热点专题 3-4 导数与函数极值与最值【8类题型】- 2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 热点专题 3-4 导数与函数极值与最值 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第10题，6分 导数与函数极值、最值是高考数学的重要考点。函数极值每年必考，题型多样，难度适中。最值问题则常作为热点和难点，常与函数单调性、方程和不等式相结合，考查综合应用能力。高考常通过求函数在特定条件下的最值或根据最值条件求参数范围来考查学生的导数应用能力和解题技巧。这类题型要求学生熟练掌握导数性质，灵活应用函数性质，具有较强的逻辑思维和解题能力 （1）求导判断单调性 （2）找极值点并分析性质 （3）确定最值位置并求解 （4）结合不等式求参数范围 （5）考察综合运用能力 2024年II卷第16题，5分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题 2023年乙卷第21题 2023年II卷第22题 2022年乙卷第16题，5分 2022年甲卷第6题，5分 2022年I卷第10题，5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】函数的极值与极值点 【题型2】利用图像判断极值 【题型3】由极值或极值点求参数的值 【题型5】利用导数求函数的最值（不含参） 【题型7】求含参函数的最值 【题型6】根据函数的最值求参数的值 【题型4】由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【题型6】根据函数的最值求参数范围 【题型8】函数极值、最值的综合应用 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】函数的极值与极值点 1.极值点与极值的概念 极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2.求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 1． （2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 2． （2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 3． （23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的（    ） A．极小值点为 B．极小值点为 C．极大值点为 D．极大值点为 【巩固练习1】（23-24高三·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【巩固练习3】函数的极小值点为 . 【题型2】利用图像判断极值 利用函数图像判断极值的方法主要是观察图像在特定点附近的单调性变化。若图像在某点由上升转为下降，则该点为极大值点；若由下降转为上升，则为极小值点。通过比较该点与其邻近点的函数值大小，可进一步确认极值点的存在。这种方法直观且有效，适用于可直观观察的图像。 4． 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【巩固练习1】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【巩固练习2】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的极大值点 D．是的极小值点 【巩固练习3】（23-24高三·吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【题型3】由极值或极值点求参数的值 由极值或极值点求参数值，通常需先对函数求导，找到极值点对应的导数等于零的方程。然后，将极值或极值点的坐标代入原函数或导数方程中，解出参数值。 5． （2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6． （2024·四川·模拟预测）已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 7． （2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于 ． 【巩固练习2】已知函数，若是的极值点，求的极值． 【巩固练习3】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【巩固练习4】已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 利用导数求函数最值的详细步骤如下： 1. 求导数：首先，对给定的函数求导，得到其导数表达式。 2. 找临界点： · 令导数等于0，解方程找出所有使导数等于0的点，这些点称为驻点或临界点。 · 检查函数定义域内是否有导数不存在的点（如分母为0的点），这些点也是临界点。 3. 判断单调性： · 在每个临界点之间及临界点两侧选取测试点，代入导数表达式，判断导数的符号。 · 根据导数的符号变化，确定函数在这些区间上的单调性（增或减）。 4. 求最值： · 在每个单调区间内，函数要么没有最值（如果区间是开区间），要么最值出现在区间的端点或临界点处。 · 对于闭区间，还需要检查区间端点的函数值。 · 比较所有候选点的函数值，确定函数在该区间上的最大值和最小值。 注意：对于实际应用问题，还需要考虑函数的实际定义域和约束条件。 8． （23-24高三·河南商丘·期末）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9． （2024·浙江杭州·二模）函数的最大值为 ． 【巩固练习1】（23-24高三·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的最小值为 ． 【题型5】求含参函数的最值 求含参函数最值步骤：先对参数分类讨论，再对每类求导找极值点，结合边界点比较确定最值。 10． 已知函数. (1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论在区间上的最小值. 【巩固练习1】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值；(2)求在上的最小值. 【巩固练习2】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值；(2)求在上的最小值. 【题型6】根据函数的最值求参数的值 根据最值条件建立方程，解方程求参数，验证解符合题意。 11． 若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．2 D． 【巩固练习1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【巩固练习3】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【题型7】由极值，极值点求参数范围【重点题型】 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 12． （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13． （2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为 A． B． C． D． 14． （2024·高三·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15． （23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16． （2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17． （2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 18． （2024·新高考2卷真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【巩固练习1】（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·重庆·三模）（多选）若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【巩固练习6】（23-24高三·湖北武汉·期末）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习7】（23-24高三·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8】根据函数的最值求参数范围 根据函数最值求参数范围题型，关键在于建立最值条件与参数之间的不等式或等式关系。首先，需明确函数在给定条件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）。然后，通过导数分析函数单调性，找到可能的极值点，并结合定义域边界点，确定最值的具体位置。最后，将最值条件转化为关于参数的方程或不等式，求解得到参数的取值范围。此题型考察函数性质、导数应用及不等式求解能力。 19． 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 20． （2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【巩固练习1】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ． 【巩固练习3】（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数的最小值为1，则的取值范围为 . 【巩固练习5】若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 . 【题型9】函数极值、最值的综合应用 函数单调性、极值、最值的综合应用题型常要求分析函数在特定区间内的行为，包括增减性、极值点及最值点。解题时，首先通过导数判断函数单调性，找出增减区间；其次，利用导数等于零的点及二阶导数测试确定极值点；最后，在闭区间上还需考虑端点值，综合比较得出最值。这类题型考察对函数性质的理解及导数应用的熟练度，是微积分中的重要内容。 21． （2024·重庆·三模）已知，则（    ） A． B．在上单调递增 C．，使 D．，使 【巩固练习1】（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 热点专题 3-4 导数与函数极值与最值 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第10题，6分 导数与函数极值、最值是高考数学的重要考点。函数极值每年必考，题型多样，难度适中。最值问题则常作为热点和难点，常与函数单调性、方程和不等式相结合，考查综合应用能力。高考常通过求函数在特定条件下的最值或根据最值条件求参数范围来考查学生的导数应用能力和解题技巧。这类题型要求学生熟练掌握导数性质，灵活应用函数性质，具有较强的逻辑思维和解题能力 （1）求导判断单调性 （2）找极值点并分析性质 （3）确定最值位置并求解 （4）结合不等式求参数范围 （5）考察综合运用能力 2024年II卷第16题，5分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题 2023年乙卷第21题 2023年II卷第22题 2022年乙卷第16题，5分 2022年甲卷第6题，5分 2022年I卷第10题，5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】函数的极值与极值点 【题型2】利用图像判断极值 【题型3】由极值或极值点求参数的值 【题型5】利用导数求函数的最值（不含参） 【题型7】求含参函数的最值 【题型6】根据函数的最值求参数的值 【题型4】由极值，极值点求参数范围【重点题型】 【题型6】根据函数的最值求参数范围 【题型8】函数极值、最值的综合应用 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】函数的极值与极值点 1.极值点与极值的概念 极值与单调性一样，都是函数的局部性质 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2.求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 1． （2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【答案】 【解析】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值. 2． （2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点. 【详解】因为， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2． 3． （23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的（    ） A．极小值点为 B．极小值点为 C．极大值点为 D．极大值点为 【答案】B 【分析】求得，得出函数的单调区间，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得；令，解得. 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值. 【巩固练习1】（23-24高三·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 【巩固练习2】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 . 【答案】 【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点. 【详解】如图： 导函数的图象过点和， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴函数的单调递减区间为，极大值点为. 【巩固练习3】函数的极小值点为 . 【答案】 【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点. 【详解】由题意得， 令，可得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以处，取得极小值， 所以极小值点为. 【题型2】利用图像判断极值 利用函数图像判断极值的方法主要是观察图像在特定点附近的单调性变化。若图像在某点由上升转为下降，则该点为极大值点；若由下降转为上升，则为极小值点。通过比较该点与其邻近点的函数值大小，可进一步确认极值点的存在。这种方法直观且有效，适用于可直观观察的图像。 4． 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 【巩固练习1】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】AD 【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点. 【详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 【巩固练习2】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】C 【解析】因函数在点处的切线为， 即，则， 于是，，由图知，当时，，此时， 当时，，此时. 对于B项，由上分析，B项显然错误； 对于C, D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减, 即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误； 对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值， 则有 ，故A项错误. 【巩固练习3】（23-24高三·吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 【题型3】由极值或极值点求参数的值 由极值或极值点求参数值，通常需先对函数求导，找到极值点对应的导数等于零的方程。然后，将极值或极值点的坐标代入原函数或导数方程中，解出参数值。 5． （2024·青海·模拟预测）已知函数的极值点为a，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的极值点，再代入求出函数值. 【详解】函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，且是唯一极值点，所以，. 6． （2024·四川·模拟预测）已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数 . 【答案】3 【解析】由，设， 若不是函数的极值点，则必有，即，所以． 当时，， 故当时，，当时，， 因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故． 7． （2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【详解】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 【巩固练习1】（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于 ． 【答案】 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可． 【详解】 若函数在处有极值8，则即 解得：或， 当时，，此时不是极值点，故舍去； 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故. 【巩固练习2】已知函数，若是的极值点，求的极值． 【答案】极大值为，极小值为 【分析】首先确定函数的定义域，由是的极值点，所以，解得，再求出函数的单调区间，从而求出函数的极值. 【详解】函数的定义域为，， 由是的极值点，所以，解得， 所以，令， 所以， 所以，，单调递增，，，单调递减， ，，单调递增，所以，. 【巩固练习3】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【详解】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以 【巩固练习4】已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【答案】 【解析】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 【题型4】利用导数求函数的最值（不含参） 利用导数求函数最值的详细步骤如下： 1. 求导数：首先，对给定的函数求导，得到其导数表达式。 2. 找临界点： · 令导数等于0，解方程找出所有使导数等于0的点，这些点称为驻点或临界点。 · 检查函数定义域内是否有导数不存在的点（如分母为0的点），这些点也是临界点。 3. 判断单调性： · 在每个临界点之间及临界点两侧选取测试点，代入导数表达式，判断导数的符号。 · 根据导数的符号变化，确定函数在这些区间上的单调性（增或减）。 4. 求最值： · 在每个单调区间内，函数要么没有最值（如果区间是开区间），要么最值出现在区间的端点或临界点处。 · 对于闭区间，还需要检查区间端点的函数值。 · 比较所有候选点的函数值，确定函数在该区间上的最大值和最小值。 注意：对于实际应用问题，还需要考虑函数的实际定义域和约束条件。 8． （23-24高三·河南商丘·期末）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数在处取得极小值1求出，利用导数判断出区间上的单调性，求出极值、端点值可得答案. 【详解】， 因为函数在处取得极小值1， 所以，解得， 可得，且，解得， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， ，， 则在区间上的最大值为6. 9． （2024·浙江杭州·二模）函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】令，则，故， 令， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 故， 即函数的最大值为. 【巩固练习1】（23-24高三·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 【巩固练习2】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵函数， ∴，令，得， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ∴在处取极小值，也是最小值， ∴函数最小值为. 【题型5】求含参函数的最值 求含参函数最值步骤：先对参数分类讨论，再对每类求导找极值点，结合边界点比较确定最值。 10． 已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【解析】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【巩固练习1】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 【解析】（1）当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值. （2）， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 【巩固练习2】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值. 【解析】（1）当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值. （2）， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 【题型6】根据函数的最值求参数的值 根据最值条件建立方程，解方程求参数，验证解符合题意。 11． 若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．2 D． 【答案】C 【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值 【详解】由，得， 当时，在上恒成立， 所以在上递增， 所以，解得（舍去）， 当时，由，得或， 当时，在上恒成立， 所以在上递增， 所以，解得（舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去）， 当时，当时，，所以在上递减， 所以，解得，综上， 【巩固练习1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数，可得， 令，即，解得或（舍去）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取最小值，而， 即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为 【巩固练习2】若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解. 【详解】，令，解得或， 当时，；当时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上的最大值为，解得． 【巩固练习3】已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【解析】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最小值， 若，在上单调递减， 要想函数有最小值，则，解得， 故实数的最大值为. 【题型7】由极值，极值点求参数范围【重点题型】 一、根据极值或极值点个数求参数范围 首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型（极大值或极小值）。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情况。 二、根据函数有（无）极值点求参数范围 函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程无解或解不满足极值条件（如二阶导数为零），则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值 的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无 极值的情况。 三、函数在某区间上存在极值点求参数范围 函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为在该区间上有解，建立关于参 数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值 点。 12． （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 13． （2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 14． （2024·高三·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 15． （23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值 16． （2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以， 17． （2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 令，解得：或， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极大值点，为的极小值点， 所以或， 解得：或. 所以的取值范围为：. 18． （2024·新高考2卷真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【巩固练习1】（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 【巩固练习3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为，， 又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点， 由，所以方程有两个不同的正实数， 所以，即. 【巩固练习4】（2024·重庆·三模）（多选）若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为既有极小值又有极大值， 可得方程在上有两个不同的实数根， 则满足，可得，所以，，， 例如：时，满足上式，此时不成立． 【巩固练习5】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 【巩固练习6】（23-24高三·湖北武汉·期末）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可. 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示，    由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是 【巩固练习7】（23-24高三·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型8】根据函数的最值求参数范围 根据函数最值求参数范围题型，关键在于建立最值条件与参数之间的不等式或等式关系。首先，需明确函数在给定条件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）。然后，通过导数分析函数单调性，找到可能的极值点，并结合定义域边界点，确定最值的具体位置。最后，将最值条件转化为关于参数的方程或不等式，求解得到参数的取值范围。此题型考察函数性质、导数应用及不等式求解能力。 19． 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 20． （2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 【巩固练习1】已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由函数，可得， 当或时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即为函数的极小值点； 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 【巩固练习2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可） 【分析】将问题“在上有最小值”转化为在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】由可知，， 又在上有最小值， 所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 所以，解得， 又因为，所以. 故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）. 【巩固练习3】（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值，    当时，即， 解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 【巩固练习4】已知函数的最小值为1，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，， 设，，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故，故有解，即，，， 即，， 设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递增； ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知，解得或，即. 【巩固练习5】若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意知， 令，原函数变为. 令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 即对于，，即，当且仅当时取最小值， 所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可； 也即函数与函数图象有交点即可； 令，则， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示： 即即满足题意；所以. 【题型9】函数极值、最值的综合应用 函数单调性、极值、最值的综合应用题型常要求分析函数在特定区间内的行为，包括增减性、极值点及最值点。解题时，首先通过导数判断函数单调性，找出增减区间；其次，利用导数等于零的点及二阶导数测试确定极值点；最后，在闭区间上还需考虑端点值，综合比较得出最值。这类题型考察对函数性质的理解及导数应用的熟练度，是微积分中的重要内容。 21． （2024·重庆·三模）已知，则（    ） A． B．在上单调递增 C．，使 D．，使 【答案】AC 【分析】求解函数的定义域判断B，代入求值判断A，求导研究函数的单调性，求出函数的极值并画出图象即可判断CD. 【详解】要使函数有意义，则有，且， 即定义域，B错误； ，，，A正确； ， 记，，则， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，，即， 又时，， 令，则单调递增，又， 存在唯一，使得，此时， 时，，时，，时，， 时，，故在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， ，. 作出函数的图象，如图：    所以C正确，D错误. 【巩固练习1】（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 【答案】 【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值. 【详解】由，且， 令，则，即在上递增， 所以在上递增，又，，，， 所以，使，且时，， 时，，所以在上递减，在上递增， 所以 由，得， 令函数，， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以. 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】导函数为二次函数，为对应的一元二次方程的两根，由，代入函数解析式，结合韦达定理化简，可解出实数的取值范围. 【详解】因为，所以． 又函数有两个不同的极值点，所以 解法一：由，得， 即． 将的值代入（*）式，得，解得， 故选：A． 解法二：函数为奇函数，图象的对称中心为， 则函数图象的对称中心为 设， ， 比较系数，有， 解得 所以函数图象的对称中心为， 即若存在两个相异的极值点，则其对称中心为点和点的中点，即． 由题设得，即，即， 所以解得. 7 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$