5．带电粒子在电场中的运动（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理必修第三册（人教版）

5．带电粒子在电场中的运动 学习目标 核心素养 1．能从动力学和能量的角度分析计算带电粒子在电场中的加速问题。 2．能够用运动的合成与分解的方法研究带电粒子在电场中的偏转问题。 3．了解示波管的构造和基本原理。 [对应学生用书第46页] 一、带电粒子在电场中的加速(两种思路) 1．动力学分析：适用于匀强电场，公式有 qE＝ma，v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，x＝t等。 2．动能定理：公式有qU＝mv2－mv或qEd＝mv2－mv(匀强电场)。 二、带电粒子在电场中的偏转 如图所示，质量为m、带电荷量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，极板间距离为d，极板间电压为U。 1.运动性质 (1)沿初速度方向：速度为v0的匀速直线运动。 (2)垂直v0的方向：初速度为零的匀加速直线运动。 2.运动规律 (1)偏移距离：因为t＝、a＝，所以偏移距离y＝at2＝ (2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tan θ＝＝。 三、示波管的原理 1．示波管主要由电子枪(由发射电子的灯丝，加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极和一对Y偏转电极组成)和荧光屏组成。 2．扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 3．示波管工作原理：被加热的灯丝发射出热电子，电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转电极上加一个信号电压，在X偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图像。 1．判断下列说法的正误(正确的画“√”，错误的画“×”)。 (1)质量很小的粒子如电子、质子等，在电场中受到的重力可忽略不计。(√) (2)动能定理能分析匀强电场中的直线运动问题，不能分析非匀强电场中的直线运动问题。(×) (3)带电粒子(不计重力)在电场中由静止释放时，一定做匀加速直线运动。(×) (4)对带电粒子在电场中的运动，从受力的角度来看，遵循牛顿运动定律；从做功的角度来看，遵循能量的转化和守恒定律。(√) (5)带电粒子在匀强电场中偏转时，加速度不变，粒子的运动是匀变速曲线运动。(√) (6)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束，偏转电极的作用是使电子束偏转，打在荧光屏不同位置。(√) 2．示波管是由哪几部分组成的？ 答案　电子枪、偏转电极、荧光屏。 [对应学生用书第47页] 要点一　带电粒子在电场中的直线运动 电子由静止从P板向Q板运动，电子到达Q板的速度大小与什么因素有关？ 提示　速度的大小与加速电压有关。 1．关于带电粒子在电场中的重力 (1)基本粒子：如电子、质子、α粒子等，除有说明或有明确的暗示以外，此类粒子一般不考虑重力(但并不忽略质量)。 (2)带电微粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。 2．带电粒子的加速：当带电粒子以很小的速度进入电场中，在静电力作用下做加速运动，示波器、电视显像管中的电子枪都是利用电场对带电粒子加速的。 3．处理方法：可以从动力学和功能关系两个角度进行分析，其比较如表所示。 动力学角度 功能关系角度 涉及 知识 牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理 选择 条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，静电力可以是恒力，也可以是变力 [例1]　如图，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动。已知两极板间电势差为U，板间距为d，电子质量为m，电荷量为e。则关于电子在两板间的运动情况，下列叙述正确的是(　　) A．若将板间距d增大一倍，则电子到达Q板时的速率保持不变 B．若将板间距d增大一倍，则电子到达Q板时的速率也增大一倍 C．若将两极板间电势差U增大一倍，则电子到达Q板的时间保持不变 D．若将两极板间电势差U增大一倍，则电子到达Q板的时间减为一半 [解析]　根据动能定理得eU＝mv2，可知电子到达Q板时的速率为v＝，将板间距离增大一倍，因为电压不变，电子到达Q板时的速率不变，A正确，B错误；电子的加速度为a＝＝，根据d＝at2得t＝d，若将两极板间电势差U增大一倍，则电子到达Q板的时间减为原来的，C、D错误。 [答案]　A 分析带电粒子加速运动问题的两点技巧 (1)对于匀强电场虽然用动力学观点和功能观点均可求解，但运用功能观点列式更简单，故应优先选用功能观点。 (2)若电场为非匀强电场，带电粒子做变加速直线运动，不能通过牛顿运动定律途径求解。注意W＝qU对一切电场适用，因此从能量的观点入手，由动能定理来求解。 1．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，杀死其中的恶性细胞，如图所示。若质子的加速距离为4.0 m，要使质子由静止被加速到1.0×107 m/s，加速电场可看成匀强电场。(质子质量为1.67× 10－27 kg)求： (1)加速电场的电场强度大小。 (2)加速电场两端的电势差大小。 解析　(1)由动能定理得Eql＝mv2，代入数据解得E＝1.3×105 N/C； (2)加速电场两端的电势差大小为U＝Ed＝5.2×105 V。 答案　(1)1.30×105 N/C　(2)5.2×105 V 要点二　带电粒子在电场中的偏转 如图所示，两个相同极板的长度为l，相距为d，极板间的电压为U。一个电子沿平行于板面的方向射入电场中，射入时的速度为v0。把两板间的电场看作匀强电场，分析电子在电场中的运动情况。 提示　电子在电场中做类平抛运动。 1．基本规律：带电粒子在电场中的偏转，轨迹如图所示。 (1)初速度方向 (2)电场线方向 (3)离开电场时的偏转角：tan α＝＝。 (4)离开电场时位移与初速度方向的夹角：tan β＝＝。 2．几个常用推论 (1)tan α＝2tan β。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向交于沿初速度方向分位移的中点。 (3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要相同，即比荷相同，则偏转距离y和偏转角α相同。 (4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角α相同。 (5)不同的带电粒子经同一加速电场加速后(即加速电压相同)，进入同一偏转电场，则偏转距离y和偏转角α相同。 [例2]　如图所示为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U1加速，从A板中心孔沿中心线射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间的电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力。 (1)求电子穿过A板时速度的大小。 (2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y。 (3)若要电子打到荧光屏上的P点的上方，可采取哪些措施？ [解析]　(1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，由动能定理得eU1＝mv－0， 解得v0＝。 (2)电子以速度v0进入偏转电场后，沿垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动。设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度为a。由牛顿第二定律和运动学公式得 F＝eE＝ma，y＝at2， 又a＝，t＝， 解得y＝。 (3)减小加速电压U1或增大偏转电压U2等。 [答案]　(1)　(2)　(3)见解析 带电粒子在电场中运动问题的处理方法 带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上看仍可利用力学中的规律分析：如选用平衡条件、牛顿定律、动能定理、功能关系、能量守恒等。 2．水平放置的两块平行金属板长L＝6.0 cm，两板间距d＝2.0 cm，两板间电压为200 V，且上板带正电荷。一电子沿水平方向以速度v0＝3.0×107 m/s从两板中间射入，如图所示，(电子电荷量q＝1.6×10－19 C，电子质量me＝9.1×10－31 kg)若电子离开电场后，打在屏上的P点，s＝10 cm，求OP的长。 解析　电子在电场中的加速度a＝， 侧位移y＝， 又因t＝，则y＝≈0.35 cm， tan θ＝≈0.4， 电子飞出电场后做匀速直线运动， 则OP＝y＋stan θ＝4.35 cm。 答案　4.35 cm 要点三　带电粒子在交变电场中的运动 粒子加速器是利用周期性变化的电场使带电粒子在其中不断被加速的仪器，如图所示为加速器的一种——直线加速器。思考：为使粒子不断被加速，粒子运动到每个空隙时，电场方向应如何变化？ 提示　粒子运动到每个漂移管的空隙(相当于电容器极板正对区域)时，电场方向应该和在上一个间隙时相同，才能使粒子经过空隙时被持续加速，所以加在漂移管上的电压应该如题图中所示的那样间隔排布。 1．当空间存在交变电场时，粒子所受静电力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性。 2．研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v－t图像，特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期。 [例3]　在如图所示的平行板电容器的两板A、B上分别加如图甲、乙所示的两种电压，开始B板的电势比A板高。在静电力作用下原来静止在两板中间的电子开始运动。若两板间距足够大，且不计重力，试分析电子在两种交流电压作用下的运动情况，并画出相应的v－t图像。 [解析]　t＝0时，B板的电势比A板高，在静电力作用下，电子向B板(设为正向)做初速度为零的匀加速运动。 (1)对于题图甲，在0～T时间内电子做初速度为零的正向匀加速直线运动，～T时间内电子做末速度为零的正向匀减速直线运动，然后周期性地重复前面的运动，其速度图线如图1所示。 (2)对于题图乙，在0～时间内做类似图1中0～T时间内的运动，～T时间内电子做反向先匀加速、后匀减速、末速度为零的直线运动。然后周期性地重复前面的运动，其速度图线如图2所示。 [答案]　见解析 3．(多选)带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图所示。带电微粒只在静电力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是(　　) A．微粒在0～1 s内的加速度与1～2 s内的加速度相同 B．微粒将沿着一条直线运动 C．微粒做往复运动 D．微粒在第1 s内的位移与第3 s内的位移相同 解析　0～1 s和1～2 s微粒的加速度大小相等，方向相反，A错误；0～1 s和1～2 s微粒分别做匀加速直线运动和匀减速直线运动，根据这两段运动的对称性，1～2 s的末速度为0，所以每个1 s内的位移均相同且2 s以后的运动重复0～2 s的运动，是单向直线运动，B、D正确，C错误。 答案　BD [对应学生用书第50页] 1．(带电粒子的直线运动)两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入，最远到达A点，然后返回，如图所示，OA＝L，则此电子具有的初动能是(　　) A．　　 B．edUl C．　　 D． 解析　电子从O点运动到A点，因受电场力作用，速度逐渐减小。根据题意和题图判断，电子仅受电场力，不计重力。根据能量守恒定律得mv＝eUOA。因E＝，UOA＝EL＝，故mv＝，所以D正确。 答案　D 2．(带电粒子在电场中的偏转)(多选)如图所示，带电荷量之比为qA∶qB＝1∶3的带电粒子A、B以相等的速度v0从同一点出发，沿着跟电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D两点，若OC＝CD，忽略粒子重力的影响，则(　　) A．A和B在电场中运动的时间之比为1∶2 B．A和B运动的加速度大小之比为4∶1 C．A和B的质量之比为1∶12 D．A和B的位移大小之比为1∶1 解析　粒子A和B在匀强电场中做类平抛运动，水平方向由x＝v0t及OC＝CD得tA∶tB＝1∶2；竖直方向由h＝at2得a＝，它们沿竖直方向下落的加速度大小之比为aA∶aB＝4∶1；根据a＝得m＝，故＝，A和B的位移大小不相等，故选项A、B、C正确，D错误。 答案　ABC 3．(带电粒子在交变电场中的运动)A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放(电子的重力忽略不计)。分别在A、B两板间加四种电压，它们的UAB－t图线如下列四图所示。其中可能使电子到不了B板的是(　　) 解析　加A图电压，电子从A板开始向B板做匀加速直线运动，一定能到达B板，故A错误；加B图电压，电子向B板运动的v－t图像如解析图所示，由图可知，在一个周期内，电子的位移为0，有可能到不了B板，故B正确；加C图和D图电压，分析可知电子在一个周期内速度的方向不变，一直向B板运动，一定能到达B板，故C、D错误。 答案　B [对应素能提升训练第22页] 1．质子(11H)、α粒子(24He)、钠离子(Na＋)三个粒子分别从静止状态经过电压为U的同一电场加速后，获得动能最大的是(　　) A．质子(11H)　　　　　 B．α粒子(24He) C．钠离子(Na＋) D．都相同 解析　qU＝mv2－0，U相同，α粒子带的正电荷多，电荷量最大，所以α粒子获得的动能最大，故B正确。 答案　B 2．如图所示，一个平行板电容器充电后与电源断开，从负极板处静止释放一个电子(不计重力)，设其到达正极板时的速度为v1，加速度为a1。若将两极板间的距离增大为原来的2倍，再从负极板处静止释放一个电子，设其到达正极板时的速度为v2，加速度为a2，则(　　) A．a1∶a2＝1∶1，v1∶v2＝1∶2 B．a1∶a2＝2∶1，v1∶v2＝1∶2 C．a1∶a2＝2∶1，v1∶v2＝∶1 D．a1∶a2＝1∶1，v1∶v2＝1∶ 解析　电容器充电后与电源断开，再增大两极板间的距离时，场强不变，电子在电场中受到的电场力不变，故a1∶a2＝1∶1。由动能定理Ue＝mv2得v＝，因两极板间的距离增大为原来的2倍，由U＝Ed知，电势差U增大为原来的2倍，故v1∶v2＝1∶。 答案　D 3．如图所示，带电荷量之比为qA∶qB＝1∶3的带电粒子A、B，先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中，不计重力，带电粒子偏转后打在同一极上，水平飞行距离之比为xA∶xB＝2∶1，则带电粒子的质量之比mA∶mB以及在电场中飞行的时间之比tA∶tB分别为(　　) A．1∶1，2∶3　　 B．2∶1，3∶2 C．1∶1，3∶4　　 D．4∶3，2∶1 解析　粒子在水平方向上做匀速直线运动x＝v0t，由于初速度相同，xA∶xB＝2∶1，所以tA∶tB＝2∶1，竖直方向上粒子做匀加速直线运动y＝at2，且yA＝yB，故aA∶aB＝t∶t＝1∶4。而ma＝qE，m＝，＝·＝×＝。综上所述，D正确。 答案　D 4．在如图甲所示的平行板电容器A、B两板上加上如图乙所示的交流电压，开始时B板的电势比A板的高。这时在两板中间的电子由静止在静电力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下列说法正确的是(不计电子重力)(　　) A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性运动 B．电子一直向A板运动 C．电子一直向B板运动 D．电子先向B板运动，然后向A板运动，再返回B板做周期性运动 解析　由运动学和动力学规律可画出如图所示的v－t图像，可知电子一直向B板运动，C正确。 答案　C 5．图甲为示波管的原理图。如果在电极YY′之间所加的电压按图乙所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图丙所示的规律变化，则在荧光屏上看到的图形是(　　) A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 解析　由于电极XX′之间所加的是扫描电压，电极YY′之间所加的电压为信号电压，所以荧光屏上会看到B选项所示的图形。 答案　B 6．如图所示，在xOy平面的第一象限内有与y轴平行的有界匀强电场。一电子以垂直于y轴的初速度v0从P(0，2L)点射入电场中，并从A(2L，0)点射出电场。已知电子的电荷量大小为e，质量为m，不计电子的重力。求： (1)第一象限内电场的方向； (2)电子从P点运动到A点的时间； (3)匀强电场的电场强度大小。 解析　(1)因电子做类平抛运动向下偏转，则其所受电场力沿y轴负方向，电子带负电，受力方向和电场强度的方向相反，故第一象限的电场强度沿y轴正方向。 (2)电子从P点运动到A点受恒力与初速度垂直，做类平抛运动，水平方向为匀速直线运动2L＝v0t 可得运动时间为t＝。 (3)电子在竖直方向做匀加速直线运动，有 2L＝at2， a＝， 联立可得E＝。 答案　(1)沿y轴正方向　(2)　(3) 7．粒子直线加速器在科学研究中发挥着巨大的作用，简化如图所示：沿轴线分布O(为薄金属环)及A、B、C、D、E 5个金属圆筒(又称漂移管)，相邻漂移管分别接在高压电源MN的两端，O接M端。质子飘入(初速度为0)薄金属环O的轴心并沿轴线进入加速器，质子在金属圆筒内做匀速运动且时间均为T，在金属圆筒之间的狭缝被电场加速，加速时电压U大小相同。质子电荷量为e，质量为m，不计质子经过狭缝的时间，则(　　) A．质子从圆筒E射出时的速度大小为 B．圆筒E的长度为T C．MN所接电源是直流恒压电源 D．金属圆筒A的长度与金属圆筒B的长度之比为1∶2 解析　质子从O沿轴线进入加速器，质子经 5次加速，由动能定理可得5eU＝mvE2，质子从金属圆筒E射出时的速度大小为vE＝，选项A错误；质子在金属圆筒内做匀速运动，所以金属圆筒E的长度为LE＝vET＝T ，选项B正确；同理可知，金属圆筒A的长度LA＝T，金属圆筒B的长度LB＝T，则金属圆筒A的长度与金属圆筒B的长度之比为1∶，选项D错误；因由直线加速器加速质子，其运动方向不变，由题图可知，质子每次经过狭缝时，电场方向都向右，所以MN所接电源的极性应周期性变化，选项C错误。 答案　B 8．在地面附近，存在着一个有界电场，边界MN将空间分成左右两个区域，在右区域中有水平向左的匀强电场，在右区域中离边界MN某一位置水平地面由静止释放一个质量为m的带电滑块(滑块的电荷量始终不变)，如图甲所示，滑块运动的v－t图像如图乙所示，不计空气阻力，则(　　) A．滑块在MN右边运动的位移大小与在MN左边运动的位移大小相等 B．在t＝5 s时，滑块经过边界MN C．滑块受到的滑动摩擦力与电场力之比为2∶5 D．在滑块运动的整个过程中，滑动摩擦力做的功小于电场力做的功 解析　根据速度与时间图像可知，图线与时间轴所围成的面积表示位移大小，那么滑块在MN右边运动的位移大小小于在MN左边运动的位移大小，故A错误；滑块离开电场前做匀加速直线运动，离开电场后受到摩擦力作用而做减速运动，由图可以看出，滑块经过边界MN的时刻是t＝2 s，故B错误；由图像的斜率等于加速度得滑块离开电场前的加速度为a1＝，离开电场后的加速度大小为a2＝，由牛顿第二定律得：qE－Ff＝ma1，Ff＝ma2解得，摩擦力与电场力之比为2∶5，故C正确；整个过程中，动能变化量为零，根据动能定理，整个过程中摩擦力做的功与电场力做的功大小相等，故D错误。故应选C。 答案　C 9．如图所示，电子在电势差为U1的电场中由静止加速后，垂直射入电势差为U2的偏转电场。在满足电子能射出偏转电场的条件下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是(　　) A．U1变大，U2变大 B．U1变小，U2变大 C．U1变大，U2变小 D．U1变小，U2变小 解析　由带电粒子在电场中的加速和偏转运动规律可知tan θ＝，B正确。 答案　B 10．喷墨打印机的简化模型如图所示。重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电后，以速度v垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上。则微滴在极板间电场中(　　) A．向负极板偏转 B．电势能逐渐增大 C．运动轨迹是抛物线 D．运动轨迹与电荷量无关 解析　由于墨汁微滴带负电，应向正极板偏转，电场力做正功，电势能应减小，A、B均错误；由于所受电场力恒定且与初速度方向垂直，所以墨汁微滴做匀变速曲线运动，轨迹为抛物线，轨迹与电荷量有关，电荷量越大，微滴受力越大，打在纸上的位置越偏上，C正确，D错误。 答案　C 11．(多选)如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交流电压U，A板的电势φA＝0，UBA随时间的变化规律如图所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则(　　) A．若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动 B．若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 C．若电子是在t＝T时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 D．若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动 解析　根据电子进入电场后的受力情况和运动情况，作出如图所示的图像。 由图可知，当电子在t＝0时刻进入电场时，电子一直向B板运动，A正确。若电子在时刻进入电场，则由图知，电子向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，B正确。若电子在时刻进入电场，则由图知，在第一个周期电子即返回至A板，C错误。若电子在时刻进入电场，则它一靠近小孔便受到排斥力，根本不能进入电场，D错误。综上分析可知本题的正确选项为A、B。 答案　AB 12．计算机断层(CT)扫描仪是医院常用设备，下图是部分结构的示意图。图中两对平行金属极板MN、EF分别竖直、水平放置。靠近M极板的电子从静止开始沿EF极板间的中线 OO1，经MN间电场加速后进入EF板间，射出EF极板后打到水平放置的圆形靶台上。已知MN板间电压为U1，EF极板长为L、间距为d；靶台直径为、与OO1的距离为d、左端与EF极板右端的水平距离也为；电子质量为m、电荷量为e；电子重力和所受空气阻力的影响可忽略。 (1)求电子穿过N极板小孔时的速度大小v1。 (2)若电子刚好打在靶台左端，求EF极板所加电压U2。 (3)若只改变EF极板间电压，使打在靶台上的电子动能最小，求此动能的最小值Emin。 解析　(1)电子在MN极板间被加速，则U1e＝mv12，解得电子穿过N极板小孔时的速度大小v1＝； (2)若电子刚好打在靶台左端，则射出EF极板时速度的偏转角满足tanθ＝＝， tanθ＝，其中a＝，t＝， 解得U2＝； (3)使打在靶台上的电子动能最小，则电子在偏转电场中偏转距离最小，电子打在靶台上右端时电子的动能最小，此时由平抛运动的规律可知连接靶台右端与两板中心的连线方向为电子出射的方向，则由几何关系得＝＝，即y＝， 则由y＝t2，t＝， 解得U3＝， 则电子打到靶台上的最小动能Emin＝U1e＋ye＝U1e。 答案　(1)　(2)　(3)U1e 学科网（北京）股份有限公司 $$