第08讲 等腰三角形的轴对称性（5知识点8题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第08讲 等腰三角形的轴对称性 课程标准 学习目标 1 理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 2 能运用等腰三角形的性质解决问题； 3 培养学生的逻辑推理能力和空间观念。 1. 掌握等腰三角形的轴对称性特征； 2. 熟练运用等腰三角形的性质进行计算和推理； 3. 研究等腰三角形的特殊情况和拓展性质。 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角（等腰三角形的两个底角相等）. 特别地，当等腰三角形的顶角为90°或有一个底角为45°时，此时又称为等腰直角三角形. 知识点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 2.等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； 3.等腰三角形的性质二（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合. 腰和底边不相等的等腰三角形只有一条对称轴，对称轴为顶角平分线（底边上的高或底边上的中线）所在的直线； “三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三、等腰三角形的判定 1.定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2.定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 知识点四、等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）； 2.等边三角形的性质： （1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； （2）等边三角形的各角都等于60°. 3.等边三角形的判定： （1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； （2）定理法①：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）定理法②：有一个角是60°（顶角/底角）的等腰三角形是等边三角形. 4.等边三角形是特殊的等腰三角形，它可以具有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不一定是等边三角形. 知识点五、与直角三角形有关的性质 1.直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型01 等腰三角形的定义 1．已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（　　） A．18cm B．24cm C．30cm D．24cm或30cm 2．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 3．已知△ABC是等腰三角形，若它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为　　cm． 题型02 根据等边对等角求角度 1．△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 2．在△ABC中，∠C＝80°，AC＝BC，则∠A的度数为 　　． 3．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为　　． 题型03 根据等角对等边证明 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E． （1）求证：DE＝CE． （2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数． 题型04 等腰三角形的判定 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．判断△BCD是否为等腰三角形？请说明理由． 2．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF． 求证：△ABC是等腰三角形． 3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC．证明：△DBC是等腰三角形． 题型05 等腰三角形的判定与性质 1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 2．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数． 题型06 等边三角形的性质 1．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 2．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 3．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　　． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　　． 题型07 等边三角形的判定 1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 2．根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 3．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 题型08 等边三角形的判定与性质 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 题型09 含30°角的直角三角形 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝3，则线段AE的长度等于 　　． 3．如图，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AC＝6cm，则AD的长为 　 　． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． （1）若AC＝6cm，求CE的长度； （2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 题型10 直角三角形斜边上的中线 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，若AC＝6，BC＝10，则AD的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB的中点，则∠ACD＝　　°． 4．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：①BM＝DM；②MN⊥BD． 1．若一个等腰三角形的周长为32cm，其中一边长为8cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．8cm B．12cm C．8cm或16cm D．16cm 2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，BA＝BE，若∠C＝32°，则∠A的度数（　　） A．72° B．74° C．76° D．78° 4．如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（　　） A．40° B．50° C．60° D．100° 5．如图，已知∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB＝2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB＝CD，若AC＝m，则AD的长为（　　） A．m+1 B．m+2 C．m﹣1 D．m﹣2 6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝48°，则∠B的度数为 　 　． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点E在AC上，且AE＝AD，连接DE，若∠CDE＝20°，则∠B的度数为 　 　°． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC＝5，在△BDC中，∠BDC＝140°，DB＝DC，以D为顶点作一个70°的角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，那么△AMN的周长为 　 　． 9．如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝　 　． 10．如图，△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝12°，则∠A＝　 　°． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的长． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，． （1）求证：CD＝BE． （2）求证：DF＝EF． 14．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 15．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最短？ 16．如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等腰三角形的轴对称性 课程标准 学习目标 1 理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 2 能运用等腰三角形的性质解决问题； 3 培养学生的逻辑推理能力和空间观念。 1. 掌握等腰三角形的轴对称性特征； 2. 熟练运用等腰三角形的性质进行计算和推理； 3. 研究等腰三角形的特殊情况和拓展性质。 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角（等腰三角形的两个底角相等）. 特别地，当等腰三角形的顶角为90°或有一个底角为45°时，此时又称为等腰直角三角形. 知识点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 2.等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； 3.等腰三角形的性质二（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合. 腰和底边不相等的等腰三角形只有一条对称轴，对称轴为顶角平分线（底边上的高或底边上的中线）所在的直线； “三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三、等腰三角形的判定 1.定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2.定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 知识点四、等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）； 2.等边三角形的性质： （1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； （2）等边三角形的各角都等于60°. 3.等边三角形的判定： （1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； （2）定理法①：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）定理法②：有一个角是60°（顶角/底角）的等腰三角形是等边三角形. 4.等边三角形是特殊的等腰三角形，它可以具有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不一定是等边三角形. 知识点五、与直角三角形有关的性质 1.直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型01 等腰三角形的定义 1．已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（　　） A．18cm B．24cm C．30cm D．24cm或30cm 【分析】分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为6cm，底边长为12cm；当等腰三角形的腰长为12cm，底边长为6cm；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况讨论： 当等腰三角形的腰长为6cm，底边长为12cm， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为12cm，底边长为6cm， ∴△ABC的周长＝12+12+6＝30（cm）； 综上所述：△ABC的周长为30cm， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 2．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解． 【解答】解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去； 当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解． 3．已知△ABC是等腰三角形，若它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为　　cm． 【分析】从当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时；当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，两种情况去分析即可． 【解答】解：①当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时： ∵8cm+3cm＞8cm， ∴可构成三角形， ∴其周长为：8cm+8cm+3cm＝19cm； ②当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时： ∵3cm+3cm＜8cm， ∴不能构成三角形． 故答案为：19． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系的理解和掌握，是一道基础题． 题型02 根据等边对等角求角度 1．△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【分析】根据等腰三角形性质得∠B＝∠C，再根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C＝180°，由此可得∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝40°， ∴40°+2∠B＝180°， ∴∠B＝70°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 2．在△ABC中，∠C＝80°，AC＝BC，则∠A的度数为 　　． 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：∵∠C＝80°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解决问题的关键． 3．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为　　． 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数． 【解答】解：∵AD＝DC ∴∠DAC＝∠C， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝80°， ∵AB＝AD ∴∠BDA＝∠B＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，属于基础性题目，比较简单． 题型03 根据等角对等边证明 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，再由∠B＝36°得∠BAD＝54°，由此可得∠CAD的度数； （2）根等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再根据EF∥AB得∠F＝∠BAD，由此得∠F＝∠CAD，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°， ∴∠CAD＝54°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AE＝EF． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E． （1）求证：DE＝CE． （2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数． 【分析】（1）利用角平分线的作法和等角对等边证明即可． （2）求出∠ABC，∠ACB即可解决问题． 【解答】（1）证明：由作图可知，CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴DE＝CE； （2）解：∵∠ECD＝∠EDC， ∴∠ECD＝32°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝64°， ∵AB＝AC， ∴∠A＝180°﹣64°﹣64°＝52°． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等边对等角解答． 题型04 等腰三角形的判定 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．判断△BCD是否为等腰三角形？请说明理由． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC＝80°，再根据角平分线定义得∠DBC＝1/2∠ABC＝40°，进而得∠DBC＝∠C＝40°，由此即可判定△BCD的形状． 【解答】解：△BCD是等腰三角形，理由如下： ∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝80°， ∵∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴∠DBC∠ABC80°＝40°， ∴∠DBC＝∠C＝40°， ∴DB＝DC， ∴△BCD是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF． 求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】根据中点的定义可得到BD＝CD，再根据HL即可判定△BDE≌△CDF，从而可得到∠B＝∠C，根据等角对等边可得到AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用． 3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC．证明：△DBC是等腰三角形． 【分析】证明∠DCB＝∠B，可得结论． 【解答】证明：∵DE∥BC， ∴∠DCB＝∠CDE，∠ADE＝∠B， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DCB＝∠B， ∴DB＝DC ∴△DBC是等腰三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 题型05 等腰三角形的判定与性质 1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案； （2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形； （2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴ACAB． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 2．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得； （2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠DCB， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴FD＝FC， ∴△DFC是等腰三角形； （2）∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB， ∵AC＝6cm，AB＝8cm， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF ＝AE+ED+FD+AF ＝AE+EB+FC+AF ＝AB+AC ＝8+6 ＝14（cm）． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得OC＝OA，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得OB＝OA． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得∠DEC的度数，结合∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵DE为线段AC的垂直平分线， ∴OC＝OA． ∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF为线段AB的垂直平分线． ∴OB＝OA． ∴OB＝OC． ∴△OBC为等腰三角形． （2）解：∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF为∠ACB的平分线． ∴． ∴∠ACB＝50°． ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°． ∵△OBC为等腰三角形， ∴∠CBO＝∠BCF＝25°． ∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝40°﹣25°＝15°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，牢记等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）是解题的关键． 题型06 等边三角形的性质 1．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 【分析】根据等边三角形性质及AB∥CD得∠EFD＝∠NEM＝60°，由此可得∠CFE的度数． 【解答】解：∵△EMN为等边三角形， ∴∠NEM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠NEM＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 2．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【分析】设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，根据平行线性质得∠ADE＝∠1＝40°，再根据等边三角形性质得∠A＝60°，据此可得∠2的度数． 【解答】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如下图所示： ∵直线a∥b，∠1＝40°， ∴∠ADE＝∠1＝40°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 3．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　　． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　　． 【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长． 【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如下图所示： ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵△ACD为等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵CP⊥AB，DE⊥BC， ∴∠APC＝∠CED＝90°， 在△APC和△CED中， ， ∴△APC≌△CED（AAS）， ∴AP＝CE＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4， 在Rt△BCP中，∠ABC＝60°， ∴∠BCP＝30°， ∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8， ∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键． 题型07 等边三角形的判定 1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握． 2．根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答． 【解答】解：A、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确； B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确； C、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； D、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确； 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理． 3．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°． 4．如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明． 【解答】证明：∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°， ∴∠BDC＝90°， ∵BD是中线， ∴AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解答本题的关键要明确：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质． 题型08 等边三角形的判定与性质 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据DE是AB的垂直平分线，可得，即可证明△ADC是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形； （2）证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB， ∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝EC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC， ∴点E在线段CD的垂直平分线上． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． 题型09 含30°角的直角三角形 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质先得到BC＝2AB，再由三角形内角和定理求出∠BAD＝30°，从而得到AB＝2BD，据此可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴BC＝2AB，∠B＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD， ∴BC＝4BD，即， 故选：C． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握含30度角的直角三角形的性质是关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝3，则线段AE的长度等于 　　． 【分析】连接BE，先求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线性质得AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝30°，进而得∠CBE＝30°，由此得BE＝2CE＝6，据此可求出AE的长． 【解答】解：连接BE，如下图所示： 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝3，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝6， ∴AE＝BE＝6． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 3．如图，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AC＝6cm，则AD的长为 　 　． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝60°，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝30°，然后在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形可得BD＝2CD，再根据等角对等边可得DA＝DB＝2CD，从而可得ADAC，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD， ∵∠A＝∠ABD＝30°， ∴DA＝DB＝2CD， ∵AC＝6cm， ∴ADAC＝4（cm）， 故答案为：4cm． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． （1）若AC＝6cm，求CE的长度； （2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形． 【解答】（1）证明： 连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△BCE中，BE＝2CE， ∴AE＝2CE， ∵AC＝6cm， ∴CE＝3cm； （2）解：△BCD是等边三角形， 理由如下：连接CD． ∵DE垂直平分AB， ∴D为AB中点， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 题型10 直角三角形斜边上的中线 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，若AC＝6，BC＝10，则AD的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，D是边BC的中点，BC＝10， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B＝55°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝BE，从而可得∠B＝∠BAE＝55°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝55°， ∵∠BAC＝90°，E是斜边BC的中点， ∴AE＝BEBC， ∴∠B＝∠BAE＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB的中点，则∠ACD＝　　°． 【分析】先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD＝BD，进而得到∠B＝∠DCB＝50°，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ACD的度数． 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD＝BDAB， ∴∠B＝∠DCB＝50°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 4．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：①BM＝DM；②MN⊥BD． 【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键． 1．若一个等腰三角形的周长为32cm，其中一边长为8cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．8cm B．12cm C．8cm或16cm D．16cm 【分析】分为两种情况讨论如下：①当底边长为8cm时，设腰长为x cm，依题意得8+2x＝32，由此得x＝12，再利用三角形三边之间的关系进行检验即可；②当腰长为8cm，设底边为y cm，依题意得8×2+y＝32，由此得y＝16，再利用三角形三边之间的关系进行检验即可；综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵等腰三角形的周长为32cm，其中一边长为8cm， ∴可分为以下两种情况： ①当底边长为8cm时，设腰长为x cm， 依题意得：8+2x＝32， 解得：x＝12， 此时该等腰三角形的三边分别为：12cm，12cm，8cm， 由于8+12＞12，符合三角形三边之间的关系， ∴等腰三角形的底边为8cm， ②当腰长为8cm，设底边为y cm， 依题意得：8×2+y＝32， 解得：y＝16， 此时该三角形的三边分别为：16cm，8cm，8cm， 由于8+8＝16，不符合三角形三边之间的关系， 综上所述：该等腰三角形的底边长为8cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 2．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°， 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，BA＝BE，若∠C＝32°，则∠A的度数（　　） A．72° B．74° C．76° D．78° 【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝32°，CD＝CE，得∠A＝∠BEA，再根据三角形内角和定理得，∠A+∠ABC+∠BEA＝180°，即32°+2∠A＝180°，从而求出∠A． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠ABC＝32°， 又∵BA＝BE， ∴∠A＝∠BEA， ∵∠A+∠ABC+∠BEA＝180°， 即32°+2∠A＝180°， ∴∠A＝74°． 故选：B． 【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质． 4．如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（　　） A．40° B．50° C．60° D．100° 【分析】先根据邻补角的定义可得∠BCF＝120°，再根据三角形内角和定理可得∠BFC＝10°，再由角平分线的定义可得∠DFB＝∠CFB、∠CFD＝20°；然后证明△FCB≌△FDB（SAS）可得∠D＝∠BCF＝120°，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【解答】解：∵∠ACB＝60°， ∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝120°， ∵∠CBF＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝10° ∵FB为∠CFD的角平分线， ∴，即∠CFD＝2∠CFB＝20°， 在△FCB和△FDB中， ， ∴△FCB≌△FDB（SAS）， ∴∠D＝∠BCF＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠D﹣∠CFB＝40°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，已知∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB＝2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB＝CD，若AC＝m，则AD的长为（　　） A．m+1 B．m+2 C．m﹣1 D．m﹣2 【分析】过点C作CE⊥AN，根据在Rt△ACE中，∠MAN＝60°，求得AE的值，进而求出BE的值，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BD的值，最后求出AD的值即可． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AN， 在Rt△ACE中，∠MAN＝60°， ∴∠ACE＝30°， ∵AC＝m， ∴AEm， ∵AB＝2， ∴BEm﹣2， ∵CB＝CD，CE⊥BD， ∴BE＝EDm﹣2， ∴BD＝（m﹣2）×2＝m﹣4， ∴AD＝AB+BD＝2+m﹣4＝m﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了含30°的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝48°，则∠B的度数为 　33°　． 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得∠B＝∠BCE，再根据三角形外角的性质可求解． 【解答】解：∵CE＝AC， ∴∠A＝∠AEC， ∵∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE＝48°， ∴∠AEC＝66°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴∠B＝33°， 故答案为：33°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点E在AC上，且AE＝AD，连接DE，若∠CDE＝20°，则∠B的度数为 　50　°． 【分析】由AB＝AC，AD是△ABC的中线，可得∠B＝∠C，AD⊥BC，即∠ADC＝90°，则∠ADE＝90°﹣∠CDE＝70°，由AE＝AD，可得∠AED＝∠ADE＝70°，根据∠B＝∠C＝∠AED﹣∠CDE，求解作答即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CDE＝70°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝70°， ∴∠B＝∠C＝∠AED﹣∠CDE＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC＝5，在△BDC中，∠BDC＝140°，DB＝DC，以D为顶点作一个70°的角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，那么△AMN的周长为 　10．　． 【分析】延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，先证明∠ECD＝∠MBD＝90°，进而可依据“SAS”判定△ECD和△MBD全等得DE＝DM，∠EDC＝∠MDB，然后证明∠EDN＝∠MDN＝70°，进而可依据“SAS”判定△EDN和△MDN全等得EN＝MN，进而得MN＝CN+BM，据此可得△AMN的周长． 【解答】解：延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，如下图所示： ∵在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC＝5， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝70°， ∵在△BDC中，∠BDC＝140°，DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB（180°﹣∠BDC）＝20°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°，∠ACD＝∠ACB+∠DCB＝90°， ∴∠ECD＝∠MBD＝90°， 在△ECD和△MBD中， ， ∴△ECD≌△MBD（SAS）， ∴DE＝DM，∠EDC＝∠MDB， ∵∠BDC＝140°，∠MDN＝70°， ∴∠MDB+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝70°， ∴∠EDC+∠NDC＝70°， 即∠EDN＝∠MDN＝70°， 在△EDN和△MDN中， ， ∴△EDN≌△MDN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵EN＝CN+CE＝CN+BM， ∵MN＝CN+BM， ∴AM+AN+MN＝AM+AN+CN+BM＝AB+AC＝10． 即△AMN的周长为10， 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 9．如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝　40°　． 【分析】连接OF，根据斜边上的中线的性质，得到，根据三角形的外角得到∠EOF＝100°，再根据等边对等角，进行求解即可． 【解答】解：连接OF， ∵∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点， ∴， ∴∠EAO＝∠OEA，∠OAF＝∠OFA， ∴∠EOB+∠FOB＝∠OAE+∠OEA+∠OAF+∠OFA＝2（∠OAE+∠OAF）＝2∠EAF＝100°， 即：∠EOF＝100° ∵OE＝OF， ∴． 故答案为：40°． 【点评】本题考查斜边上的中线，掌握等边对等角，三角形的内角和与外角的性质是解题的关键． 10．如图，△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝12°，则∠A＝　72　°． 【分析】过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，证明Rt△DNC和Rt△DMC，得∠DCM＝∠DCN＝13°，求出∠ACB的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出∠A的度数． 【解答】解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N， ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DN是AC的垂直平分线， ∴NCAC， ∵AC＝BC， ∴NCBC， 在Rt△BMC中，∠DBC＝30°， ∴CMBC， ∴CM＝CN， 在Rt△DNC和Rt△DMC中， ∵， ∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL）， ∴∠DCM＝∠ACD＝12°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠MCB＝60°， ∴∠ACB＝60°﹣12°×2＝36°， 又∵AC＝BC， ∴∠A（180°﹣36°）＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含30°角直角三角形的性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的长． 【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到CF，再根据（1）△ADF是等腰三角形结合BD＝4，设AF的长为x，则AD＝x，由CF﹣AF＝BD+AD建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵∠F＝30°，DE⊥BC，EC＝3， ∴CF＝2EC＝6， ∵AB＝AC，BD＝4，AF＝AD， 设AF的长为x，则AD＝x， ∴CF﹣AF＝BD+AD，即6﹣x＝4+x， ∴x＝1， ∴AF＝1， ∴AC＝CF﹣AF＝6﹣1＝5． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征，余角的性质、对顶角的性质等知识点． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵DE是AB边上的中线， ∴BE， ∵AE＝CD， ∴DE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE． （2）解：连接DE， 则DE＝AE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE， ∵BE＝DE，EF＝AF， ∴∠B＝∠BDE， 设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y， ∴∠DEF＝2x﹣y， ∵DE＝DC， ∴∠DEF∠BDEx， ∴2x﹣yx， ∴yx， ∴xx＝90°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，． （1）求证：CD＝BE． （2）求证：DF＝EF． 【分析】（1）根据等角对等边，得到AB＝AC，结合，，得到AD＝AE，通过△ACD≌△ABE（SAS），即可求解， （2）由△ACD≌△ABE，得到∠ACD＝∠ABE，∠CFE＝∠BFD，结合BD＝CE，得到△BDF≌△CEF（AAS），即可求解， 本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵，， ∴AD＝AE， 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）由（1）得△ACD≌△ABE， ∴∠ACD＝∠ABE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴△BDF≌△CEF（AAS）， ∴DF＝EF． 【点评】本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定． 14．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行线的性质得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，则∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论； （2）同（1）证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DO+OE＝BD+CE， 即DE＝BD+CE； （2）DE＝BD﹣CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DO∥BF， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∵DE＝DO﹣OE， ∴DE＝BD﹣CE． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质等知识是解题的关键． 15．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最短？ 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯塔C之间的最短距离．根据三角形内角和定理，以及含30度角的直角三角形的性质即可解决此题． 【解答】解：根据题意，得AB＝15×（10﹣8）＝30（海里）． ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里， 如图，过点C作CD⊥AB于点D． 根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯塔C之间的最短距离，∠BDC＝90°． 又∵∠NBC＝60°， ∴∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， ∴（海里）， ∴15÷15＝1（小时）， 答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 16．如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得EMBC，DMBC，即可得证； （2）根据三角内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝135°，根据EM＝BM，DM＝CM，可得∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，进一步可得∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝270°，求出∠EMD的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠EDM的度数． 【解答】（1）证明：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高线， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， ∵M是BC的中点， ∴EMBC，DMBC， ∴ME＝MD； （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， ∵EM＝BM，DM＝CM， ∴∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB， ∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝135°×2＝270°， ∴∠EMD+∠DMC＝180°×2﹣270°＝90°， ∵ME＝MD， ∴∠EDM＝45°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ． （1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$