专题02 基本不等式重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题02 基本不等式重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 3．（20-21高二·全国·课后作业）当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例3】（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ． 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最大值. 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）设，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例5】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 2．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 3．（22-23高一上·河南·期末）已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【经典例题六 条件等式求最值】 【例6】（2024·湖北·模拟预测）若正数，满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 3．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例8】（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 2．（2023高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【经典例题九 基本（均值）不等式的应用】 【例9】（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 3．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 【经典例题十 基本不等式的内容及辨析】 【例10】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 2．（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知实数，，，求 (1)令，求的取值范围； (2)的取值范围. 【经典例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 1、 单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 2、 多选题 6．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 9．（2024·重庆·模拟预测）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 10．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 3、 填空题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）当时，的最小值为 ． 12．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数,且,求的最大值. 53．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 19．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若的最小值为t，，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 1．（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及基本不等式判断各选项． 【详解】由，则，所以； 由，则，所以； 由基本不等式可得. 所以，故B正确，选项A、C、D错误. 故选：B. 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 3．（20-21高二·全国·课后作业）当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 【答案】. 【分析】利用做差比较法和基本不等式方法依次比较；；；;的大小即可得答案. 【详解】解：∵， ∴，∴ ∵，∴ ∴ 基本不等式容易得， ∵， ∴， ∵， ∴ 故. 【点睛】本题考查作差法比较大小和基本不等式比较大小，是基础题. 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 1．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，不等式，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例3】（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：B. 2．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】解法1、根据题意，得到，结合基本不等式求得，进而求得的最大值； 解法2、根据题意，得到，利用权方和不等式得，进而求得的最大值． 【详解】解法1、由，可得， 由基本不等式得，可得， 所以，当且仅当时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 解法2、由，可得， 因为，由权方和不等式得，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最大值. 【答案】（1）1  （2） 【分析】（1）根据，对化简，然后利用基本不等式求最大值. （2）由，都是正数可知，也是正数，利用基本不等式可求出的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时，取得最大值9， 所以的最大值为. 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（24-25高一上·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为定值，消元后利用基本不等式求最值. 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：A. 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（23-24高二下·河北衡水·阶段练习）设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 3．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件. （2）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可． （3）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2） ．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例5】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 1．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 2．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 3．（22-23高一上·河南·期末）已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 因为，所以， 所以原式 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为. 【经典例题六 条件等式求最值】 【例6】（2024·湖北·模拟预测）若正数，满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可. 【详解】因为，为正数，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时，取等号. 故选：B. 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得且，从而将目标式化为，再换元，利用基本不等式计算可得. 【详解】∵，，，∴，且， 则 令， 原式 ， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 故答案为： 3．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例8】（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 2．（2023高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】设，则， 又由得， 而函数在上是增函数， 因此时，取得最小值， 故答案为：. 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②. 【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （5）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （6）①令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. ②令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 【经典例题九 基本（均值）不等式的应用】 【例9】（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得利用基本不等式可得，再结合二次函数不等式求解方法即可求解. 【详解】由题可知：， 因为都是正数，所以（当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 化简可得，解得，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断. 【详解】对于①，∵、是正实数时，， ∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立； 对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立； 对于③，∵，∴③恒成立． 故答案为：③ 3．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据基本不等式可得，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可证明； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可证明. 【详解】（1）由，且可得， 故，当且仅当时等号成立． ， ，当且仅当时等号成立． （2） ， 当且仅当时等号成立．故． 【经典例题十 基本不等式的内容及辨析】 【例10】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 2．（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④. 【详解】因为，，， 对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确； 对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误； 对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确； 对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知实数，，，求 (1)令，求的取值范围； (2)的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据基本不等式，代入题设中得到关于的不等式，进而得到的取值范围. （2）将通分，结合题干得到，根据的范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）实数，，， 根据基本不等式可得，当且仅当，等号成立， 令，即，即， 解得. 所以的取值范围 （2）， 由（1）得，所以，即， 所以 所以的取值范围为. 【经典例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值. 【详解】令，则，且， 所以，又， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是换元法后利用“1”的代换，使用基本不等式求解最值. 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)3 【分析】（1）由二次函数性质即可得证； （2）由基本不等式结合乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，等号成立当且仅当. （2）由题意，且， 所以， 等号成立当且仅当即当且仅当， 所以的最小值为3. 1、 单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 故选：B. 3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 5．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：D. 2、 多选题 6．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解. 【详解】因为正数满足，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由， 可得，所以，当且仅当时，等号成立， 所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，因为，可得，且， 则，所以D不正确. 故选：AC. 7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 8．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 9．（2024·重庆·模拟预测）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【答案】BDE 【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得. 【详解】对于A项，，由可得， 因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误； 对于B项，由可得， 因，故得：，当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是，正确； 对于C和E项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，正确. 故选：BD. 10．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】ACD 【分析】举反例判断B，根据基本不等式判断ACD. 【详解】对于A，，当且仅当时等式成立，A正确； 对于B，当时，，满足，但是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立，即有最大值，D正确． 故选：ACD． 3、 填空题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）当时，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 12．（23-24高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据题意，结合，得到，即可求解； （2）化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为， 由，可得，解得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. （2）因为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数,且,求的最大值. 【答案】 【分析】通过构造,再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意得:, 又因为, 所以,当且仅当时,等号成立, 所以. 53．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为9． 【分析】（1）（2）根据给定条件，配凑并利用基本不等式求出最值即得. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以原函数的最小值为9. 19．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论； （2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去，得到关于一个的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 20．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若的最小值为t，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原不等式等价于，然后两边平方即可求得解集 （2）利用绝对值三角不等式得，然后利用换元法结合基本不等式求最值即可 【详解】（1）由，即，即， 即，解得， 所以不等式的解集为． （2）因为，当且仅当时“=”成立， 所以， 所以． 令，，则，，，， 所以， 当且仅当，即时“=”成立， 所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$