小升初典型奥数：工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

工程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 第二部分 典型例题 例题1：放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 【答案】分钟 【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。 【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）： 1号 2号 3号 4号 工作效率 ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ 从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 那么同时打开这4个阀门，需要（分钟） 答：18分钟可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。 例题2：某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25%，请问完成计划还需要多少天？ 【答案】12天 【分析】在本题中，工作效率和工作时间是两个变量，而不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率上看，有原来的工作效率1600÷20=80（台／天），又有提高后的效率80×（1+25%）=100（台／天）．从时间上看，有原来计划的天数，又有效率提高后还需要的天数．根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：提高后的效率×所需要天数=剩下的台数 【详解】解法一：设完成计划还需要x天，则 1600÷20×（1+25%）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25×x=1600-80×5 100×x=1600-400 x=12 解法二：提高后的效率是原来效率的倍，把原来的效率看作“1”，则提高后效率与原来的效率之比是．因为工作效率和工作时间成反比例的关系，所以实际时间与计划时间之比是4∶5，如果设实际还需要量x天，而原来计划的时间是20-5=15（天），因此 4∶5=x∶15 5x=60 x=12 答：完成计划还需12天． 例题3：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，两队合做，几天完成这项工程的一半？ 【答案】3天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，工程的一半是，工作总量的÷效率和＝完成一半的时间，据此列式解答。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：3天完成这项工程的一半。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 第三部分 高频真题 1．甲、乙装订练习本，甲装订 2 小时后乙才开始，因此，前 3 小时甲比乙多装订了 120 本，又同时装订了 3 小时后，乙比甲多装了 600 本，求甲、乙每小时各装订多少本？ 2．李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％．这批零件共有多少个？ 3．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 4．希望小学用部分捐款给同学们买体育用品，如果只买篮球可以买50个，如果只买足球或只买排球都可以买40个．现在买篮球和足球各15个，剩下的钱可以买多少个排球？ 5．有一批工人完成某项工程，如果能增加 8个人，则 10天就能完成；如果能增加3个人，就要20天才能完成．现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？ 6．2个师傅和4个徒弟一天可做完一批零件的，8个师傅和10个徒弟一天就能完成任务，如果这批零件全由徒弟一天完成，需要多少个徒弟？ 7．一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 8．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升．现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完．计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等．那么水池中原有多少水？ 9．甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。那么，丙队与乙队合作了多少天？ 10．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 11．甲、乙两人合挖一条水渠，挖了2天，为了保证按时完成任务，又找来丙一起挖，三个人又挖了2天完成了全部工程，并得到工资800元，他们3人各应分配多少钱才合理？（每人工效相同） 12．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成．已知甲每天比乙多做3个零件．求这批零件共有多少个？ 13．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天。已知甲单独完成这件工作需天。问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？ 14．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。上午和下午的各工作量各占一半，那么这批工人有多少人？ 15．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 16．师徒两人共同加工一批零件，2天后已加工总数的，这批零件如果全部由师傅单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？ 17．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 18．2011年3月27日，甲、乙两队建设某项工程，甲队每施工6天休息1天，乙队每施工5天休息2天，两队每个工作日完成的工程量一样。如果由甲队单独完成这项工程，那么到2011年5月29日才能完工。现在两队同时施工，到几月几日就能完工？ 19．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？ 20．规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 21．某工厂的一个车间，组装一批电脑．当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务．问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？ 22．两个工人合作加工一批零件，两人同时开工，经过21天后全部完工．已知甲每天加工53个零件，乙每天比甲多加工7个，但乙每工作七天就要休息一天．你知道这批零件有多少个吗？ 23．一个没有盖的水箱，在其侧面高和高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面给水箱注水。如果打开关闭，那么分钟可将水箱注满；如果关闭打开，那么分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？ 24．师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件的总数的与徒弟加工的零件总数的的和为49个，师、徒各加工零件多少个？ 25．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 26．一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 27．王师傅每分钟能加工螺丝帽128个。他从10：20开始加工到11：00结束，王师傅共加工螺丝帽多少个？ 28．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 29．一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成。 （1）甲、乙两队共同做6天，完成这项工程的几分之几？ （2）甲、乙两队共同做，完成这项工程的需要多少天？ 30．一项工程，甲独做需12天完成，乙独做需15天完成．要想在10天之内完成，两人至多合作几天，至少合作几天？ 31．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 32．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲、乙各多少时间？ 33．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 34．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？ 35．地下水从一个水池的四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A、B两管4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？ 36．某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 37．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天．求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 38．师、徒两个做零件2300个，师傅先做了5分钟后师徒两人合作10分钟完成．如果师傅每分钟比徒弟多做20个．求师、徒两人每分钟各做多少个？ 39．一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完。已知乙、丙的工作效率的比为3∶5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2∶1，问题中情形下做完整个工程需多少天？ 40．加工一批零件，原计划15天完成，实际每天多做30个，结果只用10天就完成了任务，这批零件有多少个？ 41．师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 42．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 43．甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天。现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天？ 44．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 45．一堆煤，原来每天烧 1.8 吨，可以烧 30 天，技术革新后，这堆煤能多烧 6 天，技术革新后每天少烧多少吨煤？ 46．一项工程，甲乙两队合作6天能完成，已知单独做甲完成与乙完成所需时间相等，问单独做甲乙各需多少天？ 47．某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天多加工 6 个零件，这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且多加工了 120 个零件，这个车间实际加工了多少个零件？ 48．有甲乙两个工程，现分别由A、B两个施工队完成．在晴天A队完成工程需要8天，B队完成工程需要12天，在雨天，A施工队的工作效率下降60﹪，B施工队的工作效率下降20﹪．最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？ 49．一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 50．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。已知乙的工作效率是丙的3倍。请问：原计划工期是多少天？ 51．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同。甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在仓库搬了多长时间？ 52．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要12天，甲、乙两队合做5天后，由于甲队有新的工作任务，剩下的工程由乙队完成．乙队还要工作多少天？ 53．张师傅加工540个零件．他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务．当他完成任务的45％时，恰好是上午9点．张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？ 54．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 参考答案： 1．甲：180本，乙：420本 【详解】甲每小时比乙少装订（600+120）÷3=240（本） 甲3小时,乙1小时,甲比乙多装订120本, 那么甲每小时装订：（240+120）÷2=180（本） 乙每小时装订：180+240=420（本） 答：甲每小时装订180本，乙每小时装订420本。 2．180 【详解】48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）． 3．吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 4．13个 【详解】解法一：买15个篮球的钱可以买足球：15×40÷50=12（个） 等于只买足球：15+12=27（个） 40-27=13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 解法二：[1-（+）×15] ÷ =[1-] ÷ =×40 =13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 5．25天 【详解】将1人1天完成的工作量称为1份．调来3人与调来8人相比，10天少完成（8-3）×10=50（份）．这50份还需调来3人干10天，所以原来有工人50÷10－3＝2（人），全部工程有（2+8）×10=100（份）．调来2人需100÷（2+2）=25（天）． 6．30个 【详解】设师傅与徒弟的工作效率为x与y， 解得，    所以如果让徒弟一天完成，需要的人数为： 7．28天 【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，据此求出乙的工作效率，然后计算工作时间。 【详解】甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的； 乙单独做每天能完成总量的 （天） 答：乙单独做28天能完成。 【点睛】本题考查的是基础的工程问题，注意多人合作时，工作效率等于每个人的工作效率之和。 8．3000 【详解】甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升．因此池中原有水3000升． 9．15天 【分析】先整体考虑，求出三人完成A，B两项工程所需要的时间，然后求出这段时间里乙完成的工程量，B剩下的一部分工程量是丙完成的，求出这部分的工程量是多少，除以工作效率即可。 【详解】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1＋＝； 而甲、乙、丙合作时的工作效率为＋＋＝，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷＝18（天） 在这18天，乙完成18×＝的工程量，则B工程中剩下的－＝的工程量是由丙帮助完成，即÷＝15（天） 答：丙队与乙队合作了15天。 【点睛】对于这种“帮忙型”的工程问题，整体考虑是解题的关键，先整体分析，再局部分析。 10．20名 【分析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草。由于这些人在下午能割完乙地的草，也就是甲地草的，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地 的草。 【详解】设甲的草量是“1”，那么乙的草量是“”； 有些人上午在甲地，下午在乙地割草，这些人在下午能割完乙地的草，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草； 每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生。 答：共有20名学生。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以设下午在乙地割草的人数是未知数，根据总草量列方程求解。 11．（一）800÷（4+4+2）=80（元） 甲：80×4=320（元）              乙：80×4=320（元）              丙：80×2=160（元）             （二）800÷5=160（元）     甲、乙：160×2=320（元）   丙：160×1=160（元）      【详解】略 12．360个 【详解】解：设甲、乙工作效率分别为x与y， 代入其中一个方程可得，    =360个 答：这批零件有360个． 13．天 【分析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期＋1天，第二种可能是完整周期 ＋2天，分情况进行讨论。 【详解】如果是第一种可能，有，得。然而此时甲、乙、丙的效率和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。 再看第二种可能： 完整周期 不完整周期 完成总工程量 第一种情况 个周期 甲1天，乙1天 “1” 第二种情况 个周期 乙1天，丙1天，甲天 “1” 第三种情况 个周期 丙1天，甲1天，乙天 “1” 可得，所以，。因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为。 于是，一个周期内他们完成的工程量为。则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成。所以第二种可能是符合题意的。于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天。 答：完成工作要用天。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，此类问题通常与周期问题相结合。 14．36人 【分析】题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。 【详解】根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的，去乙工地人数是这批工人的。又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是这批工人的。 由此可知，甲工地上午、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工作量的，下午完成甲工地总工作量的。这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。 因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天，所以这批工人数是： （人） 答：这批工人有36人。 15．甲队单独做需要天；乙队单独做需要天 【分析】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，那么合作的工作效率是，合作完成需要12天，而实际情况是甲比12天少了8天，乙比12天多了4天，也就是甲队做8天相当于乙队做4天，根据这个关系可以求出甲和乙各自的工作效率。 【详解】甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做天，比合作少了（天）；乙队后做天，比合作多了（天），所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是。甲队单独工作需要：（天）；乙队单独工作需要：（天）。 答：甲队单独做需要90天；乙队单独做需要45天。 【点睛】工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。 16．15天 【详解】1÷（÷2-） =1÷（-） =1÷ =15（天） 答：如果全部由徒弟加工需15天完成． 17．26天 【详解】略 18．4月29日 【分析】根据题意可知，2011年3月27日到2011年5月29日一共有64天，已知甲队每施工6天休息1天，也就是7天为1个周期，先用64÷7求出里面有几个周期，商为9，余数是1，说明64有9个完整的周期再多1天工作，所以甲实际工作了（9×6＋1）天，也就是55天，把这项工程总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用1÷55即可求出甲每个工作日的工作效率，根据两队每个工作日完成的工程量一样可知，甲每个工作日的工作效率等于乙每个工作日的工作效率，已知乙队每施工5天休息2天，两队合作，根据工作总量＝工作效率×工作时间，每周可以完成工程的×（6＋5），也就是，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以每周的工作效率和，即可求出完成的周数，求出没有余数，也就是两队合作完成需要5周，前面4周是完整的周期，最后一周甲工作了6天，乙工作了5天，所以一共需要（5×7＋6）天，再根据起始工作日推算出完工日。 【详解】31－27＋1＋30＋29＝64（天） 2011年3月27日到2011年5月29日一共有64天， 64÷（6＋1） ＝64÷7 ＝9……1 9×6＋1 ＝54＋1 ＝55（天） 甲队每个工作日的工作效率：1÷55＝ 两队每周完成：×（6＋5） ＝×11 ＝ 1÷ ＝1×5 ＝5（周） 前面4周是完整的周期，最后一周甲工作了6天，乙工作了5天， 4×7＋6 ＝28＋6 ＝34（天） 34＝31－27＋1＋29 答：到4月29日就能完工。 【点睛】本题考查了较复杂的工程问题，求出甲、乙实际的工作天数是解答本题的关键。 19．7天. 【详解】试题分析：甲队休息了2天，说明甲干了14天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数． 解：[×（16﹣2）+×16﹣1]÷ =[+﹣1]×30 =×30 =7（天） 答；乙队休息了7天． 点评：本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力． 20．小时 【分析】每人轮流做1小时，如果甲、乙轮流做，需要9.8小时，那么甲做了5小时，乙做了4.8小时；如果乙、甲轮流做，需要9.6小时，那么甲做了4.6小时，乙做了5小时；也就是甲做0.4小时完成的工程量乙需要0.2小时，可以求出二者工作效率的关系，进而求出乙的工作效率是多少，然后求工作时间。 【详解】根据题意，有： 可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量。 所以，乙单独工作需要小时。 答：乙单独做这个工程需要7.3小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，求解问题的关键是找出两个人工作效率的关系，然后转化成一个人的工程问题。 21．小时 【分析】工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量 虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多．这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变． 在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务．事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C与D交换岗位的情形也一样．同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的．下面我们给出本题的三种解法． 【详解】☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成． （2）A与B交换后，8小时完成．全车间每小时完成．由于其他工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了． （3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要 （小时） 比原来提前（小时） ☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟） A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的． 同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务． 同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成．所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）． ☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作．由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作． A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作．这就是说，A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间． 原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时） 答：可以提前小时完成这项任务． 22．2253个 【详解】由题意知在整个工作期间干满21天，而乙每7天休息一天，那么21天中乙休息了2天，干了21-2=19（天）． 乙每天干：53+7=60（个） 零件总数：53×21+60×19＝2253（个） 答：这批零件共有2253个． 23．分钟 【分析】对比题目给出的两种情况，求出注水的效率以及排水孔排水的效率，再分阶段考虑两个孔都打开时首先要的时间。 【详解】根据题意可知，要注水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用分钟； 那么不开出水孔时注满水箱需分钟； 如果一直开一个出水孔需要分钟； 说明每分钟注水量为，一个孔每分钟排水量为。 如果两个孔都打开，需要： （分钟） 答：需要55分钟才能将水箱注满。 【点睛】本题考查的是工程问题中的注水问题，求出注水效率和排水效率是求解问题的关键。 24．师傅56个，徒弟49个 【详解】105×=60（个） 师傅：（60-49）÷（-） =11÷ =56（个） 徒弟：105-56=49（个） 答：师傅加工56个零件，徒弟加工49个． 25．12天 【分析】开始时甲队拿到8400—5040＝3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360∶5040＝2∶3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为（3360＋960）∶（5040—960）＝18∶17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务。有（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17，求出天数，然后求出共有的工程量，进而求出原计划需要的天数。 【详解】原来甲乙的工作效率比为： （8400－5040）∶5040 ＝3360∶5040 ＝2∶3 甲提高工效后，甲乙的工作效率比为： （3360＋960）∶（5040－960） ＝4320∶4080 ＝18∶17 设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务，得：（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17， 解得：a＝ 于是共有工程量为： （2×4＋4×）∶（3×4＋3×） ＝（8＋）＋（12＋） ＝20＋40 ＝60 所以原计划修好这条路的天数为： 60÷（2＋3） ＝60÷5 ＝12（天） 答：两队原计划完成修路任务要12天。 【点睛】根据甲、乙前后工效比求出共有工程量是解决本题的关键。 26．小时 【分析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符。所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的。 【详解】乙甲甲，得乙甲； 甲、乙工作效率之和为： 甲的工作效率为： 所以甲单独做的时间为（小时） 答：甲单独做，要用21小时才能完成。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，解题的关键是判断轮流工作的顺序。 27．5120个 【分析】经过时间＝结束时间－开始时间，据此求出王师傅的工作时间。用工作时间乘每分钟加工螺丝帽的个数，即可求出加工螺丝帽的总个数。 【详解】11时－10时20分＝40（分钟） 128×40＝5120（个） 答：王师傅共加工螺丝帽5120个。 【点睛】熟练掌握经过时间的计算公式，注意1小时＝60分钟。 28．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 29．（1）；（2）5天 【分析】（1）甲队工作效率，乙队工作效率，甲乙两队工作效率之和是，再运用工作效率×时间＝工作量； （2）工作量是，工作效率是，根据工作量÷工作效率＝工作时间。 【详解】（1）6×（） ＝6× ＝ 答：完成这项工程的。 （2）÷（） ＝÷ ＝5（天） 答：需要5天。 【点睛】灵活运用公式：工作量÷工作效率＝工作时间。 30．至多合作6天，至少合作1天 【分析】本题涉及到了最多和最少问题，有一点复杂．仔细审题可以发现，10天内最多合作几天完成，这个最多就是从一开始就合作的天数才能最多． 1÷（+）=6（天）<10天．这一问题可以理解成“两队合作几天可以完成任务”． 因为每人单独做的天数都超过10天，所以不可能不合作完成．但显然甲的工效高，这10天甲共能完成×10==，还差1-=的工作量．这些只能让乙来完成，乙需要÷=1（天）．这样可以知道甲单独做10天后，乙再做1天就能完成任务，即可以认为两人合作1天后，甲在独做（10-1）天就能完成任务，这样最符合题目要求． 【详解】解：1÷（+）=6（天） （1-×10）÷=1（天） 答：要想在10天之内完成，两人至多合作6天，至少合作1天． 【点睛】这道题目相对比较难理解，所以做题时，一定要先把题目分析清楚，题目要求最少的合作时间，因此工效高的人肯定要做比较多的工作，如果能将这些信息分析好，题目就变得非常简单了． 31．21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 32．甲：3小时；乙：5小时 【分析】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，设他们搬完货物花了x小时，根据“工作效率×工作时间＝工作量”列方程即可解答。 【详解】解：设他们搬完两个仓库货物花了x小时。 （＋＋）×x＝2 x＝2 x＝8 （1－×8）÷ ＝÷ ＝3（小时） 8－3＝5（小时） 答：丙帮助甲搬运了3小时，帮乙搬运了5小时。 【点睛】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，这是解答本题的关键。 33．400 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件 34．48天 【分析】根据题目给出的三种情况，可以分别求出甲、乙，乙、丙，丙、甲的工作效率，观察发现2（甲＋乙＋丙）＝（甲＋乙）＋（乙＋丙）＋（甲＋丙），可以求出甲、乙、丙的工作效率之和，进而求出丙的工作效率，以及丙所需的时间。 【详解】＋＋＝ 甲、乙、丙的工作效率之和为： ÷2＝ 那么丙单独工作的工作效率为： －＝ （天） 答：丙一个人来做，完成这项工作需48天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出丙的工作效率是求解问题的关键。 35．小时 【详解】把满池水看作“1”．A管8小时把水排空，表明A管8小时的排水量为“1”加8小时的渗水量，设每小时渗水量为x，则A管每小时的排水量为；类似地，B管每小时的排水量为；C管每小时的排水量为．于是A、B两管同时打开，一小时的排水量即可表示为，又可表示为，由此就可求出每小时的渗水量相当满池水的几分之几． 再设想B、C同时打开，每小时渗入的水全由B排出，那么B、C两管每小时将排出水为，这样就可求出所需时间． 据以上分析可得方程 解得 答：打开B、C两管，将水池排空需小时． 36．15辆 【分析】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【详解】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 37．15天 【详解】×(3+2)= (1-)÷（+） =÷ =10（天） 10+3+2=15（天） 答：他们完成这项工程从开工到结束一共花了15天． 38．徒弟：80个    师傅：100个 【详解】师傅做：5+10=15（分） 师傅15分比徒弟15分多做：20×15=300（个） 2300-300=2000（个）零件是徒弟：15+10=25（分）做的 徒弟每分钟做：2000÷25=80（个） 师傅每分钟做：80+20=100（个） 39．天 【分析】甲的工作效率可以直接求出来，把乙、丙的工作效率设为未知数，根据题目的工作方式，表示出乙和丙各自的工作时间，根据工作时间之比列方程求解。 【详解】显然甲的工作效率为设乙的工作效率为，那么丙的工作效率为； 所以有乙工作的天数为； 丙工作的天数为 且有 即 解得 所以乙的工作效率为，丙的工作效率为高； 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： （天） 答：做完整个工程需27天。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，设未知数的时候设一份量比较方便。 40．900个 【详解】30×10÷（15-10）×15 =30×10÷5×15 =300÷5×15 =60×15 =900（个） 答：这批零件有900个． 41．100个 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件个。 42．14小时 【详解】略 43．天 【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设 A工程的工作总量为单位“1”，那么B工程的工作量就是“”，先求出总共的工作时间，再确定丙帮乙做了几天。 【详解】三队合作完成两项工程所用的天数为： （天） 天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为； 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了 （天） 答：丙队与乙队合作了天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是先整体考虑问题，得到工作时间是多少。 44．甲：75天   乙：50天 【详解】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的= 乙独做需时间： 甲独做需时间： 答：甲和乙独做所需时间分别是75天和50天. 45．0.3吨 【详解】1.8×30=54（吨） 30+6=36（天） 54÷36=1.5（吨） 1.8-1.5=0.3（吨） 答：技术革新后每天少烧0.3吨煤. 46．甲：18天     乙：12天 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，    所以甲、乙独做分别需18天，12天． 47．2520个 【详解】如果一样的生产天数（按计划的天数），实际上的零件总数：120+3×56=288（个） 按计划的天数：288÷6=48（天） 实际加工：50×48+120=2520（个） 答：这个车间实际加工了2520个零件。 48．10天 【详解】晴天时，A施工队比B的工作效率高：－= 雨天时，B施工队比A的工作效率高： （1－20﹪）－（1－60﹪）= 要想两队同时完成，则由：=可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：×2+×0.4×5=，故整个工程共有4个晴天，10个雨天． 49．天 【分析】根据题目的条件，可以求出甲的工作效率，再根据甲、乙的关系，求出乙的工作效率，然后求出合作2天后剩下的工程量是多少，再计算所需要的时间。 【详解】 ； （天） 答：还要天才能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以根据甲、乙的工作效率的关系，按照比例问题求解。 50．30天 【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（﹣）÷4＝需要天，那么乙完成工作总量的就需要÷×＝20天，若甲单独干后面的＋＝就需要20﹣6＝14天，即甲单独完成整个工程就需要14÷＝24天，此时间应该比计划工期提前6天，最后依据计划需要的时间＝甲单干需要的时间＋6天即可解答。 【详解】解：乙完成工作总量的需要的时间： ÷[（﹣）÷4]× ＝6× ＝20（天） 甲单干完成整个工程需要的时间： （20﹣6）÷[＋（﹣）÷4） ＝14÷ ＝24（天） 原计划工期： 24＋6＝30（天） 答：原计划工期是30天。 【点睛】解答本题的关键是求出甲单干完成工期需要的时间。 51．小时 【分析】先整体考虑，求出三个人搬完两个仓库所需要的时间，然后考虑甲在这段时间里完成了多少，剩下的是丙帮甲做的，求出这部分工作量，再除以工作效率即可。 【详解】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时，设该仓库的工程量都是“1”； （小时） A、B这两个大仓库的工程量都是“2”； （小时） （小时） 答：丙在A仓库搬了6小时。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 52．1天 【分析】要求剩下的由乙队单独修，还要多少天才能完成，应先求出剩下的工作量．根据题意，把这项工程的工作量看做单位“1”，由甲队单独完成需要10天，可知甲的效率是，由乙队单独完成需要12天，可知乙的效率是；甲、乙两队合做5天，完成的工作量是（+）×5，因此还剩下的工作量是1﹣（+）×5，然后用剩下的工作量除以乙的工作效率即可． 【详解】[1﹣（+）×5]÷ =[1﹣×5]×12 =[1﹣]×12 =×12 =1（天）； 答：乙队还要工作1天． 53．8时30分45秒 【详解】平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分．由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=（分）．到9点时加工所用的时间为27+=（分）=29分15秒．所以开始时是8时30分45秒． 54．天 【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。 【详解】我们可以有： 甲乙，乙丙，丙 不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为， （天） 答：甲、丙合作12天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。 学科网（北京）股份有限公司 $$