1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一 空间向量坐标与点坐标关系 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 故，解得， 所以点坐标为故选：C 2．（23-24高二上·陕西汉中·期末）在空间直角坐标系中，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知的坐标为.故选：A 3．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确.故选：B. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合题意：设D的坐标为， 因为，，， 所以,， 因为在平行四边形中有， 所以，解得，所以D的坐标为.故选：B. 题型二 空间中点的对称关系 1．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.故选：B. 2．（23-24高二上·河南南阳·月考）在空间直角坐标系中，已知点，求点关于轴的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空间坐标系下点关于轴的对称点的坐标特点可知， 点关于轴的对称点坐标为.故选：D. 3．（23-24高二上·青海海东·月考）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关于平面的对称点为.故选：B 4．（23-24高二下·甘肃天水·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求点的坐标为， 根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数， 则有，故该点为.故选：B. 题型三 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 【答案】B 【解析】由题设，则， 所以.故选：B 2．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 故.故选：C. 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，所以； 因此可得.故选：C 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由，设， 可得， 则， 所以．故选：B． 题型四 空间向量夹角的坐标表示 1．（22-23高二上·广东东莞·月考）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为.故选：C 2．（23-24高二下·山西大同·月考）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】由题意，向量， 得，解得或，故选：C 3．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 故， ，， ．故选：A 4．（23-24高二上·海南·月考）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是.故选：C 题型五 空间向量模长的坐标表示 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【解析】,故选：C. 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【解析】由于，则， 于是.故选：B 3．（22-23高二下·福建福州·期末）已知点，，，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知点，，， 设点，由，可得， 所以，，解得，即点， 所以，， 因此，.故选：C. 4．（222-23高二下·甘肃定西·月考）已知，若，，那么的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型六 空间向量平行的坐标表示 1．（22-23高二上·河南叶县·月考）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确．故选：B． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知空间中三点，若，则（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 若，则，解得， 所以.故选：B. 3．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若∥，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，，∥， 所以，得.故选：C 4．（23-24高二下·北京·月考）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 由，可得，解之得故选：B 题型七 空间向量垂直的坐标表示 1．已知空间向量，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．根据a的取值而定 【答案】A 【解析】向量，∴，∴.故选：A． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知向量，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】A 【解析】因为向量， 所以，所以，故选：A. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】，∴，解得，故选：A． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或．故选：C． 1．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】关于平面的对称点为，所以， 所以，即，， 所以.故选：C. 2．（23-24高二上·河南鹤壁·月考）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误.故选：D. 3．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知，，存在实数，，使得，则的最小值是（    ） A．16 B． C．15 D． 【答案】D 【解析】由题意，， ，即， 得，当且仅当时等号成立， 设，则， 有，解得，得， 所以，即的最小值为.故选：D. 4．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）设，向量，，，且，，则 ． 【答案】3 【解析】，，， ，，解得：， 又，， ， ， 故答案为：3． 5．（23-24高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 6．（23-24高二上·贵州黔南·月考）已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】3 【解析】因为，是空间中相互垂直的两个单位向量，设，设， 又，所以，则， 又，所以，所以，其中， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是3. 故答案为：3 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以． 当时，取得最小值． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一 空间向量坐标与点坐标关系 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西汉中·期末）在空间直角坐标系中，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 空间中点的对称关系 1．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·月考）在空间直角坐标系中，已知点，求点关于轴的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·青海海东·月考）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃天水·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 2．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量夹角的坐标表示 1．（22-23高二上·广东东莞·月考）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西大同·月考）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 3．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·海南·月考）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量模长的坐标表示 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．5 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 3．（22-23高二下·福建福州·期末）已知点，，，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（222-23高二下·甘肃定西·月考）已知，若，，那么的最小值为 ． 题型六 空间向量平行的坐标表示 1．（22-23高二上·河南叶县·月考）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知空间中三点，若，则（    ） A． B．4 C．3 D． 3．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若∥，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二下·北京·月考）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型七 空间向量垂直的坐标表示 1．已知空间向量，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．根据a的取值而定 2．（23-24高二上·北京·期中）已知向量，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．不确定 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 1．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 2．（23-24高二上·河南鹤壁·月考）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知，，存在实数，，使得，则的最小值是（    ） A．16 B． C．15 D． 4．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）设，向量，，，且，，则 ． 5．（23-24高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 6．（23-24高二上·贵州黔南·月考）已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是 . 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$