专题06用全等三角形证明五种常见结论的技巧-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题06用全等三角形证明五种常见结论的技巧 题型01全等三角形法证线段相等 【典例分析】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．    （1） ；（填“”“”或“”） （2） ． 【变式演练】 【变式1-1】.如图，在四边形中，，，．求证：． 【变式1-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F． (1)当点D在线段上时，证明：； (2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：． 题型02全等三角形法证线段的位置关系 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 【变式演练】 【变式2-1】.如图，，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且． (1)若，求证：． 【变式4-3】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．    (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)写出线段与的位置关系，并证明． 题型03等线段代换法证线段的和差关系 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【例3-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，若为中点，求证：平分． 【例3-3】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（   ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ． （3）类比探究：如图3，中，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （4）拓展提升：如图4，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知求证： 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【变式3-2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　 　，与的数量关系为 　　 ； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．    (1)连接交于点，设． ①当时，如图1，则______． ②当时，如图2，若，求的长． (2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：． 题型04截长补短法证线段的和差关系 【典例分析】 【例4-1】如图，在中，，于D，求证：． 【例4-2】如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 【变式演练】 【变式4-1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 【变式4-2】．（2023秋•平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【变式4-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型05倍长中线法证三边关系 【典例分析】 【例5】（24-25八年级上·全国·假期作业）己知：在中，为中线．求证：． 【变式演练】 【变式5-1】．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【变式5-2】．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在中，，，为上任一点， 求证：． 【变式5-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06用全等三角形证明五种常见结论的技巧 题型01全等三角形法证线段相等 【典例分析】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．    （1） ；（填“”“”或“”） （2） ． 【答案】 3 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，即可。 （2）延长、交于点F，证明，得出，，求出，证明，得出． 本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形。 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）延长、交于点F，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3 【变式演练】 【变式1-1】.如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定与性质． （1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证． （2）根据，证明，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴的长为5 【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F． (1)当点D在线段上时，证明：； (2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等” 证明，再根据 “AAS”证明即可； （2）类比（1）的方法证明即可； （3）延长交的延长线于点，利用“ASA”证明即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：结论成立． ， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． （3）证明：如图： 如图，延长交的延长线于点， ，， ， ，， ， ， 又 E、关于直线对称， ， ， 、、三点共线， 由（2）可得， ，， ， 即， ，， ， ，， 在和中 ． 题型02全等三角形法证线段的位置关系 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 【答案】，；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据已知可证得，再根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，据此可证得． 【详解】解：，， 理由如下：如图所示，设交于点，交于点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 【变式演练】 【变式2-1】.如图，，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等，可证，再利用证明； （2）由，得，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且． (1)若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 过点A作交于点M．证明．得到，则，即可得到结论； 【详解】证明：如图1，过点A作交于点M． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式4-3】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．    (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)写出线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）延长至H，使，连接．证明．得到，推出．再证明，得到，由此得到结论． （2）由得到，推出，进而得到，证得． 【详解】（1）证明：延长至H，使，连接．    ∵F是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）． 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法正确三角形全等，正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键 题型03等线段代换法证线段的和差关系 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【例3-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，若为中点，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作的垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题； （2）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于， 则， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于， 则， 在和中， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分 【例3-3】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（   ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ． （3）类比探究：如图3，中，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （4）拓展提升：如图4，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知求证： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求S的值； （3）如图3，过作于，构造全等三角形即可求解； （4）根据证明，即可解答； 【详解】（1）观察理解： 由， 在和中， ， 故答案为∶； （2）理解应用： 由（1）得∶ 故答案为：． （3）类比探究∶ 如图3，过作于， 由旋转得∶， 由（1）可知， ； （4）拓展提升∶ 如图4， 在和中， ， 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线m，直线m， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴ 【变式3-2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　 　，与的数量关系为 　　 ； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，； （2）由（1）同理可得，得，，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【解答】解：（1）， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）， 由（1）同理可得， ，， ； （3）存在，当时， ，， ； 当时， ，， ， 综上：或． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．    (1)连接交于点，设． ①当时，如图1，则______． ②当时，如图2，若，求的长． (2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①证即可求解；②过点作于，证，再证，可求． （2）在上截取，连证，再证，即可求证． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： ②过点作于，如图所示：    ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）解：在上截取，连，如图所示：    ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 题型04截长补短法证线段的和差关系 【典例分析】 【例4-1】如图，在中，，于D，求证：． 解法一：（截长）在CD上截取，连接AE， ∵，∴， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴． 解法二：（补短）延长CB到F，使，连接AF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例4-2】如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 方法一：（截长）在上截取，连接． 在和中 ，， ∴ ∴， 又∵ ∴，∴ ∴． 方法二：（补短）延长到点使得，连接． 在和中，，， ∴，∴ 又∵ ∴∴， ∴． 方法三：（补短）延长到点使得，连接 则有， 又∵，∴∴ ∴，∴ ∴AB+BD=AC 若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法. 【变式演练】 【变式4-1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 解析：在AB上取一点E,使AE=AC, 连接DE, ∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD ∴△ACD≌△AED ∴CD=DE,∠C=∠3 ∵∠C=2∠B ∴∠3=2∠B=∠4+∠B ∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE ∵AB=AE+BE ∴AB=AC+CD 【变式4-2】．（2023秋•平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）在上截取，使得，连接， 平分， ， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为16． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 题型05倍长中线法证三边关系 【典例分析】 【例5】（24-25八年级上·全国·假期作业）己知：在中，为中线．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查几何证明，涉及三角形全等的判定与性、三角形三边关系等知识，用倍长中线法可将线段转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来，再由三角形全等判定与性质得到即可得到答案．根据要证结论，倍长中线是解决问题的关键． 【详解】证明：延长至，使，连接，如图所示： ∵为中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，，即，则 【变式演练】 【变式5-1】．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式5-2】．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在中，，，为上任一点， 求证：． 【分析】解法一：在上截取，使，连接，证明，得，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可； 解法二：延长到，使，连接，证明，得，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【解答】解：解法一：如图，在上截取，使，连接， 在和中， ， ， ， 在中，， 即； 解法二：如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ， 在中，， 即． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$