精品解析：福建省福州市多校联考2024年高二下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：100分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，，再求. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：B 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】由题意可知，复数满足， 则可转化为， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，且与的夹角，则（ ） A. B. 13 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再利用向量的模的公式求解. 【详解】解：由题得， 所以． 故选：A 4. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：上、下底面的半径，结合圆台的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3， 所以侧面积为. 故选：D． 5. 某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（ ） A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得12个人的平均答对题目的个数为，结合方差的公式，即可求解. 【详解】由题意，这12个人的平均答对题目的个数为， 则新数据的方差为. 故选：A. 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据同角关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 7. 命题，命题：函数在上单调，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立． 必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减． 综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点. 8. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，由垂直得到判断B，根据判断C，由投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：当时，满足，但是、无意义，故A错误； 对于B：当，则，故B正确； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得. 【详解】由正数a，b满足，得，A错误； 若，则，而a为正数，则，B正确； 显然，则，当且仅当时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】取中点，的中点，通过证明平面平面，得点轨迹为线段，从而判断A，由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断B，与点重合时，三棱锥体积的最大，确定的中点是直角三角形的外心，从而确定外接球的球心位置，求得外接球半径得表面积从而判断D，证明当是中点时，有可判断C． 【详解】取中点，的中点，连接，则， 正方体中易知，从而， 又平面，而平面，所以平面， 又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，则是平行四边形，所以，同理可得证平面， ，平面，所以平面平面， 平面平面，所以当时，平面，即线段为点的轨迹，，A正确； 三棱锥中，到平面的距离为定值2，当与重合时，的面积最小值，此时，所以体积最小值为，B正确； 连接，正方体中易知， 平面，而平面，所以， ，平面，则平面， 设平面（即与的交点为），此时平面， 所以，C错； 由选项B讨论可知当与点重合时，三棱锥的体积，取中点，连接，则， 正方体中同理选项C中证明可证平面，所以平面， 正方体中与交于点且为的中点，是直角三角形且，则是的外心， 因此三棱锥的外接球的球心在直线上，设外接球半径为，即，又，， 由平面，平面得， 由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为，D错． 故选：AB． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若角满足，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及即可求解. 【详解】 故答案为： 13. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念按比例求解． 【详解】因为岁年龄段回收了180份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了60份， 所以抽样比为． 因为分层抽取的样本的容量为300， 故回收的问卷总数为（份）， 可得（份）， 所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为（份）． 故答案为：120. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为常数，函数． （1）设，求函数的严格增区间； （2）若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上. （1）求证：平面； （2）若，点E为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为为菱形，所以， 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，连接，则平面， 由平面，平面，平面，得， 故即为二面角的平面角， 在菱形中，， 所以， 又，所以， 由点E为的中点，得， 所以为等腰三角形，在内过点E作高，垂足为H，则， 所以，即二面角的余弦值为. 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 19. 若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． （1）求函数的上确界； （2）已知函数，，证明：2为函数的一个上界； （3）已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再根据上确界的定义即可求解. （2）对函数进行换元，并根据定义域求出值域，进而证明2是一个上界. （3）将问题转化为对恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 依题意， 故，故的上确界为2. 【小问2详解】 证明：令，故原函数化， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且； 故，故2为函数的一个上界. 【小问3详解】 依题意，在上恒成立，即对恒成立； 令，故对恒成立， 所以， 设. 因在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为在上的最小值为； 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题.关键点是根据题意理解有界函数的新定义，并结合函数的换元法求值域，以及分离参数解决恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：100分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，且与的夹角，则（ ） A. B. 13 C. D. 10 4. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（ ） A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 18 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 命题，命题：函数在上单调，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12 若角满足，则________ 13. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______． 14. 已知是定义域为函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为常数，函数． （1）设，求函数的严格增区间； （2）若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上. （1）求证：平面； （2）若，点E为的中点，求二面角的余弦值. 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 19. 若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． （1）求函数的上确界； （2）已知函数，，证明：2为函数的一个上界； （3）已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$