精品解析：广东省深圳市宝安区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

宝安区2023-2024学年第二学期学情调研问卷八年级数学 说明： 1.试题卷共6页，答题卡共4页．考试时间90分钟，满分100分． 2.请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3.本卷选择题1~10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得:， 故选：． 2. 下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，将求解，得出解集，再比较即可，解题的关键是求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 3. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式）逐项判断即可得． 【详解】解：A. 是因式分解； B. 最后运算是整式加法，不是因式分解； C. ，是整式的乘法，不是因式分解； D. ，是整式的乘法，不是因式分解； 故选：A． 5. 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故选B． 6. 若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4，则这个点关于原点对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值． P在第二象限，那么点P的横纵坐标的符号为负，正；进而根据P到x轴的距离为纵坐标的绝对值．到y轴的距离为横坐标的绝对值判断出具体坐标． 【详解】解：第二象限内的点横坐标小于，纵坐标大于； ∵到x轴的距离是， ∴其纵坐标为， 到y轴的距离为， ∴其横坐标为， ∴坐标是． ∴关于原点对称点的坐标为 故选：C． 7. 如果，那么的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴ 故选：D． 8. 下列命题中，假命题是（　　） A. 多边形的外角和都等于 B. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 如果，那么， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用多边形的外角和，三角形的中位线定理，全等三角形的判定，实数的性质，分别判断后即可确定正确的结论． 【详解】解：A、多边形的外角和都等于，故原命题是真命题，故该选项不符合题意； B、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，故原命题是真命题，故该选项不符合题意； C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题是真命题，故该选项不符合题意； D、如果，那么或，故原命题是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下： 首重 续重 元千克 元千克 说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元． 若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（　　）元． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据表中给出的运费计算方式应当分千克和千克，然后计算运费即可，解题的关键是读懂题意，理解表中给出的运费计算方式． 【详解】解：张华想要寄千克的荔枝回老家，根据表中给出的运费计算方式应当分千克和千克， 则总运费为（元）， 故选：． 10. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故选：． 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 12. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 13. 若关于的分式方程 有增根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作轴于点，由证明四边形是菱形，则，，根据两点间的距离可证是等边三角形，最后由勾股定理和所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】如图，连接，过作轴于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15. 如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到，，即可得到，然后根据三线合一得到，然后分别在和中，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作于点F，连， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， 解得， ∴． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 数轴上表示为： 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式利用完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算进行化简运算，得出最简结果，再代入，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知 ． （1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作法，三角形中位线的性质，平行四边形的判定定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． （1）利用基本作图—作已知线段的垂直平分线的作法作图即可； （2）先证明是的中位线，得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：点D即为所作； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， 又∵D，E是，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 19. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 【答案】（1）型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元 （2）最多购进型号分拣机器人个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，根据“用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程并解答； （2）设购进型号分拣机器人个，则购进型号分拣机器人个，根据“快递公司每天至少要分拣万个包裹”列出不等式并解答． 【小问1详解】 设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元； 【小问2详解】 设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个, 由题意，得，解得： 答：最多购进型号分拣机器人个． 20. 在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 【答案】任务：，；平移后的函数表达式为 任务：平移后的函数表达式为 【解析】 【分析】任务：由得，，再由函数图象向左平移个单位长度得，，； 任务：当时，，则，由线段扫过的图形面积为，可得，最后由一次函数的平移即可求解； 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】任务：由得， 当时，；当时，， ∴，， ∵该函数图象向左平移个单位长度， ∴，， 平移后的函数表达式为， 故答案为：，； 任务：当时，， ∴，则， ∵线段扫过的图形面积为， ∴， ∴， ∵平移不改变直线的倾斜程度， ∴设平移后的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴设平移后的函数表达式为． 21. 【阅读理解】 我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则，∵，∴，∵为正整数， ，，，故原方程的正整数解有个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（为正整数），则，，，，故原方程的正整数解有个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本本，类型笔记本本，总计花费元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1）， （2）或（3）吴老师的判断正确 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程正整数解的求解，不等式的整数解分析，将采购笔记本的问题转化为二元一次方程是解题关键． （1）先将方程变形为，再根据，为正整数的条件，得到且，从而确定的取值为、，进而求出对应的值，得到所有正整数解； （2）将方程变形为，根据正整数解的条件，得到，由只有一个正整数解，判断只能取 1，进而推导出，由此求出符合要求的； （3）根据题意列方程，去分母、变形后得，根据正整数解的条件，得到，没有满足条件的正整数，据此判断方程无正整数解． 【详解】（1）解：∵，则， ∵、均为正整数， ∴， ∴， ∴或， 当，； 当，， 故所有正整数解为，． 答：，． （2）解：，则， ∵、均为正整数， ∴， 解得， ∵方程有且只有一个正整数解， 只能为， ， ， 或． 答：或． （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，、均为正整数， 根据题意，可得，即， ∵、均为正整数， 设（为正整数），则， ， ， ∴不能为整数， 故原方程无正整数解，吴老师的判断正确． 答：吴老师的判断正确． 22. 【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 【答案】（1）等腰直角三角形，如图，、即为所求： （2）选取点如图所示，、即为所求，形状为等腰直角三角形， 理由如下： 如图，，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“外展等直点”的定义作图即可； （2）根据“外展等直点”的定义作出、即为所求，证明，即可证明为等腰直角三角形． （3）假设点为平面内的两条边的“外展等直点”，分为两种情况①当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时，和②当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 根据全等三角形的性质和判定求解即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：假设点为平面内的两条边的“外展等直点”， ①当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 如图：分别取边中点，连接，延长交于，延长交于， 则， ∴， 根据“外展等直点”的定义可得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，解得， 则； ②当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 如图：根据“外展等直点”的定义可得： 分别取边中点，连接，过点K作x轴垂线，过点M，N作y轴垂线交于， ， 则， ∴，， 根据“外展等直点”的定义可得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则，解得， 则； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2023-2024学年第二学期学情调研问卷八年级数学 说明： 1.试题卷共6页，答题卡共4页．考试时间90分钟，满分100分． 2.请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3.本卷选择题1~10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4，则这个点关于原点对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如果，那么的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 8. 下列命题中，假命题是（　　） A. 多边形的外角和都等于 B. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 如果，那么， 9. 又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下： 首重 续重 元千克 元千克 说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元． 若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（　　）元． A. B. C. D. 10. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=___． 12. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 13. 若关于的分式方程 有增根，则的值为____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为_____． 15. 如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为____________． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值： ，其中． 18. 已知 ． （1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形． 19. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 20. 在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 21. 【阅读理解】 我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则，∵，∴，∵为正整数， ，，，故原方程的正整数解有个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（为正整数），则，，，，故原方程的正整数解有个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本本，类型笔记本本，总计花费元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 22. 【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $