专题03用五种方法求圆中不规则图形的阴影面积-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题03用五种方法求圆中不规则图形的阴影面积 题型01割补法 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，、内接于，，是延长线上一点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【例1-2】（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积. 【例1-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线： (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留）． 【变式1-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求图中阴影部分的面积． 题型02旋转法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时A到了点的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【例2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接， ． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，已知，，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 题型03等积转化法（等底等高） 【典例分析】 【例3-1】（21-22九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A． B． C． D． 【例3-3】（21-22九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·天津南开·期末）如图，边长为3的正方形，以A为圆心，为半径作弧交的延长线于E，连接，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，，，求图中阴影部分的面积． 【变式3-3】（21-22九年级上·河北保定·期末）如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)求的半径长． (3)求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）． 题型04对称法 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【变式4-3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为 ． 题型05容斥原理法 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级·全国·单元测试）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，分别以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，交于点，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023·九年级上·山西太原·）如图，以的直角边为直径的半圆O，与斜边交于点D，E是边的中点，连接．若，的长是方程的两个根，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，，，，是圆上的四个点，，，的延长线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若是直径，，求阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03用五种方法求圆中不规则图形的阴影面积 题型01割补法 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，、内接于，，是延长线上一点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、切线性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理、切线性质是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接，则，由，可得，根据直径所对的圆周角是直角可推出，进而得到，即可求解； （2）由（1）可得，结合，，可得，，，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点，连接，则．    又， ， 是的直径， 是90°， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2），，， ，， ， ． 【例1-2】（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求的长和阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，得，即可得出，而，则，由，得，则，即可证明是的切线； （2）由为的直径，得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线. （2）解：为直径， ， ， ， ， 【例1-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线： (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等： （1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）连接，由为直径，得到，进而求出，再求出，则，，证明是等边三角形，得到，最后根据进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何图形的面积，涉及扇形、矩形和三角形的面积，解题的关键是数形结合．根据题意可计算出和的长度，在求出的长度，最后根据，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， ， 故选：A 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据圆周角定理求解即可； （2）证明是等边三角形，根据扇形和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）连接， ， ， ， 是等边三角形， ．    【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，作辅助线，证明是等边三角形是解答的关键 【变式1-3】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，求阴影部分的面积，掌握切线的性质和判定，利用分割法求阴影部分的面积，是解题的关键． （1）过点O作于点E，连接，根据切线的性质，等腰三角形三线合一，推出，即可得证； （2）先证明四边形是正方形，利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点O作于点E，连接， 与相切于点D， ， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线， ，即是的半径， 经过的半径的外端点且垂直于， 是的切线； （2）在中，，为等腰三角形， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ∵的半径为3， 正方形的面积是，，，． 题型02旋转法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时A到了点的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为，阴影面积为旋转后为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直径的半圆，绕B点顺时针旋转， ， 又， ， ， ， ， 故选：D 【例2-2】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：是关键； 分别求得∶扇形的面积、以及的面积，即可求解． 【详解】，，， ， 的面积是： ， 在中， ，， ， ， 则阴影部分的面积是：， ， ， ． 故答案为：． 【例2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接， ． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，根据全等三角形的性质可得，然后求出，再求出，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明； （2）求出的长，再利用勾股定理列式求出的长，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再根据列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴， 由平行四边形的性质，， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，已知，，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式解答． 【详解】解： ， ∴ 由旋转的性质可知，， ∴， 图中阴影部分面积 故选：C ． 【点睛】本题考查图形旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题关键 【变式2-2】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等．由旋转的性质可得，，可得，，根据图形可得，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积． 【详解】 解：将绕逆时针方向旋转得到 ， ， 故答案为 【变式2-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意， ，根据公式计算即可． （2）连接，根据题意， ，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图，∵正方形，旋转到的位置， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，连接，    根据题意， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理是解题的关键 题型03等积转化法（等底等高） 【典例分析】 【例3-1】（21-22九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积公式、等边三角形的判定及性质，根据菱形的性质得出，，， ，求出和的长，再求出扇形的面积和的面积，即可求出答案．理解阴影部分的面积为是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 【例3-2】（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，相交于E，由垂径定理易证，由易证是等边三角形，在中解三角形可得，最后根据并用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，相交于E， 是 的直径，， ， 又， ， ， 是等边三角形， 在中， ，， ， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形，扇形面积的计算；解直角三角形求半径是解题的关键 【例3-3】（21-22九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，如图： ∵AB是的直径，OD是半径，， ∴AE=CE， ∴阴影CED的面积等于AED的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：B 【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·天津南开·期末）如图，边长为3的正方形，以A为圆心，为半径作弧交的延长线于E，连接，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证，由此得，根据扇形的面积公式计算即可 【详解】 如图，设、的交点为F ∵四边形是正方形 ∥ 故选：D 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，解题的关键是把不规则的阴影部分的面积转化为规则的扇形部分面积 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式；先证明是等边三角形，进而证明，可得，即可求解． 【详解】解：， ， 是的直径，弦， ， 是等边三角形， ，， ， . 【变式3-3】（21-22九年级上·河北保定·期末）如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)求的半径长． (3)求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2)⊙O的半径长为6cm (3)阴影部分的面积为6πcm2 【分析】（1）由圆周角定理解得∠BOC＝60°，再根据AC//BD得到∠A＝∠OBD＝30°，继而解得∠ACO＝90°，据此解答； （2）设OC 、BD相交于点E，由垂径定理解得，再根据含30°角直角三角形的性质解得OB＝6； （3）由ASA证明△CDE≌△OBE，再利用扇形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°， ∴∠BOC＝60° ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠OBD＝30° ∴∠ACO＝90° ∴AC为⊙O切线． （2）解：设OC 、BD相交于点E ∵∠ACO＝90°，AC//BD， ∴∠BEO＝∠ACO＝90° 在Rt△BEO中，∠OBD＝30° ∴OE=3 ∴OB＝6 即⊙O的半径长为6cm． （3）解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°， 又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED， ∴△CDE≌△OBE（ASA） 答：阴影部分的面积为6πcm2． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆切线的判定、含30°角直角三角形的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 题型04对称法 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 垂直平分， ， 弓形的面积弓形的面积， ， 故选：A 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形的面积，二次函数的性质，根据对称性，得到阴影部分的面积为半圆的面积，求解即可． 【详解】解：∵是函数的图象，是函数的图象， ∴，关于轴对称， ∴轴上方的阴影部分的面积等于轴下方圆内空白处的面积， ∴阴影部分的面积为半圆的面积，即为； 故选：B． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查菱形的面积公式、圆的面积公式、勾股定理以及菱形的基本性质，解题的关键在于熟记公式．根据菱形的性质以及勾股定理求得，再根据四边形的内角和为得到四个扇形的面积，阴影部分的面积即为菱形的面积减去四个扇形的面积． 【详解】如图所示，与交于点 在菱形中，， 所以菱形的面积为：， 根据菱形的性质可知：，，， 即：，，， 所以， 因为四边形的内角和为， 所以， 所以四个扇形的面积之和是一个以的长为半径的圆的面积：， 所以图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质以及正多边形与圆，根据对称性将阴影部分的面积转化为，根据勾股定理求出圆的半径，再由扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．掌握正方形的性质，勾股定理以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形是的内接正方形，， ∴，， ∴是的直径，， ∴的半径为， 又∵圆和正方形都是轴对称图形， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 题型05容斥原理法 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级·全国·单元测试）如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，求出它们的面积，再用两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差来求解． 【详解】解：如图： 正方形的面积；① 两个扇形的面积；② ②①，得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键 【例5-2】．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，证明为等边三角形，得到，，得到，进而得到为的中线，得到，推出阴影部分的面积等于，计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为的中线， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积． 正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键 【例5-3】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式等； （1）连接，，，由线段垂直平分线判定定理得由等腰三角形的性质得，从而可得，即可求证； （2）由垂径定理得，设，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，可求出，由即可求解； 掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 点D是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ， 即， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，， 在中， ， ， ， ， 设，则有 ， 在中， ， ， 解得：，(舍去)， ， ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，分别以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，交于点，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求阴影部分的面积．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选A． 【变式5-2】（2023·九年级上·山西太原·）如图，以的直角边为直径的半圆O，与斜边交于点D，E是边的中点，连接．若，的长是方程的两个根，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，．根据直径所对的圆周角为得出，根据因式分解法解方程求出，，并判定为等边三角形，再根据扇形的面积公式即可求出，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出，然后利用证明，最后根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：连接，，．    ∵是直径， ∴． ∵，的长是方程的两个根，解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，为等边三角形 ∴． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴，． ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、扇形的面积公式、直角三角形斜边上的中线性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质，综合性比较强，数量掌握性质定理是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，，，，是圆上的四个点，，，的延长线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若是直径，，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，圆周角定理，等边三角形的判定方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及等边三角形的判定即可得出结论； （2）求出扇形的所在圆的半径以及圆心角度数，再根据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：，而，， ， ， 是等边三角形； （2）如图，连接，则， 是的直径， ，， ， ， 在中，，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$