小升初典型奥数：页码、时钟问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

页码、时钟问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1、 页码问题 1、是指一本书的页码与编写页码所用数字之间关系的一类问题。常见的题型有页码与其所用数字的数量关系、求页码中某个数字出现的次数。解决页码问题的关键是明确页码与编写页码所用数字个数的关系，理清数位，找出某个数字出现的所有可能的情况，然后进行分类计数。 2、数学思维链接 有序思维－－分类讨论，列出所有可能的情况，并按照一定的顺序进行计数，做到不重复，不遗漏。 3、方法归纳 （1）根据页码数的大小范围进行分组，每组数字的出现规律尽量相同。 （2）分析数字出现在各个数位上的情况，不可遗漏。 （3）计算出每组数字出现的次数，再相加求出总的次数。 二、时钟问题 （一）、时间： 时针：是用来表示“时”的，时针走1大格的时间是1时． 分针：是用来表示“分”的，分针走1小格的时间是1分，走1大格的时间是5分钟．秒针走一圈，分针走1小格，分针走一圈，时针走1大格． （二）、时间有两种表示方法： 第一种是中文表示方法，是几时几分，就写成几时几分； 第二种是像电子表那样，用两个小圆点把左边的时和右边的分隔开． 有几时就写几再打两个小圆点写右边的分． 表示分的数要占两个位置，不满10分的要用0来占位． 比如，9时5分，不满10分，我们就先写0再写5，即9：05． 时针从一个数走到下一个数经过的时间是1时． （三）、时钟问题的知识点 时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。 知识要点 (1)指针速度:钟面的一周为60个小格,每小格为6°，每个数字间隔为5个小格为30°，分针每分钟走一小格,为6°，时针每分钟走小格,为0.5°。 (2)当时针与分针重合时,时针与分针之间的夹角是0°;当时针与分针垂直时,时针与分针之间的夹角是90°;当时针与分针在一条直线上时,时针与分针之间的夹角是180°。 （四）题型分类和解题方法 (1)已知从镜子中看到的时间，求此时的实际时间。 解题方法:根据“镜内时间+镜外时间=12时”进行求解即可。 (2)已知某时间点,求时针和分针之间的夹角度数。 解题方法:先确定分针的准确位置,将时针暂定在整点，求夹角根据时针速度让它走到相应的位置,求走的度数;根据原夹角和时针走的度数之间的关系求出时针和分针之间的夹角。 (3)现在是某个整点，求经过多长时间时针与分针第一次重合、垂直或在一条直线上。 解题方法:这类题可以转化成追及问题，我们先确定时针不动,分针在动，求路程差就是整点时时针从12到现在的位置所成的 度数减去时针与分针在第一次重合、垂直或在一条直线上时时针和分针之间所成的度数,速度差就是时针和分针每分钟走的度数差,根据“追及时间=路程差÷速度差”求出追及时间。 (4)求某时过多少分时,时针与分针离某时的距离相等，并且在它的两边。 解题方法:这类题可以转化成相遇问题，我们可以假设某时后,分针从“12”顺时针方向走,而时针从某时逆时针方向走，这样时针和分针相遇的时间就是所求的时间。根据“相遇时间=总路程÷速度和”,总路程就是在某时时时针和分针之间的夹角的度数。 (5)已知一个坏钟(或坏表),每小时比标准时间快(或慢)多少分钟,在某时刻将这个钟与标准时间对准。当这个钟的时间显示为另一个时刻时，求标准时间是多少。 解题方法:找出标准时间、坏钟时间、时间差三者的比例关系,转化为比例问题求解。 (6) 坏钟问题:关键找出坏钟与标准钟在相同时间段的比,再根据坏钟(或标准钟)时间段求出标准钟(或坏钟)时间段,进而求出最后结果。 第二部分 典型例题 例题1：一本故事书在编页码时，共用了3005个数字，这本故事书共有多少页？ 【答案】1028页 【详解】解：我们把这本书页码数字的个数先分段计算，边算边估，最后求出总页数．（1）1～9页页码一位数9个，共用9个数字； （2）10～99页页码两位数90个，共用数字：（99-9）×2=180（个）； （3）100～999页页码三位数900个，共用数字：（999-99）×3=2700（个）． （4）则这本书有四位数字页码个数为：（3005－9－180－2700）÷4=29 所以这本数的页数为：999+29=1028（页）． 例题2：小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，问小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？ 【答案】开始解题时是7点分，结束解题时是7点分，共用了分． 【分析】要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻． （1）小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个格），而7点整时分针落后时针5×7=35（个格），因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个格），则这一段时间为：（分）．所以小明开始解题时是7点分． （2）小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7＝35（个格），因此这一段时间为：（分）．所小明解题结束时是7点分． 这样小明解题所用的时间就可以求出来了． 【详解】解： （分），所以小明开始解题时是7点分． （分），所以小明结束解题时是7点分． 小明解题所用的时间：7点分-7点分=（分） 答：小明解题共用了分． 例题3：小明晚上9点将手表对准，可早晨8点到校时却迟到10分钟，那么，小明的手表每小时慢几分钟？ 【答案】分钟 【详解】实际走了11小时又10分钟，共慢10分钟 10÷（11+）=（分钟） 例题4：小明上了一节课，时间不到l小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？ 【答案】55分钟． 【详解】试题分析：当时针和分针正好交换位置时，时针和分针一共走了一圈．可根据路程问题进行解答，时针和分针两针所行的路程和是60个格子，分针每分钟走1小格，时钟每分钟走5÷60个格子．据此解答． 解：60÷（1+5÷60）， =60÷（1+）， =60÷ =55（分钟）． 答：这堂课上了了55分钟． 点评：本题的关键是时针和分针正好交换位置时，两针共走了一圈，即60个格子，然后再根据路程问题进行解答． 第三部分 高频真题 1．图中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？ 2．一个快钟每小时比标准时间快1分，一个慢钟每小时比标准时间慢3分，在某个时间把他们同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9时整时，慢钟显示8时整．两个钟在什么时间调到标准时间？ 3．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是6点几分？ 4．有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用64分钟，另一只钟的分针与时针重合一次用66分钟，现在把两只钟都在标准时间0：00校准．试问：当它们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向12点），是几天几小时几分钟之后？ 5．某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分（标准时间）时针与分钟才能重合一次，工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作1小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元，如果一个工人照此钟工作8小时，那么他实际上应得到工资多少元？ 6．（人大附中考题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间结束的时间及各是什么时刻． 7．在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？ 8．有甲、乙两只手表，甲表每小时比乙表快2分钟，乙表每小时比标准时间慢2分钟，请问甲表是否准确？ 9．编一本《数学趣味小故事》的页码，一共用了19个数字“0”，这本书有多少页？ 10．在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？ 11．现在8点整，再过多少分，时针与分针首次成一条直线？ 12．小明读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页．小明第五天读了多少页？ 13．某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）．当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？ 14．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 15．一本科幻小说有100页，编这本书的页码一共用了多少次数字“1”？ 16．现在是3点，过多长时间，时针与分针第一次重合？ 17．将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011l2…问：左起第1000位上的数字是多少？ 18．一本书的页码从1至80、即共有80页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为3300．问：这个被多加了一次的页码是几？ 19．古董店有两个还在走的古老时钟，一个每天快15分钟，另一个每天慢24分钟，现将两个古老时钟同时调到标准时间，则至少需要经过多少天才能同时显现出标准时间？ 20．小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分．现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？ 21．一本辞典1998页，把第1页一直到最后的1998页连续放在一起，组成一个很大的数，即：12345678910111213…1998，那么这是一个几位数？ 22．钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况．请问： （1）距5点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分？ （2）距5点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？ 23．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 24．早晨晓龙看到镜中的表指针指在6时20分，他赶快起床出去跑步，可跑回来妈妈告诉他刚到6点20分，问晓龙起床时实际是什么时刻？ 25．小明在7点与8点之间解了一道题．开始时分针与时针成一条直线，解完题时两针正好重合．小明解题用了多少时间？ 26．一本书的页码共用了39个0，问这本书共有多少页？ 27．一本小说的页码，在印刷时恰好用了2589个铅字， （1）请求出这本书共有多少页． （2）在这一本书的页码中数字“1“共出现多少次． 28．有一本100页的书，中间缺了一张，小华将残书的页码相加，得到5005．老师说小华计算错了，你知道为什么吗？ 29．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？ 30．有一只表分不清长针和短针了，多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间．但有时也会出现两种情况，使你判断不出正确的时间．请问从中午12点到夜里12点这段时间会遇到多少次判断不出的情况？（注：不包括中午12点和夜里12点） 31．钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？ 32．现在是2点整，再过多少分，时针与分针首次成90°？ 33．现在的时间在10点与11点之间，如果在6分钟后表的分针恰好与3分钟前的时针的方向相反，现在的准确的时间是几点几分？ 34．编一本漫画书的页码一共用了19个数字，请你算一下，这本漫画书一共有多少页？ 35．有一个时钟每时快20秒，它在3月1日中午12时准确，下一次准确的时间是什么时间？ 36．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°，那么此人外出多少分钟？ 37．一本小说的页码，在排版时必须用2010个数码．问：这本书共有多少页? 38．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 39．小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同，请问：小悦出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？ 40．编一本画册的页码原先用了69个数字，后来又增加了8页，那么还要增加多少个数字编页码？ 41．李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？ 42．一本书有160页，共要用多少个数字来编页码？ 43．编一本695页的故事书的页码，一共要用多少个数字？其中数字“5”用去了几个？ 44．（1）小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？ （2）阿奇的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，阿奇将表校准，试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？ 45．小丁买了一本画册，他翻倒最后一页，看到页码是70．请你算一下，编这本画册的页码一共用了多少个数字？ 46．钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？ 47．排一本600页的书的页码，共需要多少个数码“0”？ 48．从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？ 49．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问： （1）当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？ （2）当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？ 参考答案： 1．114分钟． 【详解】试题分析：分针每80分钟走一圈，分针的速度就是360÷80=4.5度/分，分针走8圈时针就走一圈，时针的速度就是360÷（80×8）=度，分针与时针第三次成直角时，这时分针应转360度，再加上90度时，两针才第三次重合．它们之间的度数就是360+90=450度．然后再根据路程问题中的追及问题进行解答． 解：根据以上分析知分针的速度是： 360÷80=4.5（度/分） 时针的速度是： 360÷（80×8） =360÷640 =（度/分）， 分针与时针第三次成直角需要时间是： （360+90）÷（4.5﹣）， =450÷3 =114（分钟）． 答：分针与时针第三次成直角需114分钟． 点评：本题的关键是求出时针和分针的速度，再根据第三次成直角时两针之间的度数，然后再根据路程问题中的追及问题进行解答． 2．5点45分 【详解】试题分析：从条件可以知道，快钟和慢钟每小时相差（1+3）分，当两个钟相差（9﹣8）时，再求出快钟经过的时间，由此即可得出标准时间；因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟经过的时间是（15÷1）时，所以是15时前将两个钟同时调准的，即此时的标准时间的15时之前调准的． 解：60÷（1+3）， =60÷4， =15（时）， 快钟15时比标准时间快了15分钟， 所以，此时的标准时间是：8点45分； 因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟15÷1=15（时）， 所以是15时前（即在8点45分的前15时），即5点45分将两个钟同时调准的； 答：两个钟在5点45分调到标准时间． 点评：考查了时间与钟面．解答此题的关键是，根据快钟和慢钟每小时相差的时间，求出钟经过的时间，即可得出答案． 3．18分． 【详解】试题分析：在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央，这时时针超过了6的格子数，和分针离4的格子数相等，即可看成分针和时针从12走的格子数是20个格，再根据路程问题除以分针和时针的速度和，可求出分针走的格子数，然后可知此时的时间是多少． 解：20÷（1+）×1 =20××1 =18（分） 18分+6时=6时18分 答：这时是6点18分． 点评：本题的关键是让学生理解：钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央时，这时时针和分针走的格子数是20个． 4．1天11小时12分钟 【详解】试题分析：因为它们位置相同时时针和分针重合，所以那时候第一只钟经过的时间是64分的倍数，第二只钟经过的时间是66分的倍数，求64和66的最小公倍数即可． 解：64和66的最小公倍数是：2112，所以当它们再次出现在钟面同一位置的时间是 2112÷60=35.2（小时）=1天11小时12分 答：当它们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向12点），是1天11小时12分钟之后． 点评：本题的关键是让学生理解，当它们分针和时间出现在同一位置，且分针与时针重合时是64和66的最小公倍数． 5．34.6元 【分析】根据题意先求出正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间，再求出不准确的钟表走8小时，实际上是走的时间，最后即可求出答案。 【详解】正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间：（小时）， 小时分钟， 不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间：（小时）， 应得工资为：（元）， 答：他实际上应得到工资是34.6元。 故答案为：34.6元 【点睛】解答此题的关键是，根据题意知道，只要求出不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间，即可求出答案。 6．开始时间为1点50分 结束时间是5点10   10/11分钟 【详解】因为几点钟响几下，所以14=2+3+4+5，所以响的是2、3、4、5点，那么开始后10分钟才响就是说开始时间为1点50分．结束时，时针和分针恰好成90度角，所以可以理解为5点过几分钟时针和分针成90度角，这样我们算出答案为10÷11/12=1010/11分钟，所以结束时间是5点10 10/11分钟． （可以考虑还有一种情况，即分针超过时针成90度角，时间就是40÷11/12） 7．9点23分；9分钟. 【详解】试题分析：在钟面上分针每分钟走1格，时针每分针走个格，每个格对应的圆心角是6°，据此可求出9点23分时时针和分针之间的度数，然后再根据追及问题求出经过多少分钟，时针和分针第一次垂直．据此解答． 解：9点23分时，时针超过9，23分走过的格子，是23×=（格） 分针从23分到9之间的格子数是：45﹣23=22（格） 22+=23（格） 在9点23分时，时针和分针的夹角是 23×6=143.5（度） 90度之间的格子数是：90÷6=15（格） 经过的时间是 （23﹣15）÷（1﹣）×1 =8÷×1 =9（分） 答：时针和分针的夹角是143.5度，从这一时刻开始，经过9分钟，时针和分针第一次垂直． 点评：本题的关键求出9点23分时，分针和时针之间的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数，求出它们的夹角是多少，进而根据所及问题求出所经过的时间． 8．不准确 【详解】以标准时间的速度为单位1 乙表1小时走了60-2=58分 乙表的速度相当于标准时间的 乙表走1小时，甲表相对与乙表走62分，相对于乙表的速度为； 甲表速度相对于标准时间速度的×=<1 甲表不准确 9．108页 【详解】我们先算一算书的页码从第1到第99页要用几个数字“0”． （1）个位：用9个“0”，即 10，20，30，40，50，60，70，80，90； （2）十位：没有用“0”； （3）还可以用10个数字“0”，那么，编第100页用去2个“0”，编第101页～108页用去8个“0”，即 101，102，103，104，105，106，107，108． 合起来正好用了19个数字“0”，因此这本书有108页． 10．只有两次 【详解】假设时针的角速度是ω（ω=π/6每小时），则分针的角速度为12ω，秒针的角速度为72ω．分针与时针再次重合的时间为t，则有12ωt-ωt=2π，t=12/11小时，换算成时分秒为1小时5分27.3秒，显然秒针不与时针分针重合，同样可以算出其它10次分针与时针重合时秒针都不能与它们重合．只有在正12点和0点时才会重． 证明：将时针视为静止，考察分针，秒针对它的相对速度： 12个小时作为时间单位“1”，“圈/12小时”作为速度单位， 则分针速度为11，秒针速度为719． 由于11与719互质，记12小时/（11*719）为时间单位Δ， 则分针与时针重合当且仅当 t=719kΔ k∈Z 秒针与时针重合当且仅当   t=11jΔ  j∈Z 而719与11的最小公倍数为11*719，所以若t=0时三针重合，则下一次三针重合必然在t=11*719*Δ时，即t=12点． 11．10分 【详解】（8－6）÷（－）=2÷=10（分） 12．77页 【分析】根据题意，设小明第五天读的页数是x页，则根据第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页，即第五天读的页数﹣这五天中平均读的页数要=3.2，列方程解答即可． 【详解】解：设小明第五天读的页数是x页 x﹣（83+74+71+64+x）÷5=3.2， 5x﹣292﹣x=16， 4x=308， x=77； 答：小明第五天读了77页． 13．4点12分 【详解】标准钟一昼夜是24×60=1440（分）,怪钟一昼夜是100×10=1000（分）,怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）,即4点12分． 14．27分． 【详解】试题分析：在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的“6”恰好在时针与分针的正中央，这时时针超过了6的格子数，和分针离6的格子数相等，即可看成分针和时针从12走的格子数是30个格，再根据路程问题除以分针和时针的速度和，可求出分针走的格子数，然后可知此时的时间是多少． 解：30÷（1+）×1 =30××1 =27（分） 27分+6时=6时27分 答：这时是6点27分． 点评：本题的关键是让学生理解：钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央时，这时时针和分针走的格子数是30个． 15．21次 【详解】这个问题要先分类计算．先算数字“1”在页码的个位上出现的次数，然后算它在页码十位上出现的次数，最后算它在页码百位上出现的次数，把各类的次数相加就能得到最后的答案． （1）个位出现的次数：每10个连续页码出现一次．即1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，一共有10次；（11是看个位上的“1”） （2）十位出现的次数：每100个连续页码出现十次．即10，11，12，13，14，15，16，17，18，19一共有10次； （3）百位出现的次数：100出现了一次． 10＋10＋1=21（次）． 16．分 【详解】根据题意可知，3点时，时针与分针成90度，第一次重合需要分针追90度，（分） 17．3 【详解】本题类似于“用1000个数码能排多少页的页码？” 解：（1000-189）÷3＝270……1， 所以1000个数码排到第99＋270＋1＝370（页）的第1个数码“3”． 所以本题的第1000位数是3． 18．60 【详解】因为这本书的页码从1至80，而在页码累加时多加了一页，所以这本书的全书页码之和会比3300少，而少的数就是多加这页的页码． 解：1＋2＋…＋79＋80 ＝（80＋1）×80÷2 ＝81×40 ＝3240 3300—3240＝60． 答：这个被多加了一次的页码是60． 19．240天 【分析】要使得两个古老时钟同时显现出标准时间，那么其与标准时间相差的是12小时的整数倍，12小时是720分钟，一个每天快15分钟720除以15得到48，48天后第一次显现出标准时间；另一个每天慢24分钟，720除以24得到30，30天后第一次显现出标准时间，求二者的最小公倍数即可。 【详解】（分） （天） （天） 48和30的最小公倍数是240； 答：至少需要经过240天才能同时显现出标准时间。 【点睛】本题实质上考查的是公倍数的问题，理解坏钟显现出标准时间这个条件是解题的关键。 20．72天 【详解】快的挂钟与标准时间的速度差是 20分/天,慢的挂钟与标准时间的速度差是 30分/天,快的每标准一次需要 12×60÷30=24(天),慢的每标准一次需要 12×60÷20=36(天),24与36的最小公倍数是 72,所以 它们至少要经过72天才能再次同时显示标准时间． 21．6885位 【详解】解：只要求出组成1～1998共需要多少个数字，即能求出这是一个几位数．根据自然数的排列规律及数位知识进行分析即可． 1～9共需要9个数字， 10～99共需要2×90=180个数字， 100～999共需要3×900=2700个数字， 1000～1998共需要4×999=3996个数字， 所以，这是一个9+180+2700+3996=6885位数． 22．（1）5点27分；（2）6时． 【详解】试题分析：分针速度是每分钟转 360°÷60=6°，时针速度是每分钟转 6°×=0.5°；5点整时，时针与分针成30°×5=150°的角． （1）从5点整到“时针与分针第一次重合”，分针比时针要多转120°；又由于分针比时针每分钟多转6°﹣0.5°=5.5°，所以分针要追上时针（重合）需要的时间是：150°÷5.5°=27分钟，然后解答即可． （2）“时针与分针左右对称”它们所成的角度是180°；从5点整到时针与分针左右对称，分针比时针多转（150°+180°），所以分针要追上、超过并且和时针成一条直线，需要的时间是：（150°+180°）÷（6°﹣0.5°），然后解答即可． 解：（1）150÷（6﹣0.5） =150÷5.5 =27（分钟） 5+27=5时27分； （2）（150+180）÷（6﹣0.5） =330÷5.5 =60（分钟） 5+1=6（时） 答：距5时最近的“时针与分针重合”的时刻是5点27分；“时针与分针左右对称”的时刻是6时． 点评：本题是行程问题中的追及问题，用到的知识点是：路程差÷速度差=追及时间；只不过这里的路程、速度都是用转动的度数表示． 23．40分钟． 【详解】试题分析：根据题意，设冬冬看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°），可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故动画片一共放的时间可求． 解：设看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°） 由题意，得 解得x=20° 因时针每小时走30° 则小时，即动画片一共放的时间是40分钟． 答：动画片一共放了40分钟． 方法二：分针走一分走了6度，即分针的角速度是：6度/分，时针一分走0.5度，即角速度是：0.5度/分 开始时分针在时针后面110度，后来是分针在时针前面110度， 这是一个追及问题 设共用了X分 （6﹣0.5）x="110+110" 5.5x=220 x="40" 答：动画片一共放了40分钟． 点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 24．5点40分 【分析】造成晓龙与妈妈看到的钟面为同一时刻的原因在于：晓龙看到的是反射在镜面上的钟面，时针、分针经过镜面的反射其位置改变了． 【详解】如下图，反射前后钟面左右位置发生了互换．所以晓龙起床的实际时刻为5点40分． 25．分钟 【详解】（1）小明开始解题的时刻： 此时分针落后时针60×（180÷360）=30（格）， 7点整时分针落后时针5×7=35（格）， 因此，从7点整到此时成一直线，分针要比时针多走35-30=5（格），5÷(1−)＝（分钟）．即小明开始解题的时间是7点分． （2）小明解题结束的时刻： 从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7=35（格）， 35÷(1−)＝（分钟），即小明解题结束时是7点分； 7点分钟-7点分=（分钟）． 答：小明解题用了分钟． 26．208页 【分析】本题根据自然数的组成规律及数位知识结合0的个数进行分析解答即可． 【详解】1～100，个位数共用了10个0，十位数共有了1个0，共11个； 101～200，个数共用了10个0，十位共用了10个0，共20个0； 此时还剩下39﹣11﹣20=8个0． 201～208共用8个0， 即此时共用了39零，则这本书至少有208页． 答：这本书共有208页． 27．（1）899页    （2）280次 【详解】（1）本题根据自然数的排列规律及数位知识按数段进行分析即可： 一位数，1～9，共需要9个数字， 两位数，10～99，共需要2×90=180个数字； 此时还剩2589﹣9﹣180=2400个数字， 三位数都是由三个数字组成，2400个数字能组 2400÷3=800个三位数， 所以这本书共有9+90+800=899页． （2）此题应采用分类的方法解答，分为以下几种情况： ①个位上的1出现了：10×9=90（次）； ②十位上的1出现了10×9=90（次）； ③百位上的1出现了100次； 一共：90＋90＋100=280（次） 28．见解析 【详解】解：48页书的所有页码数之和为 1＋2＋…＋100＝（100＋1）×100÷2＝5050 按照小华的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为5050—5005＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后．小华计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的． 29．6. 【详解】试题分析：第一只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11一周，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环； 第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6一周，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，如下所画出的表格所示，找到指向同一个标数时的规律，即可得解． 解：如图， 根据以上分析，42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2； 30÷4=7…2 那么当两个指针第30次指向同一个标数时，是第8个循环的第二个，即它们的指针指着数字6； 答：它们的指针指着6． 点评：认真分析，找出规律“42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2”是解决此题的关键． 30．132次． 【详解】试题分析：当表在某点某分时，经过一段时间后，如果时针恰好走到原来分针的位置，而分针恰好走到原来时针的位置，即两针位置互换，由于分针、时针分辨不清，所以凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间． 解：两针位置互换，当时针、分针共走60格时，由于时针走1格，分针走12格，所以两针位置互换的时间间隔是： 60×=55分钟， 可以出现在中午12点多至1点多，1点多至2点多，2点多至3点多…夜里10点多至11点多，共11次． 同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正确时间的次数共有： （11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）×2=132次． 答：从中午12点到夜里12点这段时间会遇到132次判断不出的情况． 点评：本题的关键是让学生理解时针和分针交换位置后，这是判断不出正确的时间，然后再分别计算间隔60、120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，两针交换位置的次数进行解答． 31．9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等 【分析】（1）当时针和分针重合时，分针和时针的位置与7点的距离相等，当时针指向9时，分针指向12，它们相差9×30=270度，根据时间=路程÷速度差，可求出这时的时刻； （2）时针和分针位于数字“7”的两侧，9点整时，时针与数字7的夹角是6×10=60度，分针与数字7的夹角是6×35=210度，设经过x分钟，两针与7点的距离相等这时时针与数字7的夹角为60+0.5x度，分针与数字7的夹角为210﹣6x度，根据夹角相等可列出方程，求出时间，据此解答． 本题的关键是两种情况来进行讨论然后再根据追及问题和列方程的方法进行解答． 【详解】（1）9×30÷（6﹣0.5） =9×30÷5.5 =49（分钟） 当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分． （2）解：设经过x分钟，两针与7点的距离相等 60+0.5x=210﹣6x 6.5x=150 x=23 当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分． 答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等 32．27分 【详解】（2+3）÷（－）=5÷=27（分） 33．10点15分． 【详解】试题分析：根据时针与分针的速度可知，时针每分走0.5度，分针每分走6度．据题意可知，等量关系为：这个时刻的3分钟前时针走的度数=这个时刻6分钟后分针走的度数+180，把相关数值代入求解即可． 解：设钟表这个时刻表示的时间是10点x分，依题意，得 300+0.5（x﹣3）=6（x+6）+180， 解得x=15（分钟）． 即表示的时间是10点15分． 答：现在的准确的时间是10点15分． 点评：考查了时间与钟面的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键． 34．14页 【详解】排一本书的页码，第1页到第9页，要用9个数字；第10页到第99页，一共90页，每个页码都是两位数，要用2个数字，所以一共用2×90=180（个）数字；第100页到第999页一共900页，每个页码都是三位数，要用3个数字，所以一共用3×900=2700(个)数字…… 这本漫画书一共用了19个数字，最大的页码应该是两位数，是第（19－9）÷2=5（个）两位数，9+5=14（页），所以这本漫画书一共有14页． 35．5月30日中午12时 【详解】时钟与标准时间的速度差是 20秒/时，因为经过12小时，时钟的指针回到起始的位置，所以到下一次准确时间时，时钟走了 12×3600÷20=2160(小时)  即 90天， 所以 下一次准确的时间是5月30日中午12时． 36．40分钟 【分析】通过上面的例子，看到有时是将格数除以，有时是将格数除以，这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差。对于这个问题，大家还可以将题改为：“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是110°”，答案还是40分钟。 【详解】如下示意图，开始分针在时针左边110°位置，后来追至时针右边110°位置。 于是，分针追上了110°＋110°＝220°，对应格。所需时间为： ＝40（分钟） 答：此人外出40分钟。 【点睛】本题的关键是能求出220°对应的格数。 37．706页 【详解】因为189＜2010＜2889，所以这本书有几百页．由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码（2010-189）个，所以三位数的页数有 （2010-189）÷3＝607（页）． 因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有 99＋607＝706（页）． 解：99＋（2010—189）÷3＝706（页）． 答：这本书共有706页． 38．7点5分． 【详解】试题分析：6点时，分针和时针正好张开成一条直线，因此，分针要比时针多走60个，才能再次出现时针和分针张开成一条直线，即再过60÷（1﹣）=65分钟，所以小悦到达学校的时间是7点5分． 解：60÷（1﹣）=65（分钟）=1时5分钟 6时+1时5分钟=7点5分． 答：小悦到达学校的时间是7点5分． 点评：此题解答的关键在于求出再次出现时针和分针张开成一条直线时经过的时间． 39．52分；；28分钟． 【详解】试题分析：在钟面上分针每分钟走1格，时针每分针走个格，每个格对应的圆心角是6°，据此可求出7点24分时，分针和时针之间的夹角，再求出回来时的时间，进而可求出买东西一共时间，据此解答． 解：当7点24分时，时针从7开始走了24分钟的距离，走的格子数是：24×=2（格） 分针从24分到7之间的格子数是：11格， 7点24分时针和分针之间的格子数是：11+2=13（格） 它们之间的夹角是：13×6=78（度） 当分针和时针的夹角再次相同时用的时间是： （13+13）÷（1﹣）×1 =26÷×1 =28（分） 出来的时间是：7时24分+28分=7时52分． 答：小悦出来的时候是7时52分．买东西一共花了28分钟． 点评：本题的关键是求出7点24分时时针和分针的夹角，进而根据所及问题，求出再成相同夹角时需要的时间． 40．16个 【详解】我们可以先算出画册原来用69个数字编到第几页，然后再算出增加页数所用的页码．（69－9）÷2=30（页），30＋9=39（页），因此原先画册编到39页，后来又增加了8页，是从第40页到第47页，因为每个页码都是两位数，因此增加2×8=16（个）数字． 或者先估计一下这本画册最后一页的页码数是几位数，因为编完两位数的页码要用180个数字，而现在只用了69个数字，说明最后一页的页码一定是两位数，那么增加8页的页码也都是两位数，因此增加了2×8=16（个）数字． 41．2小时20分 【详解】解法一：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的．就有：钟停的时间+路上用的时间=160（分钟） 晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了. 因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟） 钟停的时间=（160＋120）÷2＝140（分钟） 路上用的时间=160-140＝20（分钟） 答：李叔叔的钟停了2小时20分. 解法二：以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以 上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）. 钟停时间=2小时 40分钟-20分钟=2小时20分钟 答：李叔叔的钟停了2小时20分. 42．372个 【详解】我们把这本书的页码分成三段计算． （1）1～9一位数9个，共用9个数字； （2）10～99两位数90个，共用数字：（99-9）×2=180（个）； （3）100～160三位数61个，共用数字：（160-99）×3=183（个） 所以这本书有160页，共要用数字： 9+180+183=372（个）． 43．（1）1977个    （2）240个   【分析】（1）从简单的开始分析，一位数：1﹣9，9个，两位数：10﹣99，90个，三位数：100﹣695，596个；所以需要总数字=9×1+90×2+596×3=9+180+1788=1977（个）． （2） 用去的数字5，一位数：1个，两位数：十位的位置（50﹣59）出现了10次，个位（15﹣95上出现了9次，三位数：百位（500﹣599）出现了 100次，十位（150﹣159，250﹣259…650﹣659）出现了6×10=60次，个位（105，115，125，135，…695，可以看成 前面两个数从10变到69），所以出现了60次．；故总共出现1+10+9+100+60+60=240（个）． 【详解】（1）一位数：1﹣9，9个； 两位数：10﹣99，90个； 三位数：100﹣695，596个； 所以需要总数字=9×1+90×2+596×3=9+180+1788=1977（个）． （2）用去的数字5 一位数：1个， 两位数：十位的位置（50﹣59）出现了10次，个位（15﹣95）上出现了9次， 三位数：百位（500﹣599）出现了100次，十位（150﹣159，250﹣259…650﹣659）出现了6×10=60次，个位（105，115，125，135，…695，可以看成前面两个数从10变到69），所以出现了60次． 故总共出现1+10+9+100+60+60=240（个）； 答：一共要用1977个数字，其中数字“5”用去了240个． 44．（1）5时40分．（2）下午3时30分． 【详解】试题分析：（1）因小悦家的闹钟每小时都比标准时间快3分钟．所以标准时钟每分钟走的分钟数和小悦家的时钟走分钟数的比一定，标准时钟每走60分钟，小悦家的时钟就走（60+3）分钟，昨晚11点，到第二天早上6点，王奶奶家的闹钟走了7个小时，王奶奶家的时钟就走了（60×7）分钟，可设标准时钟走的分钟数是x，根据比一定可列方程解答． （2）因阿奇的手表每小时都比标准时间慢4分钟．所以标准时钟每分钟走的分钟数和阿奇的手表走分钟数的比一定，标准时钟每走60分钟，阿奇的手表就走（60﹣4）分钟，早上8点，到下午3点，手表走了7小时，则手表就走了（60×7）分钟，可设标准时钟走的分钟数是x，根据比一定可列方程解答． 解：（1）设标准时钟在小悦家走7小时时走的分钟数是x分钟，根据题意得 （60+3）：60=（60×7）：x 63：60=420：x 63x=420×60 63x÷63=25200÷63 x="400" 400分钟=6小时40分钟 昨晚11点加6小时40分钟，是早晨5时40分． 答：当闹铃响起时，标准时间是5时40分． （2）设标准时钟走的分钟数是y分钟，根据题意得 （60﹣4）：60=（60×7）：y 56：60=420：y 56y=420×60 56x÷56=25200÷56 x="450" 450分钟=7小时30分钟 早上8点加7小时30分钟，是下午3时30分． 答：标准时间是下午3时30分． 点评：解答此题的关键是，不准钟和标准时间的比是一定，再根据经过的标准时间，或不准钟的时间，列出比例进行解答． 45．131个 【详解】先要分清数字与数，这是两个不同的概念．数字是指0～9这十个数字，而数是由数字组成的．小丁买的画册最后一页是70页，那么编这本画册一共用了70个数，从第1页到第9页一共有9个一位数，用了9个数字；从第10页到第70页一共有70－9=61（个）两位数，每个两位数用2个数字，所以用了2×61=122（个）数字；合起来一共用了9＋122=131（个）数字． 46．分 【详解】此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是，所以追及时间是：（分）． 47．111个 【详解】解：将1～600分为6组： 1～100，101～200，201～300，301～400，401～500，501～600． 在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”  11＋20×5=111（个）． 48．81个 【解析】找出含有4的自然数的个数，用100减去含有4的个数，得到不含4的个数。 【详解】4，14，24，34，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，54，64，74，84，94，这19个数里面是含有4的； 100－19＝81（个） 答：不含有数字4的自然数有81个。 【点睛】本题考查的是页码问题，注意这里找到是含4的自然数的个数，而不是4出现的次数。 49．（1）5时25分．（2）6时． 【详解】试题分析：（1）根据题意可知闹钟走60分，手表走了60+5=65分，闹钟小时走的分钟数同手表走的分钟数的比是一定的，闹钟多12点到下午5点共走了5×60=300分，据此可列出比例求出手表显示的时间． （2）当手表显示当天下午6点半的时候，手表走了6×60+30=390分，据此可列出比例求出闹钟显示的时间． 解：（1）设手表走过的时间是x分 60：65=（5×60）：x 60x=65×300 x= x=325 325÷60=5小时25分 答：手表显示的时间是5时25分． （2）设闹钟过了y分 60：65=y：（6×60+30） 65y=60×390 y= y= ÷60=6（小时） 答：闹钟显示的时间是6时． 点评：本题的关键是根据闹钟和手表每小时走的时间的比一定来列出比例进行解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$