专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 1．（23-24高一上·北京昌平·期末）对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，，且，，能否判断与的大小？举例说明 【经典例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 【例2】（2018高二·全国·竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（20-21高一·全国·课后作业）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（19-20高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 1．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 3．（21-22高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 3．（2022高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【经典例题六 用不等式表示不等关系】 【例6】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 1．（2021高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 3．（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（19-20高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 1．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 1、 单选题 1．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a，最小值为b，令为满足的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（    ） A．97 B．98 C．99 D．98或99 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2、 多选题 6．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河北衡水·期末）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知，，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖南娄底·期末）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 3、 填空题 11．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 12．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 20．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 1．（23-24高一上·北京昌平·期末）对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】采用举反例的方法，可判断A，B，C，利用不等式性质可判断D. 【详解】对于A：如果，当时，则，选项A不正确； 对于B：如果，取，，满足条件，但，选项B不正确； 对于C：如果，取，，满足条件，但，选项C不正确； 对于D：如果，则必有，故，则，选项D正确. 故选：D. 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 【答案】②④ 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可. 【详解】对①，当时，，故①不成立； 对②，若，则，即，则，故②成立； 对③，若，则，则，故③不成立. 对④，若，则且，故，故④成立； 对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立， 对⑥，，故⑥不成立， 故②④为真命题. 故答案为：②④. 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，，且，，能否判断与的大小？举例说明 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】因为的正负不确定，因此可举例说明每个小题中两式的大小关系不确定. 【详解】解析：（1）不能判断与的大小， 举例：取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； （2）不能判断与的大小 举例：取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 【经典例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 【例2】（2018高二·全国·竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件. 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 1．（20-21高一·全国·课后作业）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论. 【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，则，所以C错误； 对于D，若，则，所以D错误. 故选：B 2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：③ 3．（2023高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【答案】(1)； (2)； (3)（当时，等号成立）； 【分析】利用作差法，将式子整理变形并根据已知数据的范围即可判断出所得式子的符号，即可得出（1）（2）（3）中的结论. 【详解】（1）易知 ； 又因为为正数，且，所以； 即可得， 即； （2）易得 ； 又因为，所以，显然； 所以，即； （3）因为； 又均为正数，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立； 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 2．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【详解】由,有，， 则，故, 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（19-20高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 1．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 3．（21-22高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，根据不等式性质，故A错误； 对于B，若，当时，大小无法确定，故B错误； 对于C，若，则，，对不等式两边同时乘以，则，故C正确； 对于D，若时，，故D错误， 故选：C. 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 2．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 3．（2022高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】 因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 【经典例题六 用不等式表示不等关系】 【例6】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 1．（2021高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可. 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 3．（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【答案】(1)20； (2)变好了，详细见解析. 【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解； （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则， 所以，所以，所以. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：， 则. 因为，所以. 又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（19-20高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 1．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【详解】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 1、 单选题 1．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判断C. 【详解】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误， 故选：C. 2．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 4．（2024高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a，最小值为b，令为满足的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（    ） A．97 B．98 C．99 D．98或99 【答案】D 【分析】根据题意设，得到，从而得到 ，代入不等式即可求解. 【详解】设(, 为常数) ，由题可得，，即， 由于，令 ，即，解得：， 所以，则，即， 所以小林原始分89，他的赋分是98或99. 故选：D 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 2、 多选题 6．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 7．（23-24高二下·河北衡水·期末）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，通过取特殊值，即可判断出结果的正误；选项B，利用不等式的性质，即可判断出结果的正误；选项D，利用作差法，即可判断出结果的正误. 【详解】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确； 对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确； 对于C选项，因为，但是，所以C不正确； 对于D选项，若，则，即，故选项D正确. 故选：BD. 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知，，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断ABC，利用特殊值排除D，从而得解. 【详解】因为，，所以， 对于A，当，时，； 当，时，，则，即； 当，时，，则，即； 当，时，，，则； 综上，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误， 故选：ABC. 9．（23-24高一上·湖南娄底·期末）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】选项和先作差，然后结合不等式的性质即可判断；选项取，，即可判断；选项根据，的取值范围，结合不等式的性质即可判断. 【详解】因为，所以，所以，又， 所以，所以正确； 当，，则，，所以，所以不正确； 因为，所以，又，所以，即，所以正确； 因为，所以，即，所以不正确. 故选：. 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 3、 填空题 11．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据不等式的性质即可求解. 【详解】 正数、、满足，， ，所以 同理：有得到，所以 两式相加： 即 又,即 即． 故答案为： 13．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为. 【详解】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 【答案】22 【分析】首先通过待定系数将表示为，然后根据已知条件求出的范围，根据不等式的性质同向不等式相加即可得解. 【详解】由题意不妨设， 则，解得， 所以， 注意到， 所以，， 所以当且仅当即时，取得最大值22， 综上所述：的最大值是22. 故答案为：22. 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 【答案】证明见解析， 【分析】利用绝对值三角不等式进行放缩，结合不等式恒成立问题求解． 【详解】证明：因为，由三角不等式，得， 所以，当且仅当时成立， ∴时等号成立． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【答案】． 【分析】分类讨论去掉绝对值解出来即可. 【详解】解：当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为即．恒成立； 当时，原不等式可以化为．解得． 综上，原不等式的解集为． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 20．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 应用不等式性质线性运算可得； （2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可. 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$