精品解析：山东省东营市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置．） 1. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 84 B. 72 C. 75 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质进行求解. 【详解】由等差数列的性质，得 ， 所以. 故选：C. 2. 一个圆锥的母线长为8，母线与轴的夹角为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先依次算出底面圆的半径长度以及周长，再结合圆锥侧面积的计算公式即可求解. 【详解】设母线长、底面圆半径长分别为，由题意， 所以底面圆周长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B. 3. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性可得导函数在上恒成立即可求解. 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 4. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 5. 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先由二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质即可求出. 【详解】由题意抽到的次品数X服从二项分布，方差， 而， 所以. 故选：B. 6. 已知二面角的大小为，其棱上有两点，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直，已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长. 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为直角三角形，则， ，则，，，故平面， 因为平面，则，故. 故选：D 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 8. 已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数刻画的图像，再根据直线与 的图像有3个不同的交点可得实数a的取值范围. 【详解】， 当或时，；当时，， 故在，上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，的极小值为， 当时，，当时，， 故的图像如图所示： 故， 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知盒中有大小相同的2个红球和2个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是（ ） A. 每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是相互独立的 B. 每次摸出1个球并放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 C. 每次摸出1个球不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 D. 每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】由独立事件定义判断A，由二项分布方差判断B，由条件概率判断C，由全概率公式判断D. 【详解】对于A，每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是互不影响的， 即它们是相互独立的，故A正确； 对于B，摸到红球的次数X服从二项分布， 所以，故B错误； 对于C，第1次摸到红球的条件下，此时袋子中只有：1个红球，两个蓝球， 所以第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，故C正确； 对于D，第一次可能摸到红球或者蓝球，结合全概率公式可知， 所求概率为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 存在等差数列满足上述递推公式 B. 存在等比数列满足上述递推公式 C. 存在周期数列满足上述递推公式 D. 存在摆动数列满足上述递推公式 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据,可得到或，进而进行判断选项. 【详解】根据,可得到或, 当时，则为 当时，则为 对于A，当时，为首项为，公差为的等差数列，故A正确； 对于B, 设数列为等比数列，公比为， 因为，所以， 若，则，此时，，矛盾， 当时，， 此时，若为大于的奇数，，矛盾，故B错误； 对于C，当时，则为故为周期数列，故C正确； 对于D，当时，则为故为摆动数列，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界），若平面，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的取值范围是 D. 平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：通过证明平面平面可得点的轨迹；对于B：根据到平面的距离为定值来判断；对于C：求出点到的距离；对于D：建立空间直角坐标系，求出球心到平面的距离，从而求出截面圆的半径. 【详解】对于A：取的中点分别为，连接、、， 由正方体的性质易得， 又面，面，面，面， 所以面，面，又，面， 所以面面，又平面，点是侧面内一点（含边界）， 所以点的轨迹为线段，A正确； 对于B：的面积为定值，因为平面， 所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值， 所以为定值，B正确； 对于C：，， 所以点到的距离，故C错误； 对于D：连接、，则，，所以， 所以、、、四点共面， 正方体外接球的球心在体对角线的中点，设球心为，外接球的半径， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 所以截面面积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用向量法求出球心到平面的距离，从而求出截面圆的半径. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置．） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：正态分布均值为，，故. 考点：正态分布． 13. 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，求出高，再求体积即可. 【详解】如图所示，连接，，取他们中点分别为，. 连接，过作于． 根据题意可求得，. 则，则. 则. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案． 【详解】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到不等式的解． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别证明，，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的坐标公式即可进一步求解. 【小问1详解】 由分别为棱的中点，得， 分别为棱的中点， 且，， 平面平面， 平面， 因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，， 以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， ， 记平面与平面所成角为，， 平面与平面所成角的正弦值为. 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由题意知当时，① 当时，② 联立①②，解得，； 所以数列的通项公式． （2）不存在，理由如下： 由（1）知，， 所以，可得； 设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 所以，即； 又因为，，成等差数列，所以， 所以，化简得，即； 又，所以与已知矛盾； 所以在数列中不存在3项，，成等比数列． 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式； （2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． （1）求和； （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 （3）现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 【答案】（1）， （2）表格见解析，有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关 （3）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率可得，即可根据条件概率以及全概率公式即可求解， （2）计算卡方，即可与临界值比较求解， （3）利用超几何概率的计算得分布列，即可求解期望. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 由，解得，所以， 则，解得． 【小问2详解】 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 根据列联表中的数据，经计算得到． 所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关． 【小问3详解】 从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是 X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的期望为 18. 已知函数 ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时， 在上单调递减 当时， 在单调递减，在单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，在利用导函数求出，即为曲线在点处的切线斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）先对求导，化简，再分两个方面来讨论的正负，进而得到的单调性. （3）由（2）的结论，通过单调性以及零点存在性定理来分析函数的零点. 【小问1详解】 当时，，则 所以曲线在点处的切线方程为： 即． 故答案为： 【小问2详解】 的定义域为， （ⅰ）若，则，所以在上单调递减 （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增． 故当时， 在上单调递减 当时， 在单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 （ⅰ）若，由（2）知，至多有一个零点，不满足条件． （ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为 ①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件； ②当时，，即，故没有零点，不满足条件； ③当时，，，即． 又，故在有一个零点． 设正整数满足，则 ． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． 【点睛】在导数问题中利用零点存在性定理分析零点问题中，找点过程常用放缩技巧. ① 放缩法：在目标区间上找到一个合适的逼近函数 ② 目测法 ③ 分而治之：对乘积的每一个因式进行适当的放缩 ④ 分析与构造：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之匹配的代数式作为区间端点 ⑤ 局部构造：舍去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （3）若正项数列为“数列”，且，，证明：． 【答案】（1） 数列不是“数列”，理由如下： ，则， 又， 所以， 因为不是常数，所以数列不是“数列”. （2） （3） 设函数，则， 当时，，则在上单调递减，且， 因为数列为“数列”，则， 因为，， 则，故， 由此类推，可得对，， 所以，即，所以得证. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出即可判断； （2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解出，由此求出，即可求出数列的通项公式. （3）构造函数，通过导数判断函数的单调性，有在上单调递减，且，再推导出且，符合上述区间，即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为数列为“数列”，由， 有①， 所以②， 两式作差得， 又因为数列为“数列”，所以， 设数列的公比为，所以， 即对成立， 则，得； 又，， 得，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：①理解“数列”的定义并运用； ②通过构造函数利用函数单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置．） 1. 已知数列等差数列，且满足，则等于（ ） A. 84 B. 72 C. 75 D. 56 2. 一个圆锥的母线长为8，母线与轴的夹角为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 5. 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 6. 已知二面角的大小为，其棱上有两点，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直，已知，则（ ） A 2 B. C. D. 7. 记为等比数列前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 8. 已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知盒中有大小相同的2个红球和2个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是（ ） A. 每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是相互独立的 B. 每次摸出1个球并放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 C. 每次摸出1个球不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 D. 每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 10. 已知数列满足，则（ ） A. 存在等差数列满足上述递推公式 B. 存在等比数列满足上述递推公式 C. 存在周期数列满足上述递推公式 D. 存在摆动数列满足上述递推公式 11. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界），若平面，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的取值范围是 D. 平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置．） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 13. 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为_______． 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 17. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． （1）求和； （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 （3）现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 18. 已知函数 ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，试判断数列否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （3）若正项数列为“数列”，且，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $