精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷

哈师大附中、大庆铁人中学2023-2024学年度高二下学期联合期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72 B. 120 C. 216 D. 240 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 8. 已知，，，则m，n，p的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法中正确的有（ ） A. 的展开式中的常数项为84 B. 的展开式中不含的项 C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 10. 若函数在上有最大值，则a的取值可能为 A. B. C. D. 11. 某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小率值的独立性检验，认为学生对欧洲杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为（ ） 参考公式：，． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. 276 B. 288 C. 300 D. 312 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________． 13. 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 14. 设是函数的零点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． （1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； （2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围． 18. 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 （1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； （2）由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，…，（注：，，，，…，为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值，并估计的近似值（保留三位小数）； （2）求证：； （3）求不等式的解集，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中、大庆铁人中学2023-2024学年度高二下学期联合期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求集合，再求集合的混合运算. 【详解】，， 所以. 故选：A 2. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【详解】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时可得，当时不等式可化为：， 设， ① 因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得. 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选：C. 3. 若满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数性质得，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定BD. 【详解】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误. 故选：. 4. 某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意根据全概率公式计算即可. 【详解】设“任选一名学生恰好是艺术生”， “所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”． 由题可知： ，，，，， ， . 故选：D 5. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ） A. 72 B. 120 C. 216 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】分两个0之间有一个数字，两个数字和三个数字，结合排列知识进行求解，相加后得到答案. 【详解】从左到右的6个位置分别为， 若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有或或或四种情况， 在把剩余的4个数进行全排列，此时共有种， 若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有或或三种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有种， 若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有或两种情况， 剩余的4个数进行全排列，此时有种， 综上，可以设置的密码共有个. 故选：C 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值. 【详解】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，则， 可得，则， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故选：D 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 8. 已知，，，则m，n，p的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将换成，分别构造函数，，利用导数分析其在的右侧包括的较小范围内的单调性，结合即可得出m，n，p的大小关系. 【详解】令，则，，， 当， ， 设，则， ， 在单调递减， ， ， 当，， 设， 则， 在单调递增，，，， 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此类大小比较问题，关键是根据数的结构特征选择恰当的中间变量，然后构造函数。利用导数解决问题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法中正确的有（ ） A. 的展开式中的常数项为84 B. 的展开式中不含的项 C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出． 【详解】因为展开式的通项公式，所以 当，A正确； 当时，，B错误； 的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C正确； 根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误. 故选：AC. 10. 若函数在上有最大值，则a的取值可能为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由利用导数判断函数的单调性可得的增区间为， 减区间为，可得在处取得极大值，又， 又在上有最大值，则需，运算即可得解. 【详解】解：令，得，， 当时，；当或时，， 则的增区间为，减区间为， 从而在处取得极大值， 由，得，解得或， 又在上有最大值， 所以，即， 故选ABC. 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力. 11. 某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小率值的独立性检验，认为学生对欧洲杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为（ ） 参考公式：，． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. 276 B. 288 C. 300 D. 312 【答案】CD 【解析】 【分析】首先根据男、女生人数相等，结合比例，列出列联表，再计算，列不等式即可求解. 【详解】设男、女生人数均为，可得如下列联表： 对欧洲杯关注 对欧洲杯不关注 合计 男生 女生 合计 由题意可得，所以，所以， 则，因为为6的倍数，则为12的倍数，则CD满足题意. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，则曲线在处的切线斜率为， 切点为，故切线方程为. 令，得；令，得. 则该切线与坐标轴分别交于点，， 故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为：. 13. 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【解析】 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 14. 设是函数的零点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意，． 注意到， 所以， 在两边同时加上， 即， 即， 设函数，显然该函数是实数集上的增函数， 由， 即即， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由得到，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）或或0． 【解析】 【分析】（1）求导得，分析单调性可得极值点. （2）由和可得切线方程，把切线方程代入曲线方程，因为切线与曲线只有一个公共点，可得有唯一解，对二次项系数分类讨论即可求解. 【小问1详解】 易知定义域为，， 当时，，当时，． 在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值且极大值，无极小值． 【小问2详解】 由（1）知，则，又． 曲线在点处的切线为， 把切线方程代入曲线方程， 得有唯一解， ①当时，方程为，有唯一解，符合题意； ②且，即， 解得或. 所以或或． 16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． （1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； （2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【小问1详解】 设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}， 则，，， ，因此， 所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为． 【小问2详解】 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望为． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据导函数的正负情况对实数进行分类讨论； （2）不妨设，原不等式分离得到，进而转化为，则函数在上单调递减，然后利用导数研究函数的单调性求得实数的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在恒成立， 当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减， 综上所述：当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 不妨设，则不等式等价于， 即， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立，所以， 因为在上单调递减，在递增，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 （1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； （2）由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）设未去离群点的样本相关系数为，去掉离群点后的样本相关系数为，则． 去掉离群点后，，， ，， ， 由 得 因为，且相比更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点是合理的． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由超几何分布的概率公式计算得出；（ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B，由乘法公式计算得出； （2）根据题设公式计算去掉离群点后的样本相关系数，由相比更接近1得出去掉离群点的合理性. 【小问1详解】 （ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则，得． （ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B． 因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人， 身高小于175cm且体重大于79kg的有1人， 所以． 【小问2详解】 略 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，…，（注：，，，，…，为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值，并估计的近似值（保留三位小数）； （2）求证：； （3）求不等式的解集，其中． 【答案】（1），，0.095 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二阶求导及定义得出近似值； （2） 构造函数结合函数的单调性证明不等式； （3）化简不等式分别构造函数，求出导函数结合函数的单调性得出最值进而解出不等式. 【小问1详解】 因为，所以，； 因为，所以， 由题意知，， 所以解得，． 【小问2详解】 由（1）知，即证，令，且． 即证时，有 设，，则 所以在上单调递增，在上单调递增 当时，， 可得，即成立， 当时，， 可得，即成立， 综上可得当时， 所以成立，即成立； 【小问3详解】 由题意知，欲使得不等式成立， 则至少有，即或． 首先考虑，该不等式等价于， 即． 由（2）知成立， 所以使成立的x的取值范围为或 再考虑， 该不等式等价于， 不妨令，函数定义域为． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 即当时，， 则当时，有 当时，由可得成立； 当时，由可得不成立， 所以使成立的x的取值范围为， 综上可得不等式的解集为． 【点睛】方法点睛：构造函数，求出导函数应用导函数正负得出函数的单调性证明不等式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $