用向量法解决空间角，距离问题专题训练-2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0060 用向量法解决空间角，距离问题专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 2. 已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 3.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)． A. B. C. D. 4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为(　　)． A. B. C. D. 5.若正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 6．已知正三棱柱的棱长均为a，D是侧棱的中点，则平面ABC与平面所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.0 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝（　　） ． A. B. C. －2 D. 10.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列选项正确的为（　　） A.EF∥BD1 B.EF⊥A1D C.EF＝ D.点F到平面ABD1的距离为 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列结论正确的是（　　） A.MN⊥A1M B.MN⊥平面D1MC C.线段BN长度的最大值为 D.三棱锥C1-A1D1M体积不变 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12　已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是________．(填序号) ① (－1，1，0)；② (1，－1，0)；③ (0，－1，1)；④ (－1，0，1)． 13. 在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 14. 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点． (1) 直线PB与平面POC所成角的余弦值为　　； (2) 点B到平面PCD的距离为　　. 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15　如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE. (1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值； (2) 求二面角O-DF-E的正弦值． 16如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝. (1) 证明：DE⊥平面ACD； (2) 求二面角B-AD-E的大小． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 用向量法解决空间角问题专题训练答案 1【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1,0,1)，B(0,1,1)，D1，F1，所以＝，＝，所以|cos〈，〉|＝＝＝. 2【解析】 如图，在PC上任取一点D，过点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F.因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB，则△DEP≌△DFP，所以EP＝FP，所以△OEP≌△OFP，且点O在∠APB的平分线上．因为∠APB＝60°，所以∠OPE＝30°.设PE＝1，因为∠OPE＝30°，所以OP＝＝.在Rt△ PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2.在Rt△DOP中，OP＝，PD＝2，则cos∠DPO＝＝，即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是. 3答案：D 解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，C1(4，4，2)，显然AC⊥平面BB1D1D，∴ ＝(4，4，0)为平面BB1D1D的一个法向量．又＝(0，4，2)，∴ cos〈，〉＝＝＝.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为. 4答案：C 解析：以D为原点，、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设||＝1，则A(1，0，0)，M，O，P(1，y，1)，则＝，＝， ∴ ·＝0，∴ OP⊥AM. 5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,1)，O，C1(0，1,0)，＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1,0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. 6答案：B 解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则取，得.又平面ABC的一个法向量为， 所以，即平面ABC与平面所成角的余弦值为. 7【答案】 B 【解析】 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则即所以所以n1＝(1，2，2).又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos 〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 8答案：A 解析：设，则，，，所以，，， 因为，所以，解得， 所以，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 9答案：B C 解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或. 10解析：ABD　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1（3，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），∴＝（1，1，－1），＝（－3，－3，3），＝－，故A正确；由＝（－3，0，－3），·＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜｜＝＝，故C错误；设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由得令z＝1，得n＝（1，0， 1）.易知＝（－1，1，0），则点F到平面ABD1的距离d＝＝，故D正确.故选A、B、D. 11解析：ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），＝（3，y，－3），＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，则·＝y（3－y）－3z＝0，即z＝y（3－y）.对于A选项，＝（0，y，－3），则·＝y（3－y）－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，A正确；对于B选项，＝（3，y－3，0），·＝（y－3）（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项，＝（0，0，z），则线段BN的长度｜｜＝z＝［－（y－）2＋］≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝·3·＝，所以三棱锥C1-A1D1M体积为定值，D正确. 12答案：② 解析：本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示．设所求向量是b，若b与a成60°夹角，则根据数量积公式，只要满足＝即可，所以②选项满足题意． 13答案：30° 解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴ 〈，n〉＝60°，∴ 直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 14【解析】(1) 在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，所以AD＝2.在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，所以OA＝BC＝1，所以OC⊥AD.以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，所以＝(1，－1，－1)．因为OA⊥OP，OA⊥OC，OP∩OC＝O，所以OA⊥平面POC，所以＝(0，－1,0)为平面POC的一个法向量．又cos〈，〉＝＝，所以PB与平面POC所成角的余弦值为. (2) 因为＝(1，－1，－1)，设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，则取z＝1，得u＝(1,1,1)，则点B到平面PCD的距离d＝＝. 15解：(1) 以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则 B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)． 设F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且x＋y＝4， 则＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)， ∵ EF⊥DE，即⊥，则·＝y0－1＝0，故y0＝1. ∴ F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)． 设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝＝＝. (2) 设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即 令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)． 设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝. 设二面角O-DF-E的平面角为β，则|cosβ|＝＝＝. ∴ sinβ＝. 16(1) 证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝. 由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD. (2) 解：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示． 由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)． 设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)． 可算得＝(0，－2，－)，＝(1，－2，－)， ＝(1，1，0)． 由即 可取m＝(0，1，－)． 由即 可取n＝(1，－1，)． 于是|cos〈m，n〉|＝＝＝. 由题意可知，所求二面角是锐角， 故二面角B-AD-E的大小是. 学科网（北京）股份有限公司 $$