专题2.1 等式性质与不等式性质【练习：6题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版2019·必修第一册）

专题2.1 等式性质与不等式性质（练习） 内容概览 01：不等关系的表示 1 02：不等式的正误判断 2 03：根据不等式的性质比较数（或式）的大小 3 04：利用作差法比较代数式的大小 3 05：利用作商法比较代数式的大小 4 06：不等式的证明 5 题组训练 01：不等关系的表示 1．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 2．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 3．（22-23高一上·广东江门·期中）某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩不低于95分，文化课总分高于380分，体育成绩超过45分，请用不等式或不等式组表示以上不等关系． 4．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． （2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 02：不等式的正误判断 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（20-21高二上·湖北·期中）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）（23-24高一上·四川成都·期末）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 03：根据不等式的性质比较数（或式）的大小 9．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 04：利用作差法比较代数式的大小 13．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 14．（23-24高一上·安徽·期中）已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·湖北武汉·期中）设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．（多选）（23-24高一上·重庆·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 05：利用作商法比较代数式的大小 17．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 18．设，，则（    ）． A． B． C． D． 19．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 20．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 06：不等式的证明 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 22．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 23．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 24．若，，求证：. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质（练习） 内容概览 01：不等关系的表示 1 02：不等式的正误判断 3 03：根据不等式的性质比较数（或式）的大小 5 04：利用作差法比较代数式的大小 6 05：利用作商法比较代数式的大小 8 06：不等式的证明 11 题组训练 01：不等关系的表示 1．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误. 故选：B. 2．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解. 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 3．（22-23高一上·广东江门·期中）某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩不低于95分，文化课总分高于380分，体育成绩超过45分，请用不等式或不等式组表示以上不等关系． 【答案】 【分析】根据题意列出相应的不等式组，即得答案. 【详解】由题意得 . 4．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． （2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立； （2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论. 【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为， 再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例， 糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下： ，则； （2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故华华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即东东买到的糖的平均价格较高. 02：不等式的正误判断 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 6．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式基本性质判断A，通过作差法判断C，举例说明判断BD. 【详解】对于A，由，，知，得，故A正确； 对于B，当时，故B错误； 对于C，当时，由，得， 又，则，故有，故C正确； 对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误． 故选：AC. 7．（多选）（20-21高二上·湖北·期中）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质判断CD，再由特殊值判断AB. 【详解】A选项，，，，满足，但，A错误； B选项，由，是一个反例，B错误； C选项，由可得，则，C正确； D选项，，D正确； 故选：CD. 8．（多选）（23-24高一上·四川成都·期末）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD，根据特殊值法可判断BC. 【详解】对A：，故A一定不成立； 对B：令，则，故B可能成立； 对C：令，则，故C可能成立； 对D：，故D一定不成立； 故选：AD. 03：根据不等式的性质比较数（或式）的大小 9．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 10．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证. 【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确； 当，，，时，，，，故B错误； 当，，，时，，，，故C错误； 当，，，时，，，，故D错误. 故选：A 11．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误； 对于C，因为，所以，故，即，故C错误； 对于D，因为，，，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 12．（多选）（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】直接根据所给条件不等式结合作差法去证明结论正确或者举出反例推翻结论即可. 【详解】对于A，若，满足且，但，故A错误； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，这当然也满足，但此时，故D错误. 故选：BC. 04：利用作差法比较代数式的大小 13．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 14．（23-24高一上·安徽·期中）已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形得到得到大小关系，对变形得到得到大小关系，从而得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 15．（23-24高一上·湖北武汉·期中）设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差即可判断. 【详解】时，， ， 故. 故选：B. 16．（多选）（23-24高一上·重庆·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得. 【详解】选项A，若，由， 则有，故A正确； 选项B，法一：当时， ，故B错误； 法二：由，则， 由， 则，故B错误； 选项C，当时， ，，故C错误； 选项D，由，得， 则，故D正确. 故选：AD. 05：利用作商法比较代数式的大小 17．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 18．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 19．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 20．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 06：不等式的证明 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 22．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 23．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 24．若，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系. 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$