新高二暑期成果验收卷（测试范围：直线与方程、圆与方程）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

新高二暑期成果验收卷 满分：150分 测试范围：直线与方程、圆与方程 一．选择题（共8小题） 1．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　 A．， B．， C．， D．， 2．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 3．直线与圆相交于点，，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 4．已知直线，．当时，的值为　　 A．1 B． C．或1 D． 5．是直线和直线平行且不重合的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为　　 A． B． C． D． 7．过点，且倾斜角为的直线方程为　　 A． B． C． D． 8．直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数的值为　　 A．1 B．3 C． D． 二．多选题（共3小题） 9．已知直线，其中，下列说法正确的是　　 A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 10．已知直线过点，且与直线以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是　　 A．直线与直线的斜率互为相反数 B．直线与直线的倾斜角互补 C．直线在轴上的截距为 D．这样的直线有两条 11．已知圆和圆的公共点为，，则　　 A． B．直线的方程是 C． D． 三．填空题（共3小题） 12．已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为 　　． 13．已知为直线上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为 　　． 14．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为　　． 四．解答题（共5小题） 15．在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为1． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程． 16．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的． （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是3，求直线的方程． 17．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 18．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于、两点，求所得弦长的值． 19．已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二暑期成果验收卷 满分：150分 测试范围：直线与方程、圆与方程 一．选择题（共8小题） 1．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据截距的定义可知，在轴的截距即令求出的的值，在轴上的截距即令求出的值，分别求出即可． 【解答】解：令，得到，解得，所以；令，得到，解得，所以． 故选：． 【点评】此题考查学生理解直线截距的定义，是一道基础题． 2．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 【分析】根据直线与圆有公共点，可得圆心到直线的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数取值范围． 【解答】解：直线与圆有公共点 圆心到直线的距离为 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式． 3．直线与圆相交于点，，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】由题意可得，圆心到直线的距离为圆半径的倍，再利用点到直线的距离公式解得的值． 【解答】解：根据题意，直线的斜率，圆的半径为， 若是正三角形，则圆心到直线的距离为圆半径的倍， 则有， 解可得：； 故选：． 【点评】本题考查直线和圆方程的应用，涉及直线与圆相切的性质以及点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 4．已知直线，．当时，的值为　　 A．1 B． C．或1 D． 【分析】根据两直线平行时的条件列方程求出的值，再判断两直线是否重合即可． 【解答】解：因为直线，， 令， 得，解得或， 当时，直线，，，满足题意； 当时，直线，，与重合，应舍去； 所以的值为． 故选：． 【点评】本题考查了两直线方程平行的应用问题，是基础题． 5．是直线和直线平行且不重合的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】两个方面分析本题，分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围． 【解答】解：当时，两直线分别为：，， 两直线斜率相等，则平行且不重合． 若两直线平行且不重合，则，且，可得． 综上所述，是两直线平行且不重合的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式． 6．如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果． 【解答】解：根据函数的图象：，； 故． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 7．过点，且倾斜角为的直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线的倾斜角为，所以可求出直线的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可． 【解答】解：直线的倾斜角为， 斜率， 又直线过点，， 直线的点斜式为， 即． 故选：． 【点评】本题考查了直线的方程，理解直线的点斜式是解决此问题的关键，属于基础题． 8．直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【分析】直接利用直线垂直的充要条件和二元一次方程组的解法求出的值． 【解答】解：由于直线与直线互相垂直， 所以，解得或； 当时，两直线的方程为和， 故，解得，不满足交点在第三象限； 当时，两直线的方程为和， 故，解得，满足交点在第三象限． 根据几何特性可知满足条件． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，二元一次方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 二．多选题（共3小题） 9．已知直线，其中，下列说法正确的是　　 A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【分析】对于，当时，直线的斜率，直线的斜率为，直线与直线垂直；对于，若直线与直线平行时，或；对于，无论取何值，当时，；对于，当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1． 【解答】解：直线， 对于，当时，直线的斜率，直线的斜率为，直线与直线垂直，故正确； 对于，若直线与直线平行，则，解得或，故错误； 对于，无论取何值，当时，，直线过定点，故正确； 对于，当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1， 当时，直线在两坐标轴上的截距不相等，故错误． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．已知直线过点，且与直线以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是　　 A．直线与直线的斜率互为相反数 B．直线与直线的倾斜角互补 C．直线在轴上的截距为 D．这样的直线有两条 【分析】由直线与直线及轴围成底边在轴上的等腰三角形，可知的斜率为，由点斜式得到直线方程，从而逐一判定． 【解答】解：由题意，可得直线与直线的倾斜角互补，即直线的斜率为， 又直线 过点，则直线的方程为：，即； 故选：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角、斜率，由点斜式方程确定直线，属于基础题． 11．已知圆和圆的公共点为，，则　　 A． B．直线的方程是 C． D． 【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解圆心距，判断；求出相交弦所在的准线方程判断；利用距离公式判断；通过点到直线的距离判断； 【解答】解：圆的圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 圆心距为：2，所以正确； 公共弦所在的准线方程为：，即，所以正确； ，，，所以与不垂直．所以不正确． ，所以正确； 故选：． 【点评】本题考查圆的方程的应用，两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 三．填空题（共3小题） 12．已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为 　　． 【分析】利用点关于直线对称的几何性质即求． 【解答】解：直线， 点关于的对称点为， 又点关于直线的对称点为，直线， 设，则， 解得，即， 故答案为：． 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及中点坐标公式和方程组的解，属基础题． 13．已知为直线上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为 　，　． 【分析】设点关于直线的对称点为，根据中垂线，可建立关于，的方程组，解之求得点的坐标，再由“将军饮马”的原理知，当点为直线与直线的交点时，取得最小值． 【解答】解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立， 此时直线的方程为， 联立，得，，即，． 故答案为：，． 【点评】本题考查直线中的对称问题，理解“将军饮马”的原理，两条直线的位置关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 14．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为　　． 【分析】根据题意，由中点坐标公式可得，变形可得，进而可得，结合圆的方程可得，即点的轨迹方程为圆；又由，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，，、，，且，为弦的中点， 则，则有， 变形可得：， 又由，、，为圆上的两点，则，； 则有， 即点的轨迹方程为圆， 则，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍， 又由圆的圆心到直线的距离， 则圆上一点到直线的距离的最小值为，即的最小值为， 故，即的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的分析计算，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 15．在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为1． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程． 【分析】（Ⅰ）根据题意，联立方程组，解可得的坐标，进而由直线与圆的位置关系可得的值，结合圆的标准方程的形式分析可得答案； （Ⅱ）根据题意，设切线方程为．进而可得，即可得的值，代入直线的方程即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，联立方程组解得． 设圆的半径为，由题意知，所以， 故圆的标准方程为． （Ⅱ）过点作圆的切线，切线的斜率必存在． 设切线方程为． 由题意，即， 解得或． 故所求的切线方程为或． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题． 16．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的． （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是3，求直线的方程． 【分析】（1）根据直线的斜率求出直线的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程． （2）设直线的方程为，根据点到直线的距离为3，求出的值，可得结论． 【解答】解：（1）直线的方程为， ，倾斜角， 故所求直线的倾斜角为，即斜率为， 直线经过点，， 所求直线方程为， 即． （2）直线与平行，可设直线的方程为， ，即， 或， 所求直线的方程为或． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 17．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【分析】（1）利用，可得斜率．利用点斜式可得直线的方程，与直线和的交点坐标为． （2）当直线经过原点时，可得方程．当直线不经过过原点时，设在轴上截距为，则在轴上的截距的倍，其方程为：，把交点坐标代入可得． 【解答】解：（1），． 直线的方程为：，化为：． 联立，解得． 直线和的交点坐标为． （2）当直线经过原点时，可得方程：． 当直线不经过过原点时，设在轴上截距为，则在轴上的截距的倍， 其方程为：，把交点坐标代入可得：，解得． 可得方程：． 综上可得直线的方程为：，． 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于、两点，求所得弦长的值． 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程． （2）利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，推出结果即可． 【解答】解：（1）由题意可得，圆心为，半径为2． 则圆的方程为． （2）圆心到的距离为，， ． 【点评】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 19．已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【分析】（1）直线的方程可化为，直线过定点． （2）要使直线不经过第四象限，则直线的斜率和直线在轴上的截距都是非负数，解出的取值范围． （3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值． 【解答】解：（1）直线的方程可化为， 故无论取何值，直线总过定点． （2）直线的方程可化为，则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则， 解得的取值范围是． （3）依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， ，，， 又且， ，故 ， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为4，此时直线的方程为． 【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）． 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