21.3实际问题与一元二次方程（第3课时 几何图形与一元二次方程）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.3.3 几何图形与 一元二次方程 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？ 设长为xcm，则宽为 解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时， 当x＝13cm时， ∴这个矩形的长为13cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？ 解：设较短直角边长为 x cm，由题意，得： x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0. 解这个方程得： ∴较长直角边长为 ∴直角三角形面积＝ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 　　　　 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 可列方程为 x 20-x 32-x 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m.(1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽；(2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？(3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． A B C D 提示：(1)若设BC＝x m，则AB的长为 m， 若设AB＝x m，则BC＝(35－2x) m， 再利用题设中的等量关系，可求出(1)的解； (2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m， 从而对(1)的结论进行甄别即可； BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m. 依题意可列方程为x· ＝150， 整理，得x2－35x＋300＝0. 解这个方程，得x1＝20，x2＝15. 当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m， 当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m. 即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m； A B C D (2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m； BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 (3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下： 设BC＝x m，则AB＝ m． 依题意可列方程为x· ＝160， 整理，得x2－35x＋320＝0. 此时Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0， 原方程没有实数根， 从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场． A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？ 住房墙 1m 解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m， 由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80， 解得 x1 = 5，x2 = 8. 当 x = 5 时，26 − 2x = 16 > 12(舍去)； 当 x = 8 时，26 − 2x = 10 < 12. 故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m. 则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile 处有一目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. A B D C E F 北 东 200 200 45° 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,其中≈2.449 ) BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 ∵AD=CD BF=CF 解：连接DF, ∴DF是△ABC的中位线 ∴ DF//AB且DF= AB ∵AB⊥BC AB=BC=200 ∴DF⊥BC DF=100（海里）BF=100（海里） A B D C E F 北 东 200 ? 200 45° 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, 则相遇时军舰的行程应为AB+BE=2 x海里. EF=AB+BF-(AB+BE) =(300-2 x)海里 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 答:相遇时补给船航行了约118.4海里. 整理得 解这个方程得 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2＝1002＋(300－2x)2 3 x2 －1200 x＋100000＝0 ∴x1＝200－ ≈118.4 x2＝200＋ （不合题意，舍去） A B D C E F 北 东 200 ? 200 45° BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 几何图形问题与一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 类 型 围墙鸡场问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 动点面积问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 B C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN －x＝20－13＝7(cm) (－x)cm， x·(－x)＝91 －x＝20－7＝13(cm)(舍去)； x1＝，x2＝(不合题意，舍去)， x＋1＝＋1＝， ××＝12(cm2)． 解：根据题意可知横彩条的宽度为x cm. ∴y＝20×x＋2×12·x－2×x·x. 整理，得y＝－3x2＋54x. 解：根据题意可得－3x2＋54x＝×20×12. 解得x1＝2，x2＝16(舍去)． ∴x＝3. 答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm. 解：∵AP＝t cm，QB＝2t cm，∴PB＝(6－t)cm. ∴×(6－t)×2t＝8，解得t1＝2，t2＝4. 答：2 s或4 s后△PBQ的面积等于8 cm2. $$