小升初典型奥数：逆推还原问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

逆推还原问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 1．逆推问题内容： 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算． 2．解题方法： （1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义． （2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义． 【解题方法点拨】 解题思路： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理． ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算． ③列式时注意运算顺序，正确使用括号． 第二部分 典型例题 例题1：老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？ 【答案】1 【分析】由于最后黑板上三个数的和为159，又第三个数是前两个数的平均数，所以最后一个数为159÷3＝53，可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 下面说明没有其它答案：如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【详解】最后一个数为159÷3＝53， 可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138， 由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008， 所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【点睛】利用倒推法，根据所给条件进行分析完成是完成本题的关键。 例题2：少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子？ 【答案】250个 【分析】根据题意，减去25，还剩25，那么没减去25之前是：25＋25＝50；把这个数除以5等于50，在没除以5之前是：50×5＝250；解决问题。 【详解】（25＋25）×5 ＝50×5 ＝250 答：共采集了250个树种子 【点睛】从最后结果出发，运用加减、乘除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，进而得出初始结果，解决问题。 例题3：甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 【答案】甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 第三部分 高频真题 1．学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？ 2．山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？ 3．有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆。现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆。照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个。问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？ 4．美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？ 5．小明、小强和小勇三个人共有故事书60本．如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等．这三个人原来各有故事书多少本？ 6．A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 7．一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？ 8．有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4．问：这个数是几？ 9．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？ 10．某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台．这个商场原来有洗衣机多少台？ 11．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？ 12．篮子里有一些苹果，妈妈拿他的一半又一个给了爷爷，再拿剩余的一半又二个给了爸爸，又取最后所余的一半又三个给了女儿，篮子里的苹果正好拿完．问篮子里原来有苹果多少个？ 13．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 14．3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌。第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番。第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍。第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍。结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的。细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元。你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？ 15．一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”。小刚这次竞赛得了多少分？ 16．某小贩出售一筐苹果，第一天卖掉了全部的一半多2千克，第二天卖掉了余下的一半少2千克，这时筐内还剩下20千克苹果．问：这筐苹果原有多少千克？ 17．有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？ 18．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 19．七个人都各有一些珠子。从开始依序进行以下操作，每次都分给其他六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当操作后，每个人手中都恰好各有颗珠子，请问原先有多少颗珠子？ 20．有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4．问：这个数是几？ 21．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？ 22．小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘7，加上6，除以5，正好等于4。请你算一算，我今年几岁？” 23．便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？ 24．小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？ 25．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 26．学学做了这样一道题：某数加上10，乘10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数。小朋友，你知道答案吗？ 27．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 28．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？ 29．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的。此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？ 30．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 31．甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书．问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 32．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢？ 33．解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？ 34．在小新爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘10，恰好是100，问：小新爷爷今年多少岁数？ 35．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 36．一班、二班、三班各有不同数目的图书。如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍。这时，三个班的图书数目都是48本。求三个班原来各有图书多少本？ 37．一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？ 38．小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小9倍，再加1岁后才10岁．小刚的奶奶今年多少岁？ 39．有一条铁丝，第一次剪下它的又1米，第二次剪下剩下的又1米，此时还剩15米，这条铁丝原来有多长？ 40．文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充．到第八次卖出一半后，恰好余下15个．文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？ 41．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间再加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？ 42．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？ 43．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 44．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元．这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？ 45．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 46．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？ 47．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？ 48．三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟？ 49．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变） 50．某数先加上3，再乘3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？ 参考答案： 1．22小时 【分析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到（20÷2）厘米时，就是第23个小时，以此倒推。 【详解】列表倒推法解题如下： 出生时数 小虫身长（厘米） 24 20 23 10 22 5 答：小虫长到5厘米时需要22小时。 【点睛】本题主要考查了还原问题的解题方法，用列表倒推法解题更直观、易懂。 2．16个 【分析】运用逆推法，先用最后的结果剩1个可知，1个等于第二天没吃前的一半少2个，即：（1＋2）×2＝6（个），就是第二天没偷吃前的个数，即第一天偷吃剩下的个数；那么（6＋2）个就是树上原来桃子个数的一半，由此解题即可。 【详解】[（1＋2）×2＋2]×2 ＝[3×2＋2]×2 ＝[6＋2]×2 ＝8×2 ＝16（个） 答：树上原来有16个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 3．个；个 【分析】我们从最后一步倒着分析。因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有（个）棋子，而甲堆的棋子数是（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向。所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子。 【详解】32÷2＝16（个） 32＋16＝＝48（个） 48÷2＝24（个） 24＋16＝40（个） 40÷2＝20（个） 20＋24＝＝44（个） 根据题意列表法解答：（单位：个） 甲 乙 结果 32 32 第三次交换前 48 16 第二次交换前 24 40 第一次交换前 44 20 答：甲堆棋子原来各有44个，乙堆棋子原来各有20。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题一般是从最后一步结果出发向前倒推，也可以根据已知条件列表逐步分析，直到解决问题。 4．380台 【分析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数． 【详解】[（105-20）×2+20]×2 =[85×2+20]×2 =190×2 =380（台） 答：美红商店原有380台洗衣机． 5．小勇15本，小强22本，小明23本 【详解】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本．如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本． 6．26千克；14千克；8千克 【分析】第三次后都为16千克，第三次前是C向A、B倒并使A、B增加到第三次前的2倍，所以A、B两桶第三次前是16千克的一半，是8千克，即A＝B＝8千克，所以第三次前C是（16×3－（16÷2＋16÷2）千克，即32千克；第二次是从B桶把油倒入C、A两桶，所以第二次倒前就是把C、A减半，再算出B；第一次把A桶油倒入B、C两桶，所以第一次倒前就是把B、C减半，再算出A。 【详解】根据题意，列表倒推如下： A B C 结果 16 16 16 第三次倒之前 8 8 32 第二次倒之前 4 28 16 第一次倒之前 26 14 8 （16×3－16÷2－16÷2）÷2÷2 ＝（48－8－8）÷2÷2 ＝32÷2÷2 ＝8（千克） [16÷2＋16÷2÷2＋（16×3－16÷2－16÷2）÷2]÷2 ＝[8＋4＋（48－8－8）÷2]÷2 ＝[8＋4＋16]÷2 ＝28÷2 ＝14（千克） 16÷2÷2＋14＋8 ＝4＋14＋8 ＝26（千克） 答：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 7．500毫升 【分析】由“第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升”，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么这瓶果汁原有（300-50）×2． 【详解】[(125+25)×2－50]×2 =[300－50]×2 =250×2 =500（毫升） 答：这瓶果汁原有500毫升． 8．22 【详解】这个问题是由 （□×4—46）÷3—10＝4， 求出□．我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22． ［（4＋10）×3＋46］÷4＝22． 答：这个数是22． 9．50岁. 【详解】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁. 同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）. 10．40 【分析】我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考． 结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台． 【详解】10×2＝20台 原有洗衣机的台数：20×2＝40台． 答：这个商场原来有洗衣机40台． 11．1160元 【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数. 【详解】250＋30=280（元）， 280＋280＋20=580（元）， 580＋580=1160（元） 答：爸爸原来有存款1160元. 12．34个 【分析】最后的一半又3个给女儿，说明最后的一半就是3个，女儿得到6个苹果；由“再拿剩余的一半又二个给了爸爸”，则给爷爷后剩余：（3×2+2）×2=16（个）；那么总数为（16+1）×2=34（个）． 【详解】[（3×2+2）×2+1]×2 =[8×2+1]×2 =17×2 =34（个） 答：篮中原有苹果34个． 13．600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 14．260元；80元；140元 【分析】根据题意，假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，又在每一局重新变化后，三个人钱袋里的钱的总数是一个不变的数，由此，可从最后3人手中的钱是完全一样的出发进行倒推，求每一局重新变化以前三个人各自的钱的份数，再根据甲输掉了100元，求出每份代表的钱数，即可求他们三个人刚开始各有多少。列表倒推如下。 【详解】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，列表解答如下： 甲 乙 丙 第三局后 8 8 8 第二局后 4 16 4 第一局后 2 8 14 开始 13 4 7 从开始到最后甲的份数少了：13－8＝5（份）， 每份的钱数是：100÷（13－8） ＝100÷5 ＝20（元） 13×20＝260（元） 4×20＝80（元） 7×20＝140（元） 所以刚开始时，甲有260元，乙有80元，丙有140元。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。 15．86分 【分析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算。扩大倍是分，没有扩大倍之前应是： （分），加上后是分，没有加上前应是：（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是：（分），减去后是分，没有减去前应是：（分）。综合列式为：（分），所以，小刚这次竞赛得了分。 【详解】（100÷2－10）×2＋6 ＝（50－10）×2＋6 ＝40×2＋6 ＝80＋6 ＝86（分） 答：小刚这次竞赛得了86分。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 16．76千克 【详解】〔（20-2）×2+2〕×2=38×2=76（千克）　答：这筐苹果原有76千克. 解决这类一半多几，一半少几的还原法应用题，我们往往借助线段图来帮助我们解题．根据题意此题可以画图,图略 17．3角 【分析】画线段示意图倒推分析如下： ； 从上面的线段图可以看出： 最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是：2×2＝4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是：5×2＝10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是：11×2＝22（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2＝22（个）；再求每个苹果平均值多少钱：66÷22＝3（角），每个苹果平均值3角钱。 【详解】{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2 ＝11×2 ＝22（个） 66÷22＝3（角） 答：每个苹果平均值3角钱。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 18．28棵 【详解】先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗．学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）． 36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）． 答：乐乐最初拿了28棵树苗． 19．颗 【分析】于是D之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化一下求解过程，因为最终结果D有256颗珠子，所以在G操作之前，D的珠子个数应该减半为128颗，在F操作前应该再减半为64颗，在E操作前应该再减半到32颗，在D操作前，其余所有人的珠子应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是（256×7－256÷2÷2÷2）颗，即880颗，这些都是D分给他们的，所以在D操作前，D应该有（880＋32）颗，即912颗珠子，于是在C操作前，D的珠子应该减半到（912÷2）颗，于是在B操作前，D的珠子数应该减半到（912÷2÷2）颗，于是在A操作前，D的珠子数目应该减半到（912÷2÷2÷2）颗。也就是说D之前的珠子数目是（912÷2÷2÷2）颗。 【详解】最后都是256颗珠子，列表倒推如下。 A B C D E F G 最终结果 256 256 256 256 256 256 256 G操作之前 128 128 128 128 128 128 1024 F操作之前 64 64 64 64 64 960 512 E操作之前 32 32 32 32 928 480 256 D操作之前 16 16 16 912 464 240 128 C操作之前 8 8 904 456 232 120 64 B操作之前 4 900 452 228 116 60 32 A操作之前 898 450 226 114 58 30 16 [（256×7－256÷2÷2÷2）÷2＋（256÷2÷2÷2）]÷2÷2÷2 ＝[（1792－32）÷2＋32]÷2÷2÷2 ＝[1760÷2＋32]÷2÷2÷2 ＝[880＋32]÷2÷2÷2 ＝912÷2÷2÷2 ＝114（颗） 答：D原先有114颗珠子。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 20．22 【分析】这个问题是由（□×4-46）÷3-10＝4，求出□．我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22． 【详解】［（4＋10）×3＋46］÷4＝22． 答：这个数是22． 21．600千克 【分析】 从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出后余下的（1－）．则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240÷（1－）=400（千克） 同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1－），则这批大白菜的千克数为：400÷（1－）=600（千克） 【详解】240÷（1－）=400（千克） 400÷（1－）=600（千克） 答：这批大白菜有600千克． 22．10岁 【分析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没除以5，此数是： ；如果没加上6，此数是：；如果没乘7，此数是：；如果没减去8，此数是：；据此解题即可。 【详解】（4×5－6）÷7＋8 ＝14÷7＋8 ＝10（岁） 答：小康今年10岁。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 23．88个 【分析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）． 【详解】{[(11－1)×2+1]×2+2}×2 =[（10×2+1）×2+2]×2 =（21×2+2）×2 =44×2 =88（个） 答：水果店里原来一共有88个芒果． 24．24元 【分析】根据题意，第二次剩下的一半是：4＋1＝5（元），第二次剩下：5×2＝10（元），第一次剩下：10×2＝20（元），原来有：20＋4＝24（元）。 【详解】画线段示意图如下： （4＋1）×2×2＋4＝24（元） 答：小丽原有24元。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 25．18只 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 26． 【分析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算。 倒推如下：；即：10×10＝100，100＋10＝110，110÷10＝11，11−10＝1；综合算式为：（10×10＋10）÷10−10＝1。 【详解】（10×10＋10）÷10−10 ＝（100＋10）÷10−10 ＝110÷10−10 ＝11−10 ＝1 答：这个数为1。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 27．16，10，7 【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表： 老大 老二 老三 初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4 老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2 老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4 老大分过后 8 8 8 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁． 28．7两酒． 【详解】试题分析：由题意，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，遇到3家酒店，最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒；则遇到第三家酒店时是8÷2=4两酒，遇到第二家酒店时是（4+8）÷2=6两酒，遇到第一家酒店时，原来酒葫芦里有酒 （6+8）÷2=7两；据此解答． 解：最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒， 8÷2=4（两）， （4+8）÷2=6（两）， （6+8）÷2=7（两）， 答：原来酒葫芦里有7两酒． 点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解． 29．3升 【分析】第五口喝了剩下的，那么还剩下，它对应的数量是0.5升，由此用除法求出第五口之前矿泉水的量，同理可以求出第四口之前、第三口之前……一直到原来的升数。据此列式解答即可。 【详解】 ＝3（升） 答：最开始瓶子里有3升矿泉水。 【点睛】解决本题运用倒推法，逆着喝水的顺序，从后向前推算，逐步找出最初的状态。 30．米 【分析】根据题意，画图倒推分析如下：                         即：（米）；             即：（米）；    即：（米）； 【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2 ＝[14×2＋2]×2 ＝30×2 ＝60（米） 答：这根绳子全长60米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 31．33,32,25 【详解】尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）．根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30＋3＝33（本）， 乙组有30—3＋5＝32（本）， 丙组有30—5＝25（本）． 32．188 【分析】根据题意，减数个位上的9看成了3，也就是减数小了6；十位上的4看成了7，也就是减数大了30。故原数是：164＋30－6＝188。 【详解】164＋30－6＝188 答：正确的答案应该是188。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 33．158人 【分析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有（30－8）人，即22人。由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有（22×2）人，44人；由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有（44＋35）人，即79人；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有（79×2）人。据此列式解答即可。 【详解】[（30－8）×2＋35]×2 ＝[44＋35]×2 ＝79×2 ＝158（人） 答：第一队原有158人。 【点睛】还原问题的基本方法：倒推法或列表法，解题时一般根据已知条件从结果一步一步向前倒推。 34．79岁 【分析】运用逆推法，先用最后的结果100岁除以10求出商（即乘10之前的结果），然后再用商加上6，求出和（即减去6之前的结果）；再用求出的和乘4，求出积（即减去15之前的结果），再用积加上15就是爷爷的岁数。 【详解】（100÷10＋6）×4＋15 ＝（10＋6）×4＋15 ＝16×4＋15 ＝64＋15 ＝79（岁） 答：小新爷爷今年79岁。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 35．8个、19个、30个 【分析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）．所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个． 【详解】57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个） 原来第一袋：15－7=8（个） 原来第二袋：15+4=19（个） 原来第三袋：15×2=30（个） 答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个． 36．本；本；本 【分析】依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班。其余各次，以此类推，把倒推解答的过程列表如下。 【详解】48÷2＝24（本） 48÷2＝24（本） 48＋24＋24＝96（本） 24÷2＝12（本） 96÷2＝48（本） 24＋12＋48＝84（本） 84÷2＝42（本） 48÷2＝24（本） 12＋42＋24＝78（本） 列表解答：（单位：本） 一班 二班 三班 结果 48 48 48 第三次分之前 24 24 96 第二次分之前 12 84 48 第一次分之前 78 42 24 答：三个班原来各有图书本，本，本。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目。 37．4千米 【分析】采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是：1×2＝2（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为：2×2＝4（千米）。 【详解】如图： 1×2×2＝4（千米） 答：公园马路全长为4千米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 38．88 【分析】我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法． 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小9倍之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁． 【详解】10－1＝9岁 9×9＝81岁 81＋7＝88岁 答：小刚的奶奶今年88岁． 39．50米 【分析】此铁丝最后还剩15米，这是第二次剪去第一次剩下的又1米的结果，那么第二次剪之前（即第一次剪后）应该是（15+1）÷（1－ ）= 24（米）；而24米又是第一次剪去全长的又1米的结果，那么那么第一次剪之前（即原来）的长度为（24+1）÷（1－ ）= 50（米）. 【详解】（15+1）÷（1－ ）÷（1－）= 50（米） 答：这条铁丝原来长50米． 40．30个 【分析】每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2． 【详解】15×2=30（个） 答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个． 41．10000个 【详解】3600÷(1-)÷(1-)÷(1-)=10000(个) 答：这批零件一共有10000个． 42．100页 【分析】（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）． 【详解】[（10+10×2+10）]×2 =[40+10]×2 =50×2 =100（页） 答：这本书有100页． 43．31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 44．5500元 【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元） 用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”． 【详解】[（1250+100）×2+50]×2=5500（元） 答：他原有存款5500元． 45．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 46．259个 【分析】如果没有多3个的话，分了四次，答案应是4×4×4×4=256个，现在多了3个，所以结果是256+3=259个． 【详解】4×4×4×4+3 =256+3 =259（个） 答：堆桃子至少有259个． 47．12% 【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为． 48．6只；16只；14只 【分析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是：（36÷3）只，即12只；第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数。 【详解】现在一样多的：36÷3＝12（只）； 第一棵树上的小鸟只数：12－10＋4＝6（只）； 第二棵树上的小鸟只数：12＋8－4＝16（只）； 第三棵树上的小鸟只数：12＋10－8＝14（只）； 答：第一棵树上有6只小鸟；第二棵树上有16只小鸟；第三棵树上有14只小鸟。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 49．260点 【分析】翻了一番即扩大到原来的2倍的意思，可以设最后的数量为未知数，从后往前进行倒推，表示出找出三人各自的数量，根据甲输了100点列方程求解。 【详解】解：设三局后每人手中都是点； 根据题意列表 甲 乙 丙 点数总和 第三局后 3 第二局后 2 3 第一局后 3 开始时 3 因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即 －＝100 ＝160 于是160×＝260（点） 答：开始时，甲手上有260点。 【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，用列表法进行倒推是求解此类问题最常用的方法。 50． 【分析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是：，如果没除以2，此数是：，如果没乘3，此数是：，如果没加上3，此数是：，综合算式，原数是5。 【详解】（10＋2）×2÷3－3 ＝12×2÷3－3 ＝5 答：原数是5。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$