小升初典型奥数： 间隔问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

间隔问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一、定义：生活中我们可以发现在摆放物体时，物体之间会存在着空格部分，这个空格部分就叫间隔。我们把含有间隔的数学知识称为间隔问题，常见的间隔问题有楼层之间的间隔、时间中的间隔等，本课我们就一起探索一下间隔问题带给我们的奥妙。 二、间隔问题中存在着以下几个特点：(1)任意相邻的两个物体之间存在着空格部分；(2)空格部分的距离是相等；(3)物体数量比间隔个数多1;(4)间隔个数等于两个物体的序号之差。 三、1、楼梯问题中的层数即为间隔数，楼数即为序号，所以层数等于两层楼序号相减的差。 2、在爬楼梯的时间问题里，需要利用间隔找到走一层楼的时间和要走的楼层数。 3、在锯木头的问题中，锯的次数即为间隔个数，需要通过段数找到锯的次数与锯一次的时间。 4、在敲钟的时间问题中，每两下之间存在一个间隔，所以间隔个数比敲的数量少1个，找到一个间隔的时间和敲的间隔个数。 第二部分 典型例题 例题1：在学校操场西侧“阅读书廊”两侧，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了36盆（两端都放）。这个“阅读书廊”长多少米？ 【答案】68米 【分析】根据题意可知，要求“阅读书廊”长多少米，我们要先知道一侧的间隔数，因为两端都放，所以间隔数等于一侧的盆数减一，即36÷2－1＝17，求出间隔数，再用间隔数×间隔距离4米，据此解答即可。 【详解】由分析可知， （36÷2－1）×4 ＝17×4 ＝68（米） 答：这个“阅读书廊”长68米。 【点睛】本题主要考查了两旁植树问题中的求路长。 例题2：校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 【答案】10人；人 【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4＋1”，求出最外层每边人数；再根据“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。 【详解】36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（人） 10×10＝100（人） 答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 例题3：校门口放着一排花，共盆。从左往右数茉莉花摆在第，从右往左数，月季花摆在第， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间。算一算，一串红花一共有多少盆？ 【答案】盆 【分析】从左往右数茉莉花摆在第，那么从右往左数茉莉花就是第[10－（6－1）]盆，即第5盆，从右往左数，月季花摆在第，从左往右数月季花就是第[10－（8－1）]盆花，即第3盆花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：（盆）。 【详解】10－[10－（6－1）]－[10－（8－1）] ＝10－[10－5]－[10－7] ＝10－5－3 ＝2（盆） 答：一串红花一共有2盆。 【点睛】解答本题的关键是，找出月季花与茉莉花分别摆放在第几盆的位置，即一串红的左边有几盆花，右边有几盆花，即可求出它们之间可以摆放几盆一串红。 例题4：在一条长500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线杆多少根？ 【答案】9根 【分析】先用500÷50求出间隔数，由于公路两端都不架设，再用间隔数减1即可求出电线杆的数量。 【详解】500÷50－1 ＝10－1 ＝9（根） 答：若公路两端都不架设，共需电线杆9根。 【点睛】本题属于典型两端都不栽的植树问题，解答此题关键需要利用的规律是：间隔数－1＝植树棵数。 第三部分 高频真题 1．北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？ 2．环卫工人要在3千米的公路两旁安放垃圾桶（一端安一端不安），每150米安放一个，一共需要多少个垃圾桶？ 3．晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第一层走到第六层需要走多少级台阶? 4．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 5．小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500米，每隔3米栽种一棵树。问：共需树苗多少株？ 6．四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵．排列这个方阵共需要多少名同学？ 7．节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了盆花，一共层，一共用去多少盆花？ 8．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 9．光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟? 10．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？ 11．同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学．已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？ 12．一段人行道长30米，现在要在人行道的两侧栽树，从起点开始，每隔6米栽1棵树，这段人行道共需要栽多少棵树？（两端都栽） 13．一根木料在24秒内被锯成了4段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？ 14．园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 15．时钟4点敲4下，用12秒敲完．那么12点钟敲12下，几秒钟敲完？ 16．有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？ 17．从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆。求需要多少根电线杆？ 18．在一个正方形的每条边上放8枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用○表示棋子） 19．园林工人在一段公路两侧种树，先在左侧每隔4米栽一棵树，一共栽了210棵。现在因为树木不够了，要改成每隔6米栽一棵树。那么，从第一棵树数起，有哪些树不用移栽？一共有多少棵不用移栽？（写出计算过程） 20．如图是某个农场的地形图，将整个农场划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为100米，隔道的宽为6米，现在要在所有的隔道两边每隔4米种一棵树，每个拐角都要种树，这个农场一共要种多少棵树？ 21．（1）植树节到了，老师带着同学们去种树，他要求大家把6棵树种成3行，每行都有3棵树，这下可把大家难住了，你知道怎么种才能满足老师的要求吗？ （2）小悦突然发现可以改变一棵树的位置，可以让6棵树变成4行，每行3棵，你知道小悦是怎么做的吗？ （3）冬冬发现再种一棵树后，可以让7棵树变成6行，每行3棵，你知道冬冬是怎么做的吗？ 22．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 23．32路公交车起点站与终点站之间的路程是3200米,如果每隔400米设一个停靠点,一共要设置多少个停靠点? 24．小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？ 25．某市政公司计划在一条6千米的公路两旁架设电线杆（两端都架设），每相邻两根电线杆之间的距离是200米，一共要架设多少根电线杆？ 26．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 27．运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？ 28．把一根木材锯成2段需要分。如果锯成6段，需要几分？ 29．锯一木条，锯一次需要2分钟，若锯成10小段，一共要用几分钟？ 30．二（1）班的同学排成4行做操，每行的人数相等。小明排第一行，他左边有3人，右边有5人。二（1）班一共有多少人？ 31．学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？ 32．一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？ 33．水池周围栽种了一些树，小明和小红沿同一方向绕水池散步，边走边数树的棵数．由于两人的出发地点不同，因此小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，小明数的第7棵在小红那儿是第94棵．问水池四周栽了多少棵树? 34．在40米长的公路一侧栽树，起点和终点各栽一棵，一共栽了5棵，每相邻两棵树之间的距离都相等，相邻两棵树之间相距多少米？ 35．公园里有一条长900m的小路，在小路的一旁，从头到尾每12m放一把椅子（两端都放），一共需要放多少把椅子？ 36．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？ 37．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？ 38．一个圆形花坛，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 39．赵斌从1楼走到4楼用了120秒．照这样计算,赵斌从1楼走到8楼需要用多少秒? 40．在一条路的两侧装有102盏路灯（两端都有），每相邻两盏路灯间隔12米。这条路的全长有多少米？ 41．一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？ 42．贝贝家院子有一个周长是5.2米的圆形花坛，在花坛边每13分米摆了一盆花，一共摆了多少盆花？ 43．一条马路长40米，在马路的两边种树，每两棵之间的距离是8米，从头摆到尾，需要种多少棵树？ 44．学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成的方块队（即每行每列都是6人），前后每行间隔为2米。他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？ 45．在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有人，最内层有人，参加团体操表演的共多少人？ 46．12个小朋友站成一排，从左往右数，强强排在第8个，从右往左数，航航也排在第8个，强强和航航两人之间有多少人？ 47．在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？ 48．名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？ 49．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？ 50．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 51．某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米? 参考答案： 1．5071米 【分析】不封闭型植树问题，相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长。注意段数比树的株数少1。 【详解】每队的人数是：60000÷25＝2400（人） 每队可以分成的排数是：2400÷12＝200（排） 200排的全长米数是：1×（200－1）＝199（米） 25个队的全长米数是：199×25＝4975（米） 25个队之间的距离总米数是：4×（25－1）＝96（米） 游行队伍的全长是：4975＋96＝5071（米） 答：游行队伍全长5071米。 【点睛】将实际问题抽象出数学模型中的植树问题模型是解决本题的关键。 2．40个 【详解】3千米=3000米，3000÷150=20(个)   20×2=40（个） 答：一共需要40个垃圾桶． 3．90级 【详解】从第一层到第三层只需要走2段台阶，即每段台阶36÷2＝18级，而从第一层走到第六层需要走5段台阶，所以需走18×5＝90级台阶． 4．这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子 【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数． （2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘层数，再乘4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个． 【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个） 答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子． 5．株 【分析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，可以直接运用公式：棵数＝段数＝周长÷株距，即可求出树苗有株数。 【详解】1500÷3＝500（株） 答：共需树苗500株。 【点睛】熟练封闭线路植树问题的解题方法，是解答此题的关键。 6．64名 【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数．排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点．求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 【详解】8×8=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学． 7．盆 【分析】不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个，每层的花盆就少个，因此可以依次求出每层花盆的个数。最外层有花盆：（盆），第二层有：（盆），第三层有：（盆），共有：（盆）。 【详解】（12－1）×4 ＝11×4 ＝44（盆） 44＋44－2×4＋44－2×4×2 ＝44＋36＋28 ＝108（盆） 答：一共用去108盆花。 【点睛】正确理解：不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个；这是解答此题的关键。 8．人；人 【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。 【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16 ＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16 ＝52＋60＋68＋16 ＝196（人） 196＝14×14 答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此求出总人数即可解题。 9．2分钟 【分析】125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟． 【详解】125÷5=25(行) 2×(25-1)=48（米） 48+42=90（米） 90÷45=2（分钟） 10．144人 【详解】解：（23+1）÷2=12（人） 12×12=144（人） 或 （23-1）÷2+1=12（人） 12×12=144(人)……高年级人数 11．148人 【分析】我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵．女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和． 【详解】先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108÷4÷3+3=12（人） 因为每向里一层,每条边上的人数就少2，所以： （1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）； （2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）； 女同学总人数为:112+36=148(人)． 12．12棵 【详解】略 13．秒 【分析】锯的次数总比锯的段数少1。因此，在24秒内锯了4段，实际只锯了3次，这样我们就可以求出锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成5段；实际上锯了4次，这样锯成5段所用的时间就可以求出来了。所以锯一次所用的时间：（秒），锯5段所用的时间：（秒）。 【详解】24÷（4－1）×（5－1） ＝24÷3×4 ＝8×4 ＝32（秒） 答：需要32秒。 【点睛】本题主要考查了“植树问题”的解题方法，注意了锯的段数比锯的次数多1。 14．210米 【分析】本题是两端都栽的植树问题，一侧的植树棵数－1＝间隔数，已知每两棵树的间隔是6米，用间隔数乘间隔距离即可求出从第一棵到最后一棵的距离。 【详解】6×（36－1） ＝6×35 ＝210（米） 答：从第一棵到最后一棵的距离是210米。 【点睛】本题主要考查了植树问题的灵活应用，掌握相关公式是解答本题的关键。 15．44秒 【分析】4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为12÷（4－1）=4秒；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12－1）=44秒敲完． 【详解】12÷（4－1）=4(秒) 4×（12－1）=44(秒) 16．秒 【分析】六点时敲6下，中间共有5个间隔，所以每个间隔的时间是：（秒），十二点要敲12下，中间有11个时间间隔，所以十二点要用：（11×1）秒才能敲完。 【详解】（6－1）÷5×（12－1） ＝5÷5×11 ＝11（秒） 答：11秒针才能敲完。 【点睛】本题考查了植树问题，根据“间隔数＝棵数－1，距离＝间距×间隔数”解题即可。 17．34根 【分析】从甲地到乙地每隔40m安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60m安装一根电线杆，求还需要多少根？每个40米安装一根，加上两端共51根，所以这51根间用有：51－1＝50（段），每段40米，从甲地到乙地共长：40×50＝2000（米）；每60米一根，又2000÷60＝33（段）……20（米），即33段就需要有34根，但还余20米。 【详解】（51－1）×40÷60 ＝50×40÷60 ＝2000÷60 ＝33（段）……20（米） 33＋1＝34（根） 33段需要34根电线杆，还余20米。 答：需要34根电线杆，还余20米。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝棵数－1，距离＝间距×间隔数；即可求出从甲地到乙地的总长度，据此解题即可。 18．最多：32枚  最少：28枚 【分析】四个角都不放时，需要的花盆数最多，利用每边盆数×4计算即可；四个角都放时，需要的花盆数最少，根据每边盆数×4﹣4即可解答； 如图： 最多： 最少： 【详解】8×4=32（枚） 8×4﹣4=28（枚） 答：最多需要32枚，最少需要28枚． 19．距离第一棵树的距离是12米倍数的数不用移栽，70棵 【分析】根据题干，先求出这条公路的总长度是（210－1）×4，因为4和6的最小公倍数是12，所以用总长度除以12再加上1（第一棵树不要移栽）即可得出不用移栽的树的棵数。 【详解】公路长度： （210－1）×4 ＝209×4 ＝836（米） 因4和6的最小公倍数是12 836÷12＝69（棵）……8（米） 不用移栽的树有：69＋1＝70（棵） 答：一共有70棵不用移栽。 【点睛】利用4和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意首尾都栽，所以要加1。 20．618棵 【分析】农场是正方形的，且周边是封闭图形，根据“棵数＝段数＝周长÷株距”，求大正方形内侧及4个小正方形外侧所植树木的和即可。 【详解】大正方形内侧四周的树木棵树： （100×2＋6×3）×4÷4 ＝（200＋18）×4÷4 ＝218×4÷4 ＝218（棵） 小正方形外侧四周的树木棵树： 100×4÷4 ＝400÷4 ＝100（棵） 218＋100×4 ＝218＋400 ＝618（棵） 答：这个农场一共要种618棵树。 【点睛】本题考查封闭图形植树问题，既要牢记公式“棵数＝段数＝周长÷株距”也要灵活判断各种复杂图形是否符合使用公式的条件。 21．（1）把这6棵树种成一个三角形，如下： （2）如下： （3）如下： 【详解】试题分析：（1）把这6棵树种成一个等边三角形，即可得到每行有3棵树，一共有3行； （2）把等边三角形一条边上中间的一棵树，放在正三角形的中心点上即可； （3）再在上题中移走的树的位置，植上一棵树即可． 解：（1）把这6棵树种成一个三角形，如下： （2）如下： （3）如下： 点评：解决本题关键是根据三角形的特点，每条边都可以看成一行，三个顶点各有一棵树，解决问题一，再利用问题一的答案解决下面的问题． 22．144盆 【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆． 答：一共摆了144盆． 23．7个 【详解】3200÷400-1=7(个) 24．11个；个 【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷”求出每边的棋子数：（个），根据“每向里一层每边棋子数减少＂，求出从最外面数第二层中每边各有：（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需棋子：（个）。 【详解】40÷4＋1 ＝10＋1 ＝11（个） （11－2）×（11－2） ＝9×9 ＝81（个） 答：最外层每边有11棋子，如果他要把整个棋盘摆满，还需要81棋子。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 25．62根 【分析】两端都架设，电线杆的根数＝段数＋1，公路总长÷间距＋1，先求出公路一侧的电线杆数量，再乘2即可。 【详解】6千米＝6000米 （6000÷200＋1）×2 ＝（30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（根） 答：一共要架设62根电线杆。 【点睛】关键是根据植树问题的解题思路，理解电线杆数量和段数之间的关系。 26．秒 【分析】每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是：（秒），而这之间的间隔数只有：（个），所以每个间隔的时间是：（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：（秒）。 【详解】[（43－3）÷（6－1）]×（12－1）＋3 ＝[40÷5]×11＋3 ＝8×11＋3 ＝88＋3 ＝91（秒） 答：一共需要91秒的时间。 【点睛】解答本题的关键是，要弄清楚敲6下和敲12下分别有几个间隔，即可求出每个间隔所用的时间，再据此解题即可。 27．32人 【详解】9×9＝81（人） （9-2）×（9-2）＝49（人） 81-49＝32（人） 答：要减少32名运动员． 28．分 【分析】把一根木料锯成2段要分钟，锯成两端需要锯一次即可，即锯了1次用了分钟，由此可求得锯一次用的时间，锯成6段要锯5次，乘锯一次的时间即可得解。 【详解】÷（2－1）×（6－1） ＝×5 ＝（分） 答：需要分。 【点睛】解答此题的关键是明白：锯成n段木头，需要锯（n－1）次。 29．解：根据分析可得， 2×（10﹣1）， =2×9， =18（分钟）； 答：一共要用18分钟． 【详解】植树问题 一根木条锯成10段，锯了：10﹣1=9次，锯一次用2分钟；锯成10段，要用：2×9=18（分钟）；据此解答． 30．36人 【解析】略 31．49人 【分析】去掉一行一列时，我们需要思考去掉了几个人，因为是正方形队列，所以每行每列的人数一样多，站在行和列的交点的同学既属于这一行也属于这一列，所以现在求每行（或每列）的人数时需要用13加上1得出两行（或两列）共有14人，再求出1行（或1列）的人数，最后求出总人数即可。 【详解】（13＋1）÷2 ＝14÷2 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：这个方阵共有49人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 32．米 【分析】根据题意可知，91棵树，共有（91-1）个间隔，根据“距离＝间距×间隔数”，即可求出公路的长，即：（米）。 【详解】（91－1）×5 ＝90×5 ＝450（米） 答：公路长450米。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝棵数－1，距离＝间距×间隔数；由此解题即可。 33．100棵 【详解】小红在小明的前方20－7＝13棵树的地方，所以小红数的第94棵数在小明数来应该是第94+13＝107棵，但现在小明数的是第7棵，所以一周栽有107－7＝100棵树或者100能除开的数，但是有第94棵树，所以水池四周栽了100棵树． 34．40÷（5-1）=10（米） 【详解】略 35．900÷12＋1＝76（把） 【详解】略 36．5层，160人 【详解】（48-16）÷8+1＝5（层） （48+16）×5÷2＝160（人） 答：这个方阵有5层，一共有160人． 37．144人 【详解】20×20－（20－4）×（20－4） ＝400－256 ＝144（人） 38．157盏 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出环形石子小路的周长；再用周长除以0.4，即可求出一共要装多少盏地灯。 【详解】3.14×（9＋1）×2÷0.4 ＝3.14×10×2÷0.4 ＝31.4×2÷0.4 ＝62.8÷0.4 ＝157（盏） 答：一个要装157盏地灯。 【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答；关键明确在封闭线路上植树，间隔数＝植树棵数。 39．280秒 【详解】120÷(4-1)=40(秒)　40×(8-1)=280(秒) 40．600米 【分析】此题属于两端都栽的植树问题，间隔数＝植树棵数－1，总长度＝间隔数×间隔距离，植树棵数相当于一侧路灯的盏数，已知两侧装有102盏路灯，则用102÷2先求出一侧的路灯盏数，然后用102÷2－1即可求出间隔数，已知每相邻两盏路灯间隔12米，最后用间隔数乘12即可求出这条路的总长度。 【详解】102÷2－1 ＝51－1 ＝50（个） 50×12＝600（米） 答：这条路的全长有600米。 【点睛】本题考查了植树问题的灵活应用，注意两侧都有路灯，总量要先除以2。 41．40只 【分析】先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数． 【详解】纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4＋9=13(只) 若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：(13+1)÷2=7(只) 原来棋子只数是：7×7-9=40(只) 答：有棋子40只． 42．4盆 【详解】5.2÷（13÷10）＝4（盆） 43．12棵 【分析】马路一边的头尾都种树，用马路长度除以每两棵树之间的距离，求出间隔数，再用间隔数加上1，求出马路一边种树棵数。因为马路两边都种树，所以用马路一边种树棵数乘2，求出种树总棵数。 【详解】（40÷8＋1）×2 ＝（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（棵） 答：需要种12棵树。 【点睛】解决本题时需要注意两点，一点是马路两边都种树，另一点是头尾都种树，一边种树棵数＝间隔数＋1。 44．分钟 【分析】根据前后每行间隔长×间隔数＝方块队长。方块队长： （米），方块队通过主席台行进路程总长：（米），方块队通过主席台需要：（分钟），综合算式：（分钟）。 【详解】[2×（6－1）＋30]÷40 ＝[2×5＋30]÷40 ＝[10＋30]÷40 ＝40÷40 ＝1（分钟） 答：通过长30米的主席台，需要1分钟。 【点睛】解答此题的关键是要明确：的方块队前后行间共有5个间隔，再运用植树问题解题即可。 45．人 【分析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数：（人）。内层每边人数：（人），空心方阵人数：（人）。 【详解】（64÷4＋1）×（64÷4－1）－（32÷4＋1－2）×（32÷4＋1－2） ＝（16＋1）×（16＋1）－（8＋1－2）×（8＋1－2） ＝17×17－7×7 ＝289－49 ＝240（人） 答：参加团体操表演的共240人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，空心方阵的总人数＝（外边人数）2－（内边人数）2。 46．2人 【分析】强强在从左往右第8个，航航在从右往左第8个，也就是航航在从左往右第5个，由此可以知道他们之间有几个人。 【详解】8－5－1＝2（人） 答：强强和航航两人之间有2人。 【点睛】学生可以根据题目要求画图表示，从而直观的看出他们之间的人数。 47．64人；36人 【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50~100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人。 【详解】10×10＝100（人） 8×8＋6×6 ＝64＋36 ＝100（人） 答：大方阵有64人，小方阵有36人。 【点睛】根据数据多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，熟记一些简单的平方数是解答此题的关键。 48．人 【分析】名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是行列的方阵，即剩下人，减少了 人。 【详解】方法一：100－9×9 ＝100－81 ＝19（人） 方法二： 10×2－1 ＝20－1 ＝19（个） 答：减少了9人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系：“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 49．解：100÷2+1=51（棵） 51÷3=17（个周期） 柳树：17×1×2=34（棵） 杨树：17×2×2=68（棵） 34+68=102（棵） 34÷102= 68÷102= 答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的． 【详解】周期性问题 先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可． 50．34棵；68棵 【分析】（1）要求最少要栽多少棵，即每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是60和42的最大公因数，求出60和42的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出应栽树的棵数； （2）因为此长方形的池塘四周及四角栽柳树，可以看成是一个封闭的图形，所栽的柳树的棵数和间距数相等，用间距乘2即可解答出所种的桃树的棵数。 【详解】60＝2×2×3×5 42＝2×3×7 60、42的最大公因数是2×3＝6 （60＋42）×2÷6 ＝102×2÷6 ＝204÷6 ＝34（棵） 34×2＝68（棵） 答：最少要种14棵柳树，桃树一共栽了68棵。 【点睛】关键是理解题意，明白是从求公因数作为突破口，进而找出解决问题的方法。 51．150株；300株；3米 【分析】在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=1350÷9=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3米． 【详解】1350÷9=150（株） 2×150=300（株） 9÷(2+1)=3(米) 学科网（北京）股份有限公司 $$