3.4函数的应用（一）（四大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.4函数的应用（一） 知识点1 几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 幂函数模型 分段函数模型 知识点2 对勾函数 1、对勾函数：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 题型一 一次函数模型的应用 1．一个等腰三角形的周长为40cm，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式及其定义域为 ． 2．（多选）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（    ） A．w是n的函数 B．时， C．w的最小值为540 D．时，第1袋为次品袋 3．（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 4．如图1是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图2、3所示. 给出以下说法： ①图2的建议是：降低成本，并保持票价不变； ②图2的建议是：降低成本，并提高票价； ③图3的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图3的建议是：提高票价，并降低成本. 其中所有正确说法的序号是 . 5．车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 6．某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 题型二 二次函数模型的应用 7．从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 8．已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元. 9．如图所示，一个长为、宽为的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形． (1)试用表达式将图中阴影部分的面积表示成的函数； (2)当，时，求面积的最小值，并指出此时自变量的值． 10．为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 11．交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． (1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ (2)当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 12．某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解，某款纪念品的日销售量（单位：件）是销售单价（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品. (1)若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？ (2)通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？ 13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米. (1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围； (2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？ 题型三 分段函数模型的应用 14．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 15．全球淡水资源不仅短缺而且地区分布极不平衡. 我国是世界第一人口大国，虽然我国是水资源大国，但人均淡水资源只占世界人均淡水资源的四分之一. 为了倡导节约用水，保护淡水资源，某城市对居民的生活用水实行“阶梯式”水价. 计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.3元 超过但不超过的部分 2.8元 超过的部分 3.8元 若某户居民本月交纳的生活用水费用为38.8元，则此户居民本月的用水量为（   ） A． B． C． D． 16．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟． 17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 18．如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 19．地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 题型四 对勾函数模型的应用 20．建造一个容积为、深为的长方体的游泳池（无盖），池壁造价为元，池底造价为元，把总造价（元）表示成池底的一边长的函数. 21．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 22．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元 (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 23．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．    (1)将表示为的函数； (2)当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值． 24．年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅.要求座椅的使用年限为年，已知每千套座椅成本是万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用万元与总座椅数千套按照关系式收取.而年的总维修费用为万元，记为年的总费用.（总费用成本费用使用管理费用总维修费用）. (1)求总费用关于总座椅数的函数关系式； (2)当设置多少套座椅时，这年的总费用最小，并求出最小值. 25．杭州第19届亚运会，温州分会场场馆之一的温州体育中心，内有一块足够长的矩形场地，一面靠墙，现需要分隔出志愿者区、记者区以及运动员候场区三块区域如图，除墙外的各边界线用安全警戒带围成.现有40m长的安全警戒带材料.    (1)若运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，运动员候场区长、宽分别设计为多少时，可使其面积最大，最大面积是多少平米？ (2)在保证志愿者区和记者区面积之和是20平米的前提下，如何设计运动员候场区的长、宽，可以使得运动员候场区的面积最大？ 26．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4函数的应用（一） 知识点1 几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 幂函数模型 分段函数模型 知识点2 对勾函数 1、对勾函数：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 题型一 一次函数模型的应用 1．一个等腰三角形的周长为40cm，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式及其定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，，因为，即，解得. 即 故答案为： 2．（多选）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（    ） A．w是n的函数 B．时， C．w的最小值为540 D．时，第1袋为次品袋 【答案】ACD 【详解】由题意且，即w是n的函数，A对； 当时，，B错； 由于递减，故w的最小值为，C对； 令，D对. 故选：ACD 3．（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 解：过点， 设，则，所以，B选项正确， 当时，，所以甲厂的制版费为1千元；根据可知： 甲厂印刷费平均每个为0.5元，A选项正确. 根据图象可知：该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，C选项错误. 当时，过点， 设，则，所以，D选项正确. 故选：ABD 4．如图1是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图2、3所示. 给出以下说法： ①图2的建议是：降低成本，并保持票价不变； ②图2的建议是：降低成本，并提高票价； ③图3的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图3的建议是：提高票价，并降低成本. 其中所有正确说法的序号是 . 解：根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时， 收支差额（负值)变大了，即支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故①正确②不正确； 由图3可以看出，当乘客量为时，支出不变， 但是直线的倾斜角变大，即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大，即票价提高了， 但乘客人数为0时的收支差额(负值)没有变化，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确④不正确. 故答案为：①③. 5．车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 解：（1）由题意得， 且. （2）若电动车的辆次数不小于，但不大于， 则，即且， ∴且 ∵ ， ∴在上单调递减， 当时，函数取得最大值为1330，当时，函数取得最小值为1225， ∴的值域是，即收入在元至元之间. 6．某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 解：（1）设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴型号电脑进价（元）， ∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元； （2）根据题意，得， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． ， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． 题型二 二次函数模型的应用 7．从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 解：由题意可得总耗油量为, 由于为开口向上的二次函数，对称轴为 故速度为80时，总耗油量最小， 故选：B 8．已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元. 解：设第天的日销售额为元，则， ， ∴当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：13，833 9．如图所示，一个长为、宽为的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形． (1)试用表达式将图中阴影部分的面积表示成的函数； (2)当，时，求面积的最小值，并指出此时自变量的值． 解：（1）由题意得． 又∵，∴． 所求函数为，． （2）当，时，，函数为， ∴当时，面积的最小值为7． 10．为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 解：（1）因为水池底面边长，所以长方体水池高为， 所以； （2）令，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为. 11．交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． (1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ (2)当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 解：（1）设景区降价后的门票日均营业额为万元，景区门票价格下降了元， 因为优惠后的最终门票价格不低于80元，所以，即， 由题意得， 当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元， 则，即， 即，解得， 又因为，所以，， 所以景区门票价格可以为元，元，元. （2）由（1）知， ， 因为， 所以当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元， 只要时门票日均营业额不低于520万元即可， 即， 即， 即，解得， 又因为，所以，， 所以景区门票价格可以为元，元. 12．某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解，某款纪念品的日销售量（单位：件）是销售单价（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品. (1)若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？ (2)通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？ 解：（1）依题意设. 将，代入，解得. 故. 设该款纪念品的日利润为元， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值，且最大值为. 故若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为60元/件. （2）由题意可得，即， 解得或. 故若要获得该款纪念品最大日利润的，则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件. 13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米. (1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围； (2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？ 解：（1）由题知长方形的长为米， 所以，由，得到， 由，得到，即，解得， 所以的取值范围为. （2）由（1）知， 又，所以当时，有最大值为平方米. 题型三 分段函数模型的应用 14．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 解：当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 15．全球淡水资源不仅短缺而且地区分布极不平衡. 我国是世界第一人口大国，虽然我国是水资源大国，但人均淡水资源只占世界人均淡水资源的四分之一. 为了倡导节约用水，保护淡水资源，某城市对居民的生活用水实行“阶梯式”水价. 计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.3元 超过但不超过的部分 2.8元 超过的部分 3.8元 若某户居民本月交纳的生活用水费用为38.8元，则此户居民本月的用水量为（   ） A． B． C． D． 解：观察选项，可知不需要考虑此户居民本月的用水量不超过与超过的情况， 设此户居民本月的用水量为，， 则，解得， 所以此户居民本月的用水量为. 故选：C. 16．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟． 解：据图象知，直线和曲线过， 设反比例函数为，一次函数为， 所以，，，， 所以整个函数， 则令，， 令，， 所以消毒的有效时间为分钟. 故答案为： 17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 解：（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图（1）表示的函数关系式为 （2）设，则，所以． 所以图（2）表示的函数关系式为 ，． （3）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 18．如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 解：根据题意，设平移的起点为边与轴重合之处且， 当时，可得； 当时，如图所示，因为，可得， 在等腰直角和中，可得， 又由，且， 所以 ； 当时，可得； 当时，可得， 所以公共部分的面积表示为的函数. 19．地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 解：（1）当时，，； 当时，，且当时，， 解得，，； 故. （2）当时，，当时有最大值为； 当时，，当时有最大值为， 综上所述：当发车间隔为分钟时，每辆列车的日均车票收入最大，且最大值为万元. 题型四 对勾函数模型的应用 20．建造一个容积为、深为的长方体的游泳池（无盖），池壁造价为元，池底造价为元，把总造价（元）表示成池底的一边长的函数. 解：由题意，设池底的一边长为， 因为游泳池的容积为、深为的长方体，可得其邻边长为， 可得游泳池的底面面积为，侧面积为， 又因为池壁造价为元，池底造价为元， 所以总造价关于边长的函数关系式为. 21．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 解：（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 22．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元 (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）由已知， 又， 所以， 整理得. （2）当时，， 当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为 综上，所以的最大值为390 故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元． 23．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．    (1)将表示为的函数； (2)当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值． 解：（1）解：由题意，正方形构成的面积为且， 矩形的面积为，则阴影部分的面积为， 设，则，可得， 且，解得， 所以 ， 所以关于的函数关系式为. （2）解：由（1）知，， 由， 当且仅当，即时等号成立， 即的长为米时，总造价为最小，且最小值为元. 24．年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅.要求座椅的使用年限为年，已知每千套座椅成本是万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用万元与总座椅数千套按照关系式收取.而年的总维修费用为万元，记为年的总费用.（总费用成本费用使用管理费用总维修费用）. (1)求总费用关于总座椅数的函数关系式； (2)当设置多少套座椅时，这年的总费用最小，并求出最小值. 解：（1）解：由题意可得，建造成本费用为万元， 使用管理费用为万元， 所以，. （2）解：因为，则， 万元， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当设置千套桌椅时，这年的总费用最小，且最小值为万元. 25．杭州第19届亚运会，温州分会场场馆之一的温州体育中心，内有一块足够长的矩形场地，一面靠墙，现需要分隔出志愿者区、记者区以及运动员候场区三块区域如图，除墙外的各边界线用安全警戒带围成.现有40m长的安全警戒带材料.    (1)若运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，运动员候场区长、宽分别设计为多少时，可使其面积最大，最大面积是多少平米？ (2)在保证志愿者区和记者区面积之和是20平米的前提下，如何设计运动员候场区的长、宽，可以使得运动员候场区的面积最大？ 解：（1）令靠墙的一边为矩形的长， 设运动员候场区宽为，因为运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和， 则志愿者区和记者区矩形的宽也为，于是运动员候场区长为，显然， 因此运动员候场区的面积， 则当时，，此时运动员候场区长为， 所以运动员候场区长、宽分别时，运动员候场区的面积最大，最大面积为. （2）令靠墙的一边为矩形的长， 设志愿者区和记者区矩形的宽为，则运动员候场区长为，运动员候场区宽为， 显然，解得， 于是运动员候场区的面积， 则当，即时，，此时，， 运动员候场区长、宽分别为时，运动员候场区的面积最大，最大面积为. 26．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 解：（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$