bx+c=0一定有一个根是1．故①正确； ②若方程的两根为-1和2，则2a+c=0；则有a-b+c=0，4a+2b+c=0， ∴b=a+c, ∴4a+2(a+c)+c=0， ∴6a+3c=0， ∴2a+c=0，故②正确； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立．故③正确； 32 ④若2a+b=0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；则- =2， ∴两根之和为2， ∵一个根大于2， ∴另一个根必是负数，故④正确； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 ． 若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 +bx0+c=0， ∴a2 +abx0+ac=0， ∴4a2 +4abx0=-4ac, 33 ∴4a2 +4abx0+b2=b2-4ac, ∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故⑤正确； 故选：A． 34 21.若x1，x2是方程x2-8x+7=0的两个根，则 =( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵x1，x2是方程x2-8x+7=0的两个根， ∴x1+x2=8，x1x2=7，∴ = ． 故选：A． A 35 22.关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的两个根为x1，x2，且x1=2x2，则m-x1+x2 的值为( ____ ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 【解析】解：∵x2+3x-m=0的两根为x1，x2， ∴x1+x2=- =-3．x1•x2=-m, ∵x1=2x2， ∴x2=-1，x1=-2， B 36 ∴x1•x2=2=-m, ∴m=-2． ∴m-x1+x2=-2-(-2)+(-1)=-1． 故选：B． 37 23.已知x1，x2是方程2x2+3x-7=0的两个根，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵x1，x2是方程2x2+3x-7=0的两个根， B 38 ∴ ， ， ∴ = = = = ． 故选：B． 39 24.已知关于x的一元二次方程3(x-x1)(x-x2)=0与一元一次方程3x-3=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程3(x-x1)(x-x2)+(3x-3)=0有两个相等的实根，则x2=( ____ ) A.-2 B.-1 C.2 D.1 【解析】解：一元一次方程3x-3=0， 移项得：3x=3， 解得：x=1， C 40 ∵关于x的一元二次方程3(x-x1)(x-x2)=0与一元一次方程3x-3=0有一个公共解x=x1， ∴公共解为x=x1=1， 把x1=1代入方程3(x-x1)(x-x2)+(3x-3)=0得：3(x-1)(x-x2)+(3x-3)=0， 整理得：3x2-3x2x+3x2-3=0， ∵此方程有两个相等的实数根， ∴Δ=(-3x2)2-12(3x2-3)=0，即9 -36x2+36=0， 解得：x2=2． 故选：C． 41 25.已知实数a,b满足a2-5a=-1，b2+1=5b,则 = _______ ． 【解析】解：∵实数a,b满足a2-5a=-1，b2+1=5b, ∴实数a,b是方程x2-5x+1=0的两个根， ∴当a≠b时，a+b=5，ab=1， ∴ = = 23或2 42 = = = =23； 当a=b时， =1+1=2； 故答案为：23或2． 43 26.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，AD、DB的长是方程x2 的两根，则n= ____ ． 【解析】解：如图， _____ ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠A=∠DCB， 4 44 ∴△ADC∽△CDB， ∴AD：CD=CD：DB， ∴CD2=AD•BD， ∵CD=2， ∴AD•DB=4， ∵AD、DB的长是方程x2 的两根， ∴AD•DB=n=4． 故答案为：4． 45 27.若方程x2-4x+2=0的两根为x1，x2，则 的值为 ____ ． 【解析】解：∵x1为方程x2-4x+2=0的根， ∴ -4x1+2=0， ∴ -4x1=-2， ∴x1x2+2 -8x1=x1x2+2( -4x1)=x1x2+2×(-2)=x1x2-4， ∵方程x2-4x+2=0的两根为x1，x2， ∴x1x2=2， ∴x1x2+2 -8x1=2-4=-2． -2 46 28.若a,b为方程x2-3x+2=0的两个实数根，则a2-3a+2ab的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,b为方程x2-3x+2=0的两个实数根， ∴ab=2，a2-3a+2=0， ∴a2-3a=-2， ∴a2-3a+2ab=-2+4=2． 故答案为：2． 2 47 29.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-14x+m=0的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ____ ． 【解析】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b, ∵菱形的面积=两条对角线积的一半， ∴ ab=24即ab=48． ∴由题意得， ， ∴菱形的边长= 5 48 = = = = =5． 故答案为：5． 49 30.一元二次方程x2-5x+c=0的两个实数根是x1，x2，且x1+x2=x1x2，则c= ____ ． 【解析】解：∵一元二次方程x2-5x+c=0的两个实数根是x1，x2， ∴x1+x2= =5，x1x2= =c, ∵x1+x2=x1x2， ∴c=5． 故答案为：5． 5 50 31.已知x=1是方程x2-mx+3=0的一个解，则另一个解为x= ____ ． 【解析】解：把x=1代入方程x2-mx+3=0得：1-m+3=0， 解方程得：m=4， 再把m=4代入方程x2-mx+3=0得： x2-4x+3=0， (x-1)(x-3)=0， x-1=0或x-3=0， x1=1，x2=3， ∴方程的另一个根是x=3， 故答案为：3． 3 51 32.已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)证明：∵Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4， ∴在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+4≥4， 即△≥4， ∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根； (2)解：根据题意，得12-1×(m+2)+(2m-1)=0， 解得，m=2， 52 则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3； ①当该直角三角形的直角边为1、3时，斜边为 = ， ∴周长为：4+ ； ②当该直角三角形的斜边为3、直角边为1时，另一条直角边为 =2 ， 直角三角形的周长=1+3+2 =4+2 ． 53 33.已知关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0 (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2-4x+2k=0的根是一元二次方程x2-2mx+3m-1=0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根． 【解析】解：(1)由题意△≥0， ∴16-8k≥0， ∴k≤2． (2)由题意k=2，方程x2-4x+2k=0的根，x1=x2=2， ∴方程x2-2mx+3m-1=0的一个根为2， ∴4-4m+3m-1=0， 54 ∴m=3， 方程为x2-6x+8=0， ∴x=2或4， ∴方程x2-2mx+3m-1=0的另一个根为4． 55 34.已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m=0有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为α，β，且α2+β2=7，求m的值． 【解析】解：(1)根据题意得， Δ=(2m-1)2-4m2=-4m+1≥0 且 m≠0， 解得： 且m≠0； (2)根据根与系数的关系得： ， ， ∵a2+β2=7， 56 ∴(a+β)2-2aβ=7， ∴ ， 即 或 ， 解得：m1=-1， ， 经检验 m1=-1， 是原方程的根， ∴m的值为-1或 ． 57 35.请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x= ， 把x= 代入已知方程，得 -3=0． 化简，得y2+2y-12=0，故所求方程为y2+2y-12=0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　　； (2)已知方程2x2-7x+3=0，求一个一元二次方程， 58 使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程ay2-(2a-b)y+a-b+c=0的两根． 【解析】解：(1)设所求方程的根是y,则y=-x,所以x=-y, 把x=-y代入x2+x-2=0， 得y2-y-2=0， 故答案为：y2-y-2=0； (2)设所求方程的根是y,则y= ， 所以x= ， 59 把x= 代入方程2x2-7x+3=0，得 2( )2-7• +3=0， 化简，得3y2-7y+2=0； (3)一元二次方程整理后可得：a(y-1)2+b(y-1)+c=0， ∵令y-1=x, ∴y=x+1， 则方程 a(y-1)2+b(y-1)+c=0 的两根比 ax2+bx+c=0(a≠0)两根大1， 所以方程 a(y-1)2+b(y-1)+c=0 的两根分别是4、-1． 60 六．由实际问题抽象出一元二次方程 61 36.去年10～12月，我国公共充电桩数量由252.5万台增长至272.6万台，设公共充电桩的月平均增长率为x,则可列方程( ____ ) A.252.5(1+x)2=272.6 B.252.5(1+x2)=272.6 C.252.5(1+2x)=272.6 D.252.5x2=272.6 【解析】解：由题意152.5(1+x)2=272.6． 故选：A． A 62 37.2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军．某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( ____ ) A.x(x+1)=15 B.x(x-1)=15 C. D. D 63 【解析】解：根据题意得： ． 故选：D． 64 38.某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为x,根据题意，请列出方程 　　． 【解析】解：依题意，得：1000(1-x)2=810， 故答案为：1000(1-x)2=810． 65 七．一元二次方程的应用 66 39.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=16cm,点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s.设运动时间为t s,则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：由题意得： (16-2t)(12-2t)= × ×16×12， B 67 整理得：t2-14t+24=0， 解得：t=2或t=12， 当t=2时，16-2t=12，12-2t=8，符合题意； 当t=12时，16-2t=-8，12-2t=-12，不符合题意，舍去； ∴t=2， 故选：B． 68 40.为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 _____ ． 【解析】解：设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x,依题意得， 7500(1+x)2=10800， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去)， 故答案为：20%． 20% 69 41.如图，某小区规划在长36米，宽24米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为630m2，问小路应为多宽？ 【解析】解：设小路应为x米宽，则小路总面积为： 24x+24x+36x-2•x2=36×24-630， 整理，得x2-42x+117=0， 解得：x1=39(舍)，x2=3． 答：小路应为3米宽． 70 42.两个连续奇数的积是143，求这两个连续奇数． 【解析】解：设这两个连续奇数为x,x+2， 根据题意x(x+2)=143， ∴x1=11，x2=-13， ∴当x=11时，x+2=13； 当x=-13时，x+2=-11． 答：两个连续奇数为11，13或-13，-11． 71 43.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=x cm(x≠0)，则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2cm. (1)当x为何值时，点P、N重合； (2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． _______ 72 【解析】解：(1)∵P，N重合， ∴2x+x2=20， ∴ ， (舍去)， ∴当 时，P，N重合； (2)因为当N点到达A点时，x=2 ，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20-(x+3x)=20-(2x+x2)， 解得x1=0(舍去)，x2=2， 当x=2时四边形PQMN是平行四边形； 73 ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20-(x+3x)=(2x+x2)-20， 解得x1=-10(舍去)，x2=4， 当x=4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 74 44.中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 【解析】解：设涨价4x元，则销量为(500-40x)，利润为(10+4x)， 由题意得，(500-40x)×(10+4x)=8000， 整理得，5000+2000x-400x-160x2=8000， 解得：x1= ，x2= ， 当x1= 时，则涨价10元，销量为：400件； 75 当x2= 时，则涨价30元，销量为：200件． 答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫． 76 45.某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？ 【解析】解：设售价为x元， 根据题意列方程得(x-8)(200- )=640， 整理得：(x-8)(400-20x)=640， 即x2-28x+192=0， 解得x1=12，x2=16． 77 故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元． 原价为10元， ∴12-10=2(元)，16-10=6(元)， 故应将商品的售价提高2元或6元． 78 46.某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，销售量为 _____ kg,月销售利润为 ______ 元； (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【解析】解：(1)当销售单价定为每千克55元时， 月销售量：500-(55-50)×10=450(千克)， 利润：450×(55-40)=6750(元)； 450 6750 79 故答案为：450；6750； (2)由于产品不超过10000÷40=250(kg)，设定价为x元， 则(x-40)[500-10(x-50)]=8000， 解得：x1=80，x2=60， 当x1=80时，进货500-10(80-50)=200kg＜250kg,符合题意， 当x2=60时，进货500-10(60-50)=400kg＞250kg,舍去． 所以销售单价应为80元． 80 47.怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． (1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？ (2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当A种菜品降价多少时，两种菜品的利润总和为300元？ 【解析】解：(1)设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份， 根据题意得， 81 ， 解得： ， 答：该店每天卖出这两种菜品共60份； (2)设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖(20+a)份；总利润为w元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖(40-a)份 每份售价提高0.5a元． w=(20-14-0.5a)(20+a)+(18-14+0.5a)(40-a) =(6-0.5a)(20+a)+(4+0.5a)(40-a) =(-0.5a2-4a+120)+(-0.5a2+16a+160) 82 =-a2+12a+280 当w=300时，-a2+12a+280=300， 解得a=2或10 0.5a=1或5， 答：当A种菜品降价1元或5元时，两种菜品的利润总和为300元． 83 48.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，求这个三角形的面积． 【解析】解：如图所示： ____ ∵x2-9x+20=0， (x-4)(x-5)=0， ∴x1=4，x2=5； 而等腰三角形底边长为8， 84 x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形， 故腰长为x=5， 设高为h,由勾股定理得： h= =3， ∴高为3， 所以，三角形的面积为 ×8×3=12． 85 八．配方法的应用 86 49.已知4x2+20xy=-25y2+12x+30y-9，则4x•32y的值为 ____ ． 【解析】解：∵4x2+20xy=-25y2+12x+30y-9， ∴(4x2+20xy+25y2)-6(2x+5y)+9=0， ∴(2x+5y)2-6(2x+5y)+9=0， ∴(2x+5y-3)2=0， ∴2x+5y=3， ∴4x•32y=22x•25y=22x+5y=23=8． 故答案为：8． 8 87 50.【阅读材料】若a2+b2-2a+1=0，求a、b的值． 解：因为a2+b2-2a+1=0， 所以(a2-2a+1)+b2=0， 即(a-1)2+b2=0， 因为(a-1)2和b2都是非负的， 所以(a-1)2=0且b2=0， 所以a=1，b=0． 【读后思考】若a2+2b2-2ab+2b+1=0，则a= ____ ，b= ____ ； 【深入探索】若a2+3b2-2ab+8b+8=0，求a+b的值； 【知识迁移】若a、b都是正整数，且满足a2+b2+4a-6b+3=0，求a+b的值． -1 -1 88 【解析】解：读后思考：∵a2+2b2-2ab+2b+1=0， ∴(a2-2ab+b2)+(b2+2b+1)=0， ∴(a-b)2+(b+1)2=0， ∵(a-b)2和(b+1)2都是非负的， ∴(a-b)2=0且(b+1)2=0， ∴a=b=-1， 故答案为：-1，-1． 深入探索：∵a2+3b2-2ab+8b+8=0， ∴(a2-2ab+b2)+2(b2+4b+4)=0， ∴(a-b)2+2(b+2)2=0， ∵(a-b)2和(b+2)2都是非负的， 89 ∴(a-b)2=0且(b+2)2=0， ∴a=b=-2， ∴a+b=-4． 知识迁移：∵a2+b2+4a-6b+3=0， ∴(a2+4a+4)+(b2-6b+9)-10=0， ∴(a+2)2+(b-3)2=10， ∵a、b都是正整数， ∴(a+2)2=9，(b-3)2=1或(a+2)2=1，(b-3)2=9， 解得：a=1，b=4或a=-1，b=0(不符合题意，舍去)， ∴a+b=1+4=5． 90 $$