新高二开学考试模拟卷（测试范围：必修二+直线与方程+圆与方程）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

新高二开学考试模拟卷 满分：150分 测试范围：必修二+直线与方程+圆与方程 一．选择题（共8小题） 1．设是虚数单位，若复数满足，则复数　　 A． B． C． D． 2．已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为　　 A． B． C． D． 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两弹都击中飞机，事件两弹都没击中飞机，事件恰有一弹击中飞机，事件至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是　　 A． B． C． D． 4．过，两点的直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 5．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 6．已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 7．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是　　 A． B． C． D． 8．已知是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．在方向上的投影向量的模为1 二．多选题（共3小题） 9．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是　　 A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生 10．下列说法正确的有　　 A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．点关于直线的对称点为 C．圆与圆可能内含、内切或相交 D．若圆与圆外离，则 11．在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则 三．填空题（共3小题） 12．若三个原件，，按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件，，正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为 　　 13．四棱锥的各个顶点都在球心为的球面上，且面，底面为矩形，，，则球的体积为 　　． 14．已知圆，直线上定点．若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，则的值为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．已知直线经过点，． （1）求直线的方程； （2）若直线与平行，且它们间的距离为4，求直线的方程． 16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在，内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在，内的概率． 17．的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）设为边的中点，的面积为，求的最小值． 18．已知的三个顶点分别为，，． 求：（1）边中线所在的直线方程； （2）的外接圆的方程． 19．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学考试模拟卷 满分：150分 测试范围：必修二+直线与方程+圆与方程 一．选择题（共8小题） 1．设是虚数单位，若复数满足，则复数　　 A． B． C． D． 【分析】利用复数的除法化简可得出复数． 【解答】解：由已知可得． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，属基础题． 2．已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用台体体积公式求解即可． 【解答】解：由题意可知，下底面面积： 上底面面积： 正六棱台的体积 故选：． 【点评】本题考查棱台体积公式，是基础题． 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两弹都击中飞机，事件两弹都没击中飞机，事件恰有一弹击中飞机，事件至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，由此能求出结果． 【解答】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中， “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中， ． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件的应用，涉及到互斥事件、对立事件等基础知识，考查应用意识等数学核心素养，是基础题． 4．过，两点的直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用两点间的坐标公式求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角． 【解答】解：由于，， 所以， 由于， 故； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 5．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由已知结合直线的斜率公式及直线与倾斜角的关系可求． 【解答】解：因为直线经过点，且不经过第四象限， 所以， 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题． 6．已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【分析】举反例判断，，错误，证明选项正确． 【解答】解：：如图所示，，，但；错； ：如图所示，，，，，所以，，，错误； ：如图所示，，，，，但与相交，错误； ：因为，所以，， 取点，则，， 假设直线与平面不垂直， 又，则过点在平面内可作一条直线与平面垂直，记为， 同理，在平面内过点可作直线，因为过点有且仅有一条直线垂直于平面， 所以直线与直线重合，所以，，所以，又， 与平面与平面有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以正确， 故选：． 【点评】本题考查了空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，属于中档题． 7．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可． 【解答】解：圆的方程可化为． 圆心坐标为，半径为； 圆心到直线的距离为． 设直线和圆的交点为，．则． 过点，的最小圆半径为． 联立，得， 故，则圆心的横坐标为：，纵坐标为， 最小圆的方程为． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的面积最小就是圆的半径最小，求出圆心坐标，求出半径即可求出圆的方程，是这一类问题的基本方法． 8．已知是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．在方向上的投影向量的模为1 【分析】对选项，由题意易知，从而判断正确； 对选项，利用平面几何知识可判断选项； 对，选项，利用平面向量的坐标运算可判断． 【解答】解：取的中点，连接， 对于选项，是边长为2的等边三角形，又为的中点， ，，选项正确； 对于选项，、分别为，的中点，且， ，，为的中点， ，，为的中点，，选项正确； 对于，选项，取的中点，连接，则， 建立如图的坐标系，则根据题意可得： 、、、、、， ，，， ，，选项正确； ，， 在方向上的投影向量的模为，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量的数量积的运算，属中档题． 二．多选题（共3小题） 9．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是　　 A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生 【分析】利用互斥事件的定义即可判断出结论． 【解答】解：某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛， 在下列各组事件中，是互斥事件的是：恰有1名女生和恰有2名女生；至少有1名女生和全是男生． 而其余的：至少有1名男生和至少有1名女生，都含有1名男生和1名女生的事件，因此不是互斥事件； 至少有1名女生和全是女生，都含有两名女生的事件，因此不是互斥事件． 故选：． 【点评】本题考查了互斥事件的判定，考查了推理能力，属于基础题． 10．下列说法正确的有　　 A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B．点关于直线的对称点为 C．圆与圆可能内含、内切或相交 D．若圆与圆外离，则 【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断； 设对称点的坐标为，依题意得到方程组，解得、，即可判断； 求出两圆心之间的距离，即可判断、． 【解答】解：对于：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，故错误； 对于：设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，故对称的点的坐标为，故正确； 对于：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4， 所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故正确； 对于：圆圆心，半径为1，圆，圆心，半径为， 又因为两圆外离， 又因为 所以，所以，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了直线的斜率和倾斜角的关系、点关于直线对称的点的求法及两圆之间的关系，属于中档题． 11．在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则 【分析】利用正弦定理化简已知等式，由二倍角公式以及诱导公式得到或，即可判断选项，利用正弦函数的单调性，即可判断选项，由两角和的正切公式得到，，中必有一个值为负值，即可判断选项，利用正弦定理将已知的等式边化角，然后由两角和差公式化简求解，即可判断选项． 【解答】解：对于，因为， 由正弦定理可得，， 即， 因为，均为三角形的内角， 所以或， 则或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选项错误； 对于，因为为锐角三角形， 则，即， 又，， 因为在上单调递增， 所以， 故选项正确； 对于，因为， 所以， 故， 因为， 则，，中必有一个值为负值， 即角，，中必有一个为钝角， 所以为钝角三角形， 故选项正确； 对于，因为， 由正弦定理可得，， 即， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 故选项正确． 故选：． 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和差公式的应用，同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 12．若三个原件，，按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件，，正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为 　0.686　 【分析】系统正常工作的情况分成两个步骤，正常工作且，中正常工作的情况，分别计算其概率可求得． 【解答】解：系统正常工作的情况分成两个步骤，正常工作且，至少有一个正常工作的情况， 正常工作的概率为：0.7； ，至少有一个正常工作的情况的概率为1减去，都不正常工作的情况的概率， 即：，至少有一个正常工作的概率为：， 所以：这个系统正常工作的概率为：； 故答案为：0.686； 【点评】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意分步计数原理和分类计数原理的概率公式的合理运用．是基础题 13．四棱锥的各个顶点都在球心为的球面上，且面，底面为矩形，，，则球的体积为 　　． 【分析】根据线面垂直得到，，两两垂直，故四棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，求出外接球半径，进而求出外接球的体积． 【解答】解：因为面，，平面， 所以，， 又因为底面为矩形， 所以，，两两垂直， 故四棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，如图所示， 故外接球的直径为，半径为，球的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了四棱锥外接球的体积计算，属于中档题． 14．已知圆，直线上定点．若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，则的值为 　6　． 【分析】利用分类讨论，求得直线方程，分别联立相应方程，求得，的坐标，再求． 【解答】解：①若直线的斜率不存在，即直线，与圆相交于一点，不符合题意． ②直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为， 由，得，又直线与垂直， ，得． ． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与直线的交点和两点间的距离公式的应用，是中档题． 四．解答题（共5小题） 15．已知直线经过点，． （1）求直线的方程； （2）若直线与平行，且它们间的距离为4，求直线的方程． 【分析】（1）先由两点求出直线的斜率，然后结合点斜式方程进行求解； （2）先根据平行关系设出直线的方程，然后结合两平行线间距离公式进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得直线的斜率， 故直线的方程为，即； （2）可设直线的方程为， 由题意得， 解得或， 故直线的方程为或． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，涉及的知识点有：直线斜率公式，平行线间距离公式，属于基础题． 16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在，内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在，内的概率． 【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1，可计算； （2）求解频率分布直方图中不低于80分的两个矩形的面积和，即得解； （3）列举法可得从这5名受访职工中随机抽取2人所有的可能结果有10种，2人评分都在，包含的基本事件有共3个，利用古典概型的概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得：， 解得； （2）由频率分布直方图，得50名受访职工评分不低于80分的频率为：， 故该企业职工对该部门评分不低于80分的概率的估计值为0.4； （3）受访职工中评分在，的有：人，记为，，， 受访职工中评分在，的有：人，记为，， 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 此2人评分都在，包含的基本事件有，，，，，，共3个， 故从评分在，的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在，的概率． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 17．的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）设为边的中点，的面积为，求的最小值． 【分析】（1）利用三角恒等变换以及正余弦定理，化简即可； （2）根据三角形面积公式，结合中线的向量表达形式，以及不等式，即可求得结果． 【解答】解：（1）因为， 所以， 因为的内角，，所对的边分别为，，， 由正弦定理可得， 结合余弦定理可得， 又，故可得． （2）由三角形面积可得，解得， 又为边的中点，所以， 故， 即，当且仅当时取得等号． 故的最小值为3． 【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 18．已知的三个顶点分别为，，． 求：（1）边中线所在的直线方程； （2）的外接圆的方程． 【分析】（1）直接利用中点坐标求出的坐标，进一步求出边的中线的直线的方程． （2）法一：直接利用圆的一般式建立方程组，进一步确定、、的值，最后求出圆的方程． 法二：首先利用中垂线求出圆心的坐标，进一步确定圆的半径，最后求出圆的方程． 【解答】解：（1）已知的三个顶点分别为，， 所以中点， 所以中线方程为． （2）解法一：设外接圆方程为 所以，解得． 故圆的方程为：． 解法二：已知的三个顶点分别为，， 所以中点，， 中垂线方程为：， 中垂线， 联立方程组得圆心， 半径 所以外接圆方程为． 【点评】本题考查的知识要点：中点的坐标，直线的方程的求法，圆的方程的求法，圆的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 19．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）取得中点，连接，，证明，然后证明平面． （Ⅱ）连接交于点，说明，证明，推出平面，即可得到． （Ⅲ）说明为直线与平面所成角，通过求解三角形推出直线与平面所成角的正弦值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：取得中点，连接，， 为的中点，， 为的中点且四边形为菱形，， ，四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． （Ⅱ）证明：连接交于点， 四边形为菱形， ， ， ， 又，为平面内的两条相交直线， 平面， 又平面， ． （Ⅲ）解：过作，为垂足，连接， 由（Ⅱ）可知平面， 所以平面平面， 而平面平面， 所以平面， 因此直线在平面的射影为， 即为直线与平面所成角， 四边形为菱形边长为2，， ，， 由题意可知为直角三角形，易得， 又，，， 由平面可知为直角三角形， ， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$