专题06等腰三角形的两种分类讨论问题-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题06等腰三角形的两种分类讨论问题 题型01对角分类讨论 【典例分析】 【例1-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【例1-2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 【例1-3】（20-21八年级上·浙江台州·期中）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． ①如果∠A=80°，求∠BPC的度数； ②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ； ③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级·四川达州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（　　） A． B．或 C．或 D． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【变式1-3】（20-21八年级上·福建厦门·期中）概念学习：若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称这个三角形为过该顶点的生成三角形．      (1)如图，在中，，点D在线段的垂直平分线上，请问是否是生成三角形？请你说明理由． (2)若是过顶点B的生成三角形，是其最小的内角，且是其中一个小等腰三角形的底边，是另一个小等腰三角形的底角，请探求与之间的关系． 【变式1-4】（2022春•吉安月考）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 题型02对边分类讨论 【典例分析】 【例2-1】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（　　） A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm 【例2-2】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为　 　cm． 【例2-3】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形底边长为18，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ） A．9 B．27 C．9或27 D．18 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形两边长分别为6,9，则其周长为 ． 【变式2-3】（2023秋•志丹县月考）一个等腰三角形的周长是30cm． （1）若腰长是底边长的2倍，求各边的长． （2）若其中一条边的长是8cm，求另外两条边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06等腰三角形的两种分类讨论问题 题型01对角分类讨论 【典例分析】 【例1-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】D； 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答． (1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D． 【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答. 【例1-2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论. 【答案与解析】 解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知： 两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°， 又由等腰三角形的性质可知：两底角相等， 故每个底角的度数； (2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°， 则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°． ∴其余各角为70°，70°或40°，100°． 【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏. 【例1-3】（20-21八年级上·浙江台州·期中）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． ①如果∠A=80°，求∠BPC的度数； ②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ； ③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 【答案】（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°． 【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题； ②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可； ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°， ②∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵GH∥BC， ∴∠GPB =∠CBP， ∴∠ABP=∠GPB， ∴BG=GP， 同理，CH=PH， GH=BG+HC， △AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC， △ABC的周长为15，BC=5， 15-5=10， ∴△AGH的周长为10； 故答案为：10， ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴PD=PR，PD=PF， ∵∠ABC=60°， ∴∠PBD=30° ∵BP=3， ∴PD=1.5， ∴PR=PF=1.5， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB） ＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB） ＝[360°﹣(180°-∠A）] ＝（180°+∠A） ＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+∠MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°． 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉及的知识进行分类讨论是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级·四川达州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可 【详解】解：①当底角为时，顶角， ②当顶角为时，顶角度数， 综上：顶角度数为或； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为； ②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为； 故答案为：或 【变式1-3】（20-21八年级上·福建厦门·期中）概念学习：若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称这个三角形为过该顶点的生成三角形．      (1)如图，在中，，点D在线段的垂直平分线上，请问是否是生成三角形？请你说明理由． (2)若是过顶点B的生成三角形，是其最小的内角，且是其中一个小等腰三角形的底边，是另一个小等腰三角形的底角，请探求与之间的关系． 【答案】(1)是生成三角形，理由见解析 (2)或 【分析】（1）求出的度数，由垂直平分线的性质可得为等腰三角形,然后计算的度数可得与为等腰三角形,再根据生成三角形的定义解题即可； （2）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵, , ∴, ∵点在线段的垂直平分线上， ∴, 即为等腰三角形, ∴, ∴ ∴, ∴, 即为等腰三角形, ∴将分成两个等腰三角形. ∴根据生成三角形的定义，是生成三角形. （2）如图2所示,当时,    ∴, ∵， ∴, 如图，当时， 则，， ∴， 又∵， ∴．    综上所述，或． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键 【变式1-4】（2022春•吉安月考）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况． 题型02对边分类讨论 【典例分析】 【例2-1】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（　　） A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm 【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去； 当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）． 故它的周长为17cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【例2-2】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为　 　cm． 【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD＝DC＝x， 若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5， 则x+y＝18，解得y＝13， 所以2x＝10； 若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6， 则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9， 所以2x＝12， 10、10、13和12、12、9均能构成三角形， 所以等腰三角形的腰长为10或12． 故答案为：10或12． 【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证． 【例2-3】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长． 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3． 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去． ∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形底边长为18，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（    ） A．9 B．27 C．9或27 D．18 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系．进行分类讨论是解题的关键． 本题有两种情况，当底较长的时候和腰比较长的时候两种情况． 【详解】 解：设等腰三角形腰长为， 由题意得：或， 解得或9， 当时，27，27，18能构成三角形， 当时，9，9，18无法构成三角形， ， 故选：B 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形两边长分别为6,9，则其周长为 ． 【答案】21或24/24或21 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形两边之和大于第三边；两条之差小于第三边”是解题的关键，根据题意分情况讨论：①当腰长为6时；②当腰长为9时；分别求得周长即可． 【详解】解：由题可知：①当腰长为6时；则底边为9， 此时等腰三角形的周长为：， ②当腰长为9时；则底边为6， 此时等腰三角形的周长为：， 经检验以上两种情况都可以构成三角形， 故答案为：21,24 【变式2-3】（2023秋•志丹县月考）一个等腰三角形的周长是30cm． （1）若腰长是底边长的2倍，求各边的长． （2）若其中一条边的长是8cm，求另外两条边的长． 【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，代入求出即可； （2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，由题意得： x+2x+2x＝30， 解得：x＝6， 所以2x＝2×6＝12； 答：各边长为6cm，12cm，12cm； （2）若底边长为8cm，则腰长为：＝11（cm）， 若腰长为8cm，则底边长为：30﹣8﹣8＝14（cm）， 答：底边长为8cm，其它两边长为11cm，11cm．腰长为8cm，其它两边长为14cm，14cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$